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1、三等 差 数 列 (20分钟35分)1.已知等差数列an的首项a1=1,公差d=2,则a4等于()A.5B.6C.7D.9【解析】选C.a4=a3+d=a2+2d=a1+3d=1+32=7.2.(2020宝鸡高二检测)在数列中a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为()A.52B.51C.50D.49【解题指南】由2an+1-2an=1,得到an+1-an=,进而得到数列是首项为2,公差为的等差数列,利用等差数列的通项公式,即可求解,得到答案.【解析】选A.由题意,数列满足2an+1-2an=1,即an+1-an=,又由a1=2,所以数列是首项为2,公差为的等差数列,所以a101=a
2、1+100d=2+100=52.3.已知等差数列an中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=()A.0B.C.2D.0或【解析】选B.根据题意知d0,a4+a8=a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去).4.若an是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()|an|;an+1-an;pan+q(p,q为常数);2an+n.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.设an=kn+b,则an+1-an=k,故为常数列,也是等差数列.pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q),故为等差数列,2an+n=2(
3、kn+b)+n=(2k+1)n+2b,故为等差数列.未必是等差数列,如an=2n-4,则|an|的前4项为2,0,2,4,故|an|不一定是等差数列.5.已知an为等差数列,a5+a7=4,a6+a8=-2,则该数列的正数项共有项.【解析】由已知得得所以an=-3n+20.令an0,解得n,即n=1,2,3,6,故该数列的正数项共有6项.答案:66.已知等差数列an的首项为a1,公差为d,数列bn中,bn=3an+4,则bn是否为等差数列?并说明理由.【解析】bn是等差数列,理由如下:因为an是首项为a1,公差为d的等差数列,所以an+1-an=d,所以bn+1-bn=3an+1+4-3an-
4、4=3(an+1-an)=3d.因为d为常数,所以3d也为常数,所以bn是首项为b1=3a1+4,公差为3d的等差数列.【补偿训练】已知数列log2(an-1)(nN+)为等差数列,且a1=3,a3=9,求数列an的通项公式.【解析】设等差数列log2(an-1)的公差为d,则log2(a3-1)-log2(a1-1)=2d,代入a1=3,a3=9得,log28-log22=2d,所以d=1.所以log2(an-1)=log2(a1-1)+(n-1)1=n.所以an-1=2n,所以an=2n+1. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等差数列an中,若a1=-2,a5=2
5、,则a20等于()A.15B.16C.17D.18【解析】选C.因为an为等差数列,a1=-2,a5=2,所以a5=a1+(5-1)d,即2=-2+4d,所以d=1,所以a20=a1+(20-1)d=-2+191=17.2.已知函数f(x)=cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m等于()A.B.-C.D.-【解析】选D.若m0,则公差d=-=,显然不成立,所以m0,则公差d=.所以m=cos=-.3.已知是等差数列,且a1=,a4=1,则a10=()A.-5B.-11C.-12D.3【解
6、题指南】由是等差数列,求得an,进而求出a10.【解析】选B.因为是等差数列,设bn=,b1=,b4=,所以3d=-,d=-,所以bn=-,所以an=-1,故a10=-11.4.(2020荆州高一检测)张丘建算经有一道题大意为:今有十等人,每等一人,宫赐金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,则每等人比下一等人多得斤?()A.B.C.D.【解题指南】根据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列,设公差为d,根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组,求出公差d即可得到答案.【解析】选B.设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2
7、斤,依次类推,第一等人得金a10斤,则数列an构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意得,即,解得d=,所以每等人比下一等人多得斤金.5.(2020北京高考)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项【解析】选B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50,所以T10,T30,T50,所以an=.答案:【误区警示】本题由于不注意an0容易造成增根.7.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a
8、.则这个数列的通项公式为an=.【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=.所以这个等差数列的前三项依次为,.所以d=,an=+(n-1)=+1.答案:n+18.已知等差数列an中,a1a2an且a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是.【解析】由题意,又因为a1a2an,所以解得a3=2,a6=8,所以,a1=-2,d=2,从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.答案:an=2n-4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an满足a1=1,且an=2an-1+2n(n2,且N+).(1)求a2,a3;(2)证明:数列是等差数列;(3)求数列
9、an的通项公式an.【解析】(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)因为an=2an-1+2n(n2,且nN+),所以=+1(n2,且nN+),即-=1(n2,且nN+),所以是首项为=,公差d=1的等差数列.(3)由(2)得=+(n-1)1=n-,所以an=2n.10.数列an满足a1=2,an+1=(-3)an+2n(nN+).(1)当a2=-1时,求及a3的值;(2)是否存在的值,使数列an为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为a1=2,a2=-1,a2=(-3)a1+2,所以=.所以a3=-a2+22,所以a3=.(2)因为a1=
10、2,an+1=(-3)an+2n,所以a2=(-3)a1+2=2-4,a3=(-3)a2+4=22-10+16.若an为等差数列,则a1+a3=2a2,即2-7+13=0.因为=49-4130,所以方程无实数解,所以值不存在,所以不存在的值使an为等差数列.1.九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日、第五日、第八日所织之和为15尺,则第十四日所织尺数为()A.13B.14C.15D.16【解题指南】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出第十四日所织尺数.【解析】选B.设第一天织a1尺,从第二天起每天比前一天多织d尺,由已知得 ,解得:a1=1,d=1 ,所以第十四日所织尺数为a14=a1+13d=1+131=14.2.已知函数f(x)=,数列xn满足xn=f(xn-1),求证:数列为等差数列.【证明】由xn=f(xn-1)=(n2,nN+),所以=+,-=(n2,nN+).所以是等差数列.