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1、第三章不等式习题课数学规划的简单应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为()A.B.2C.8D.10解析画出可行域(图中的阴影部分),(x+3)2+y2表示可行域中的点(x,y)与点(-3,0)之间的距离的平方.由图形可知,当点(x,y)为点(0,1)时,点(x,y)与点(-3,0)之间的距离最小,等于,因此(x+3)2+y2的最小值为10.答案D2. 已知变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()A.-3,0B.3,-1C.0,1D.-3,0,1解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.
2、易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.答案B3. 已知实数x,y满足不等式组的取值范围是()A.-1,1)B.-1,1C.(-1,1)D.-1,+)解析 画出可行域(图中的阴影部分),设w=,所以y=wx+1(x0),w表示直线y=wx+1(x0)的斜率.由图可知,满足条件的直线夹在直线y=-x+1与y=x+1之间,故-1w0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为0,则a等于()A.B.C.1D.2解析根据约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z,可将z的最小值转化为
3、直线在y轴上的截距最小.由图知当直线z=2x+y经过点B时,z最小.因为点B的坐标为(1,-2a),将其代入z=2x+y,得2-2a=0,得a=1.答案C2.已知O为坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)满足不等式组则使取得最大值的点N的个数是()A.1B.2C.3D.无数个解析由M(2,1),N(x,y),得=2x+y.令z=2x+y,则的最大值即为目标函数z=2x+y的最大值.由图(图略)易知,当直线y=-2x+z与直线2x+y-12=0重合时,z取得最大值,所以使取得最大值的点N的个数有无数个.答案D3.若不等式组(a0)表示的平面区域的面积为5,且直线mx-y+m=0与该平
4、面区域有公共点,则m的最大值是()A.B.C.0D.-解析画出可行域(图中的阴影部分),可求得A(a,2a),B,三角形区域的面积为a,所以a=5,解得a=2,这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1),它经过定点P(-1,0),斜率为m.由图形知,当直线经过点A时,斜率m取最大值,且kAP=.故m的最大值是.答案A4.若实数x,y满足则z=的最小值为()A.-2B.-3C.-4D.-5解析作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.z=1+,设k=,则k的几何意义为区域内的点与定点D(2,-2)的连线的斜率.由图可知,AD的斜率最小,由即A(1,2),此时AD的斜率kA
5、D=-4,则zmin=1+kAD=1-4=-3,即z=的最小值为-3.故选B.答案B5.若x,y均为整数,且满足约束条件则z=2x+y的最大值为,最小值为.解析 作出可行域,如图阴影部分所示.由图可知在可行域内的整点有(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(0,2),分别代入z=2x+y可知,当x=2,y=0时,z取最大值4;当x=-2,y=0时,z取最小值-4.答案4-46.若实数x,y满足不等式组则当2a恒成立时,实数a的取值范围是.解析 画出可行域(图中的阴影部分),由于-1,其中表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1
6、)连线的斜率k,由图形可知k,所以-1.因此,当2a恒成立时,应有2a4,解得a2.答案2,+)7.已知x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在点处取得最大值,求实数a的取值范围.解由x,y满足约束条件画出此约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由目标函数z=ax+y,得y=-ax+z.因为z仅在点处取得最大值,所以-1-a1,故实数a的取值范围是(-1,1).8.已知x,y满足约束条件试求解下列问题:(1)z=的最大值和最小值;(2)z=的最大值和最小值;(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.解不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.(1)z=表示的几何意义是区域中的点(x,y)到原点(0,0)的距离,由图易知zmax=,zmin=.(2)z=表示区域中的点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图易知zmax=,zmin=.(3)z=|3x+4y+3|=5,而表示区域中的点(x,y)到直线3x+4y+3=0的距离,则zmax=26,zmin=10.6