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1、单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,x=0.1时,y的值为()A.0.40.0.41.0.43.0.44【解析】选B.因为x=2,x=0.1,所以y=f(x+x)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.2.已知函数f(x)=g(x)+2x且曲线y=g(x)在x=1处的切线为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为()A.2B.4.6.8【解析】选B.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,所以g(1)=2.因为函数f(x
2、)=g(x)+2x,所以f(x)=g(x)+2,所以f(1)=g(1)+2,所以f(1)=2+2=4,即曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为4.3.若f(x)=sin -cos x,则f(x)等于()A.cos +sin xB.2sin +cos xC.sin xD.cos x【解析】选C.函数是关于x的函数,因此sin 是一个常数.4.函数f(x)=的部分大致图象为()【解析】选A.因为f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除B、D;当x0时,f(x)=,所以f(x)=0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增,又f(1)=0,x=1处切线与x轴平行,故排除C.5.已知函数
3、f(x)=x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.f(x)=x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f(x)=0的实数根,所以a=5.7.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5【解析】
4、选B.因为点(1,-1)在曲线上,y=3x2-6x,所以y|x=1=-3,即切线斜率为-3.所以利用点斜式得,切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.8.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选D.观察导函数f(x)的图象可知,f(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如题干图所示,f(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x20.9.一物体在力F(x)=(单位:N)的作
5、用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)所做的功为()A.44 JB.46 JC.48 JD.50 J【解析】选B.W=F(x)dx=10dx+(3x+4)dx=10x+=46(J).10.函数f(x)=3x-4x3(x0,1)的最大值是()A.1B.C.0D.-1【解析】选A.f(x)=3-12x2,令f(x)=0,则x=-(舍去)或x=,f(0)=0,f(1)=-1,f=-=1,所以f(x)在0,1上的最大值为1.【拓展延伸】本题结合函数极值的求法,用待定系数法求出函数的解析式,再根据导数的正负确定函数的单调区间.在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作
6、为结果,一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小.本题主要体现了化归思想的应用.11.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x).则满足2f(x)x+1的x的集合为()A.x|-1x1B.x|x1C.x|x1 D.x|x1【解析】选B.令g(x)=2f(x)-x-1,因为f(x),所以g(x)=2f(x)-10,所以g(x)为单调增函数,因为f(1)=1,所以g(1)=2f(1)-1-1=0,所以当x1时, g(x)0,即2f(x)0,则a(ex-1+e-x+1)2a,要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=.若a0,则f(x)的零点不唯一.二、填空题(每小题
7、5分,共20分)13.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为_.【解析】h=gtdt=gt2=g.答案:g14.已知曲线f(x)=ex+x2,则曲线在(0,f(0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为_.【解析】由题意,得f(x)=ex+2x,所以f(0)=1.又f(0)=1,所以曲线在(0,f(0)处的切线方程为y-1=1(x-0),即x-y+1=0,所以该切线与x,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为11=.答案:15.物体按规律x=4t2(单位:m)做直线运
8、动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10 m/s时,阻力为2 N,则物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小为_.【解析】v=(4t2)=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,所以k=.所以F(x)=(N).阻力所做的功的大小为W=dx=(J).答案: J16.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x-10245f(x)12021函数y=f(x)在x=2取到极小值;函数f(x)在0,1是减函数,在1,2是增函数;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点;
9、如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是_(写出正确命题的序号).【解析】由图象可知当-1x0,2x0,此时函数单调递增,当0x2,4x5时,f(x)0,此时函数单调递减,所以当x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以正确.函数在0,2上单调递减,所以错误.因为x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0,因为f(-1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当1a0),若f(x)在(0,1上的最大值为,求a的值.【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)=-+a
10、,当x(0,1时,f (x)=+a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=.19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax-aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+3y-2=0垂直,求实数a的值;(2)若函数f(x)在2,3上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=2x+a-=(x0),f(2)=3,所以a=-2.(2)依题意有2x2+ax-a0在x2,3上恒成立,即a在2,3上恒成立,因为=0(x2,3),所以y=在2,3上单调递减,所以当x2,3时,=-8,所以a的取值范围为-8,+).【补偿训练】设f(x
11、)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,所以f(x)=2a(x-5)+,令x=1,得f(1)=16a,f(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x0),f(x)=x-5+=.令f(x)=0,解得x1=2,x2=3,当0x3时,f(x)0,故f(
12、x)的单调递增区间为(0,2),(3,+);当2x3时,f(x)0;当x时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)上存在唯一零点.所以f(x)在(0,)上存在唯一零点.(2)由(1)知,f(x)在(0,)上只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)c时,P=,所以T=x2-x1=0.当1xc时,P=,所以T=(1-)x2-()x1=.综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:T=(2)由(1)知,当xc时,每天的盈利额为0,当1xc时,T=,令T=0,解得x=3或x=9.因为1xc,c6,所以()当3c6时,Tmax=3,此时x=3.()当1c3时,由T=,知函数T=在1,3)上递增,所以Tmax=,此时x=c.综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.