精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向练习试题(名师精选).docx

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向练习 考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、在RtABC中,C90,sinA,则cosB等于( )ABCD2、边长都为4的正方形ABCD和正EFG如

2、图放置,AB与EF在一条直线上,点A与点F重合,现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,当点F与点B重合时停止,在这个运动过程中,正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是()ABCD3、如图,将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则A的正切值是()ABC2D4、如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则的正弦值是( )A2BCD5、在ABC中,C=90,若BC=4,则AB的长为( )A6BCD6、球沿坡角的斜坡向上滚动了5米,此时钢球距地面的高度是( )A米B米C米D米7、如图,若要测量小河两岸相对的两

3、点A,B的距离,可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C,测得BC50米,ACB46,则小河宽AB为多少米()A50sin46B50cos46C50tan46D50tan448、已知,在矩形中,于,设,且,则的长为( )ABCD9、如图,建筑工地划出了三角形安全区,一人从点出发,沿北偏东53方向走50m到达C点,另一人从B点出发沿北偏西53方向走100m到达C点,则点A与点B相距( )ABCD130m10、下列叙述正确的有()圆内接四边形对角相等;圆的切线垂直于圆的半径;正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数;过圆外一点所画的圆的两条切线长相等;边长为6的正三角形,其边心距为2A1个

4、B2个C3个D4个第卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,ABC的顶点是正方形网格的格点,则cosC_2、如图,已知扇形OAB的半径为6,C是弧AB上的任一点(不与A,B重合),CMOA,垂足为M,CNOB,垂足为N,连接MN,若AOB45,则MN_3、如图,在A处测得点P在北偏东60方向上,在B处测得点P在北偏东30方向上,若AP6千米,则A,B两点的距离为 _千米4、如图,圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,则图1中cosAOB_,若圆O半径为,则图2中BCD的面积为_5、如图,在正方形ABCD中,点E是AD的中点,点O是AC的

5、中点,AC与BE交于点F,AGBE,CHBE,垂足分别为G,H,连接OH,OG,CG下列结论:CHAGHG;AGHG;BHOG;AFOFOC213;5SAFGSGHC;OGACBHCD其中结论正确的序号是_三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图1,在中,(1)求的长;(2)如图2,点P沿线段从B点向C点以每秒的速度运动,同时点Q沿线段向A点以每秒的速度运动,且当P点停止运动时,另一点Q也随之停止运动,若P点运动时间为t秒若时,求证:;并求此时t的值点P沿线段从B点向C点运动过程中,是否存在t的值,使的面积最大;若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由2、如图,直线y x+2与

6、x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C(1)求抛物线的解析式;(2)点D是直线AB上方抛物线上的一动点,求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标;若DABBAC,求D点的坐标3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩,在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上,5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上已知电视塔C距离公路AB的距离为300米,求小明的徒步速度(精确到个位,)4、如图,在ABCD中,过B作BECD于点E,连结AE,F为AE上一点,且AFBD(1)求证:ABFEAD(2)若,AD6,BAE30,求BF的长5、在平面直角坐标系中,

7、抛物线与轴交于点、点,与轴交于点,点在第三象限的抛物线上,直线经过点、点,点的横坐标为(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,直线交轴于点,过点作轴,交轴于点,交抛物线于点,过点作,交直线于点,求线段的长;(3)在(2)的条件下,点在上,直线交于点,点在第二象限,连接交于点,连接,点在的延长线上,点在直线上,且点的横坐标为5,连接,求点的纵坐标 -参考答案-一、单选题1、A【分析】由知道A=30,即可得到B的度数即可求得答案【详解】解:在RtABC中,C90,A=30,B=60,故选A【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值,直角三角形两锐角互余,解题的关键是正确识记30角的正弦值和

8、60度角的余弦值2、C【分析】由题意知当t=2时,三角形和正方形重合一半面积,由此可列0t2和2t4分段函数【详解】当0t2时,设运动时GF与AD交于点H 四边形ABCD为正方形,三角形EFG为正三角形FAH=90,AFH=60AF=t,AH=tan 60AF=t,开口向上当2t4时,设运动时GE与AD交于点O四边形ABCD为正方形,三角形EFG为正三角形EAO=90,OEA=60AF=t,EA=4-t,AO=tan 60EA=(4-t),开口向下综上所述,由图象可知仅C选项满足两段函数故选:C【点睛】本题考查了动点的图像问题,做此类题需要弄清横纵坐标的代表量,并观察确定图像分为几段,弄清每一

9、段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势,主要是正负增减及变化的快慢等匀速变化呈现直线段的形式,平行于x轴的直线代表未发生变化,成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢3、D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形,然后利用正切的定义即可求解【详解】解:连接BD,则BD,AD2,则tanA故选D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,构造直角三角形是本题的关键4、C【分析】根据网格的特点,勾股定理求得的长,进而根据勾股定理逆定理判定是直角三角形,进而根据正弦的定义求解即可【详解】解:是直角三角形,且是斜边故选C【

10、点睛】本题考查了网格中勾股定理与勾股定理的逆定理的应用,正弦的定义,证明是直角三角形是解题的关键5、A【分析】由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案【详解】解:C=90,BC=4,,.故选:A.【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用,熟练掌握直角三角形边角之间的关系是解题的关键6、A【分析】过铅球C作CB底面AB于B,在RtABC中,AC=5米,根据锐角三角函数sin31=,即可求解【详解】解:过铅球C作CB底面AB于B,如图在RtABC中,AC=5米,则sin31=,BC=sin31AC=5sin31故选择A【点睛】本题考查锐角三角函数,掌握锐角三角函数的定义是解题关键7、

11、C【分析】根据三角函数的定义求解即可【详解】解:在中,米,故选:C,【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是掌握三角函数的定义8、B【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD,再根据两直线平行,内错角相等可得BAC=ACD,然后求出AC,再利用勾股定理求出BC,然后根据矩形的对边相等可得AD=BC【详解】解:DEAC,ADE+CAD=90,ACD+CAD=90,ACD=ADE=,矩形ABCD的对边ABCD,BAC=ACD,cos=,AC=4=,由勾股定理得,BC=,四边形ABCD是矩形,AD=BC=故选:B【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义,同角的余角相等的

12、性质,熟记各性质并求出BC是解题的关键9、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D,过C作CFAD,CEAD,BEAG,则GACACFEBCBCF53,在RtACF和RtBCE中,根据正切三角函数的定义得到,结合勾股定理可求得AF40,CFDE30,FDCE80,BE60,在RtABD中,根据勾股定理即可求得AB【详解】解:如图,设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D,过C作CFAD,CEAD,BEAG,CEB90,GACACFEBCBCF53,AC50,BC100,四边形CEDF是矩形,DECF,DFCE,在RtACF中,tanACFtan53,在Rt

13、BCE中,tanEBCtan53,tan53,AFCF,CEBE,在RtACF中,AF2+CF2AC2,CF2+(CF)2502,解得CFDE30,AF3040,在RtBCE中,BE2+CE2BC2,BE2+(BE)21002,解得BE60,CEDF6080,ADAF+DF120,BDBEDE30,在RtABD中,AD2+BD2AB2,AB30故选:B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题,正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键10、B【分析】利用圆内接四边形的性质可判断;根据圆的切线性质可判断;根据正多边形性质可判断;根据正三角形边长为6,连接OB、OC;先求出中心角B

14、OC,根据等腰三角形性质,求出BOD12060,利用锐角三角函数可求OD6即可【详解】解:圆内接四边形对角互补但不一定相等,故不符合题意;圆的切线垂直于过切点的半径,故不符合题意;正n多边形中心角的度数等于,这个正多边形的外角和为360,一个外角的度数等于正确,故符合题意;过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,正确,故符合题意;如图,ABC为正三角形,点O为其中心;ODBC于点D;连接OB、OC;OBOC,BOC360120,BDBC3,BOD12060,tanBOD,OD6,即边长为6的正三角形的边心距为,故不符合题意,故选:B【点睛】本题考查圆内接四边形性质,圆的切线性质,切线长性质,正多边

15、形的中心角与外角,锐角三角函数,边心距,掌握圆内接四边形性质,圆的切线性质,切线长性质,正多边形的中心角与外角,锐角三角函数,边心距是解题关键二、填空题1、255#255【解析】【分析】如图所示,连接BE,先计算出CE、BE、BC的长,即可利用勾股定理的逆定理得到CEB=90,由此求解即可【详解】解:如图所示,连接图中BE,由勾股定理得:CE=42+22=25,BE=12+22=5,BC=32+42=5,CE2+BE2=252+52=25=BC2,CEB是直角三角形,CEB=90,cosC=CECB=255,故答案为:255【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,余弦,解题的关键在于

16、能够找到E点构造直角三角形2、3【解析】【分析】根据题意作辅助线,构建三角形相似,先证明DMCDNO,得DMDC=DNDO,由夹角是公共角得:DMNDCO,得MNCO=DNDO,根据AOB45及特殊的三角函数值,代入比例式可得结论【详解】解:连接OC,延长OA、NC交于D,则OC6,CMOA,CNOB,DMCDNO90,DD,DMCDNO,DMDN=DCDO,即DMDC=DNDO,DD,DMNDCO,MNCO=DNDO,CNOB,AOB45,sinAOBDNOD=22,MNOC=22,OC6,MN6=22,MN.故答案为:【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定,特殊的三角函数值及三角函数的

17、定义,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键3、6【解析】【分析】证明ABPB,在RtPAC中,求出PC3千米,在RtPBC中,解直角三角形可求出PB的长,则可得出答案【详解】解:由题意知,PAB30,PBC60,APBPBCPAB603030,PABAPB,ABPB,在RtPAC中,AP6千米,PCPA3千米,在RtPBC中,sinPBC,PB6千米AB6千米故答案为:6【点睛】本题考查了解直角三角形应用题,方向角:指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90的角叫做方向角注意在描述方向角时,一般应先说北或南,再说偏西或偏东多少度,而不说成东偏北(南)多少度或西偏北(南)多少

18、度.当方向角在45方向上时,又常常说成东南、东北、西南、西北方向4、 ; 【解析】【分析】连接OP,根据题意,得到PB=PO=AP,从而得到BPO=150,BOP=15,AOP=60,故AOB=45,根据特殊角的函数值计算即可;如图2,连接GD,GE,可得GD是圆的直径,从而得到GED=90,根据DEGH,得到EGH=90,根据EGH+CGH =180,得到C,G,E三点共线,CG边上的高就是DE;连接BF,CF,得到BFE=45,CFG=15,GFE=120,计算CFE=135,根据CFE+BFE =180,得到C,F,B三点共线,于是=+,根据半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长,依次

19、计算求和即可【详解】连接OP,圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,PB=PO=AP,BPO=150,BOP=15,AOP=60,AOB=45,cosAOB= cos45=,故答案为:;如图2,连接GD,GE,BF,CF,圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,BFE=45,CGF=150,EF=FG=GH=HM=DM=DE,GFE=FED=EDM=DMH=MHG=HGF=120,六边形EFGHMD是正六边形,GC=GF,CFG=15,GFE=120,CFE=135,CFE+BFE =180,C,F,B三点共线,根据正六边形的性质,得GD是圆的直径,G

20、ED=90,DEGH,EGH=90,EGH+CGH =180,C,G,E三点共线,CG边上的高就是DE;=+,根据正六边形的性质,得半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长, =1,过点F作FNEG,垂足为N,FGN=30,FN=, =,=1,=3=,=1+1+=,故答案为:【点睛】本题考查了正多边形与圆,等边三角形的性质,特殊角的函数值,熟练掌握正六边形的判定和性质,学会分割法计算图形的面积是解题的关键5、【解析】【分析】根据四边形ABCD为正方形性质,和点E是AD的中点得出AE=,根据三角函数定义得出tanABE=,得出BG=2AG,证明BAGCBH(AAS),得出AG=BH,BG=CH,

21、可判断正确;根据BG=2AG,利用线段差得出HG=BG-AG=2AG-AG=AG,可判断正确;取CH中点J,连结OJ,先证AGOCJO(SAS),得出AOG=COJ,GO=JO,再证HGOHJO(SSS),得出HOG=HOJ,说明点G,O,J三点共线,得出GHJ为等腰直角三角形,利用勾股定理HG=可判断正确;四边形ABCD为正方形,可证AEFCBF,得出,求出,可判断正确;先证AGFCHF,得出GF=,求出SAFG,SGHC=,可判断不正确;利用sinDAC=sinOGH=,OGACBHCD,可判断正确【详解】解:四边形ABCD为正方形,AB=BC=AD,EAB=ABC=90,点E是AD的中点

22、,AE=tanABE=,BG=2AG,AGBE,CHBE,AGB=BHC=90,ABG+BAG=90,ABG+CBH=90,BAG=CBH,在BAG和CBH中,BAGCBH(AAS),AG=BH,BG=CH,CHAGBG-BH=HG,故正确;BG=2AG,HG=BG-AG=2AG-AG=AG,故正确;取CH中点J,连结OJ,CJ=,AGBE,CHBE,AGCH,GAO=JCO,点O是AC的中点,AO=CO,在AGO和CJO中,AGOCJO(SAS),AOG=COJ,GO=JO,在HGO和HJO中,HGOHJO(SSS),HOG=HOJ,GOH+HOJ=AOG+FOH+HOJ=COJ+FOH+H

23、OJ=AOC=180,点G,O,J三点共线,HOG+HOJ=2HOG=180,HOG=90,GHJ=90,HG=HJ,GHJ为等腰直角三角形,点O为JG中点,OH=OG=OJ,HG=,BH=HG=OG,故正确;四边形ABCD为正方形,ADBC,即AFBC,AEF=CBF,EAF=BCF,AEFCBF,OC-OF=, AFOFOC=213;故正确;AFG=CFH,AGF=CHF=90,AGFCHF,,,GF+FH=GH,GF=SAFG,SGHC=SAFGSGHC,故不正确;AC为正方形对角线,DAC=45,HOG=90,OH=OG,OGH=45,sinDAC=sinOGH=,OGACBHCD,故

24、正确其中结论正确的序号是故答案为:【点睛】本题考查正方形性质,锐角三角函数值,三角形全等判定与性质,三点共线,等腰直角三角形判定与性质,勾股定理,三角形相似判定与性质,三角形面积,本题难度大,涉及知识多,图形复杂,掌握多方面知识是解题关键三、解答题1、(1)AB=13;(2)证明见解析,t=354;存在,t=6【解析】【分析】(1)过A点作BC的垂线,垂足为D,则可求得AD=5,再由勾股定理可得AB长度(2)由APC=APQ+QPC=BAP+ABC,可得QPC=BAP,则可证得,可求得BP以及QC的长度,根据题意列一元一次方程即可过A点作BC的垂线,垂足为D,过Q点作BC垂线,垂足为H,根据题

25、意列方程即可【详解】(1)过A点作BC的垂线,垂足为D在RtABD中,ADBD=tanABC=512,BC=24BD=12BC=12AD=12512=5由勾股定理有AB=BD2+AD2AB=122+52=144+25=169=13(2)APC=APQ+QPC=BAP+ABCQPC=BAP又ABC=ACBABBP=PCQC设运动了t秒,则BP=2t,PC=24-2t,AQ=13-t,QC=t则132t=24-2tt解得t=354过A点作BC的垂线,垂足为D,过Q点作BC垂线,垂足为H,设运动了t秒,则BP=2t,PC=24-2t,AQ=13-t,QC=t,ABC=ACBcosABC=cosACB

26、在RtABD中AB=13,AD=5cosABC=cosACB=513QH=513t当2t=24时运动停止,即0t12sSPQC=12PCQHSPQC=12PC513QCSPQC=12(24-2t)513tSPQC=-513t2+6013t对称轴为t=-b2a=-60132513=6SPQC=-513t2+6013t开口朝下,612,当t=6时面积最大【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、一元一次方程的几何动点问题,根据题意列一元一次方程是解题的关键2、(1);(2)最大距离为,此时D的坐标为;【解析】【分析】(1)由直线y=x+2求得A、B的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;

27、(2)设出点和点Q的坐标,运用三角函数,求出H的函数关系式,运用求最大值的方法求解即可;先求AE的解析式,再与抛物线的解析式联立求解即可【详解】解:(1)y,当x0时,y2;当y0时,x4,A(4,0),B(0,2),把A、B的坐标代入yx2+bx+c,得,解得,抛物线的解析式为:;(2)过点D作DHy轴交AB于H,DHAB于H,令,解得,C(1,0),由(1)得A(4,0),B(0,2),在RtAOB中,BO=2,AO=4,AB=,PDOB,OBA=DQH,sinOBA=sinDQH=,设点D的横坐标为m,则D,Q,DQ=,sinDQH=,DH=()=,当m=-2时,DH最大距离为,当m=-

28、2时,=3,D(-2,3);由(1)得A(4,0),B(0,2),C(1,0),ABC=90,延长CB到E,使BC=BE,连接AE交抛物线于点D,则D点即为所求,设E(x,y),B(0,2),C(1,0),E(-1,4),A(4,0),设直线AE为y=kx+b,则,解得,直线AE为,联立,解得 (舍去),【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用,涉及勾股定理,三角函数及方程,解题的关键是找准相等解的关系利用三角函数求解3、126米/分钟【解析】【分析】过作于,则米,由解直角三角形求出AD和BD的长度,则求出AB的长度,即可求出小明的速度【详解】解:过作于,则米,同理:速度:63

29、15126(米/分钟)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,以及解直角三角形,解题的关键是正确求出AD和BD的长度4、(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)根据平行四边形性质得,推,再根据,证三角形相似,用的是两角对应相等两个三角形相似;(2)先根据,推,在直角三角形中,用三角函数求出的长,再根据,得比例线段,把已知的线段代入计算即可【详解】(1)证明:四边形为平行四边形,;(2)解:,解得:【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质,解题的关键是熟练应用平行四边形的性质和相似三角形的判断,三角函数的应用与相似比例线段的结合5、(1)抛物线的解析式为:;(2);(3)点

30、N的纵坐标为5【解析】【分析】(1)根据题意可得一次函数图象经过A、D两点,所以当及当时,可确定A、D两点坐标,然后代入抛物线解析式求解即可确定;(2)根据题意当时,代入抛物线解析式确定点P的坐标,求得,然后求出直线与y轴的交点T,利用勾股定理确定,由平行可得三角形相似,利用相似三角形的性质即可得出结果;(3)过点P作轴,且,即,利用相似三角形的性质可确定,求出直线GF的函数解析式,过点M作轴,设且,可求得MF的长度,设直线MP的函数解析式为:,将点,代入即可确定点的坐标,求出,根据题意即可确定点,设点R、点N在如图所示位置:过点N作轴,过点M作,过点R作,利用相似三角形及勾股定理即可得出结果

31、【详解】解:(1)经过A、D两点,当时,解得,当时,将A、D两点代入抛物线解析式可得:,解得:,抛物线的解析式为:;(2)当时,解得:,直线解析式,当时,在中,轴,轴,即;(3)如图所示:过点P作轴,且,即,设直线GF的函数解析式为:,可得:,解得:,直线GF的函数解析式为:,过点M作轴,设且,即,设直线MP的函数解析式为:,将点,代入可得:可得:,解得:,点,解得:,点,设点R、点N在如图所示位置:过点N作轴,过点M作,过点R作,设,则,代入化简可得:,联立求解可得:,点N的纵坐标为5【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题,包括待定系数法确定函数解析式,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数解直角三角形等,理解题意,作出相应辅助线是解题关键

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