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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-2，则m的值为（ ）AB或C或D或2、抛物线y2（x+1）2
2、不经过的象限是（）A第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限3、若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（ ）ABCD4、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（1，3），与x轴的交点A在点（3，0）和（2，0）之间，以下结论：abc0；b24ac=0；a+b+c0；2ab=0；ca=3；其中正确的有（ ）个A2B3C4D55、抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：；的最大值为3；方程有实数根其中正确的为（ ）ABCD6、已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：当时，；当时，c的最大值为0；当时，y可以取到的最大值为7上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）ABCD7、下
3、列选项中是二次函数的是（ ）ABCD8、抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD9、若A（-6，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）Ay2y3y1By1y2y3Cy3y1y2Dy2y1y310、已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线yax2+4ax+c（a0）上两点，且x1x2，则下列说法正确的是（）A若x1+x24，则y1y2B若x1+x24，则y1y2C若a（x1+x24）0，则y1y2D若a（x1+x
4、24）0，则y1y2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90得到线段CQ，连接PQ，AQ，则PAQ面积的最大值为_2、如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为_3、抛物线y（x+1）2+3的顶点坐标是 _4、如图，在RtABC中，C90，记xAC，yBCAC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，RtABC为点（x，y）对应的直角三角形有下列
5、结论：在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足ABBC；在函数y（x0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；对于函数y（x2020）21（x0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；在函数y2x+2020（x0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等所有正确结论的序号是 _5、如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，过、三点作抛物线当时，抛物线上最高点的纵坐标为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系中，
6、抛物线的顶点为A，（1）若，点A到轴的距离为_；求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围2、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大是2500元，应将售价定为多少元？3、如图1，已知二次函数yax2x+c的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、点B，点B坐标为（8，0）（1）请直接写出
7、二次函数的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使PBC的面积为16？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，过点P作PFx轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由4、已知：抛物线：交x轴于点AB（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，N为抛物线上一动点，过点N作直线轴，交抛物线于点M，点N自点A运动至点B的过程中，
8、求线段MN长度的最大值（3）P为抛物线的对称轴上一动点Q为抛物线上一动点，是否存在P、Q两点，使得B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由5、已知抛物线yax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(3，0)和点C(1，0)，顶点为点M（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标-参考答案-一、单选题1、B【分析】将二次函数配方成顶点式，分m-2、m1和-2m1三种情况，根据
9、y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得【详解】解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2， 若m-2，当x=-2时取得最小值，此时y=4+4m=-2， 解得：m=； m=-2（舍去）； 若m1，当x=1时取得最小值，y=1-2m=-2， 解得：m=； 若-2m1，当x=m时取得最小值，y=-m2=-2， 解得：或（舍）， m的值为 或， 故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解本题的关键2、C【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查
10、了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键3、D【分析】根据题意得令，得，则，即可解得答案【详解】解：根据题意得令，解得故选：D【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（，是常数，），令后，得到关于的一元二次方程，的情况决定了一元二次方程根的情况，相应的决定了抛物线与轴的交点个数4、B【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【详解】解：根据题意画出图形如下：抛物线开口向下，对称轴为直线x1，与y轴交于正半轴，a0，1，c0，b2a0，abc0，结论正确；抛物线与x轴有两个交点，0，b24ac0，故错误；由于对称轴为x1，x3与x1关于x1对称，x3时，y0，x1时，yab
11、c0，故错误；对称轴为x1，2ab0，故正确；顶点为B（1，3），yabc3，ya2ac3，即ca3，故正确；故正确的有个，故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系逐一分析五条结论的正误是解题的关键5、D【分析】根据抛物线的对称性与过点，可得抛物线与轴的另一个交点为可判断，再依次判断可判断，由对称轴为直线，可判断，由函数与的图象有两个交点，可判断，从而可得答案.【详解】解： 抛物线的图象过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为： 则 故符合题意； 抛物线与轴交于正半轴，则 则 故不符合题意； 对称
12、轴为直线， 当时， 故不符合题意；当时，则 而函数与的图象有两个交点， 方程有实数根故符合题意；综上：符合题意的是：故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.6、B【分析】当时，根据不等式的性质求解即可证明；当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；当，时，分别求出相应的y的值，然后将时，y的值变形为：，将各个不等式代入即可得证【详解】解：当时， ，即，正确；当时，二次函数的对称轴为：，当时，即时，函数在处取得最小值，即，函数在处
13、取得最大值，即，二者矛盾，这种情况不存在；当时，即时，函数在处取得最小值，即，当时，即时，时，；时，不符合题意，舍去；当时，即时，时，；时，不符合题意，舍去；，当时，即时，函数在处取得最小值，即，函数在处取得最大值，即，二者矛盾，这种情况不存在；综上可得：；故错误；当时，且；当时，且；当时，且；当时，当时，y可以取到的最大值为7；正确；故选：B【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键7、C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数【详解】解：A、yx+1，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符
14、合题意；B、，是反比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；C、，是二次函数，故该选项符合题意；D、 ，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键8、B【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，故正确；抛物线的顶点为，且经过点，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），故错
15、误；抛物线的对称轴为直线x=2，即：b=-4a，c=b-a=-5a，顶点，即：，m=-9a，即：，故正确；若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，此抛物线经过点，一定是方程的一个根，故错误故选B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置9、A【分析】根据二次函数的对称性和增减性即可得【详解
16、】解：二次函数的对称轴为直线，时的函数值与时的函数值相等，即为，又在内，随的增大而减小，且，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键10、C【分析】先求出抛物线的对称轴为，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案【详解】解：抛物线yax2+4ax+c，抛物线的对称轴为：，当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，即，x1x2，；抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；当时，抛物线yax2+4ax+c的开口向下，此时距离越远，y值越小；a（x1+x24）0，点P2（x2，y2）距离直线
17、较远，；当时，抛物线yax2+4ax+c的开口向上，此时距离越远，y值越大；a（x1+x24）0，点P1（x1，y1）距离直线较远，；故C符合题意；D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析二、填空题1、1【分析】先证明BCP=ACP，然后利用SAS证明BPCAQC得到B=CAQ，BP=AQ，从而推出PAQ =90，再利用勾股定理求出，设BP=AQ=x，则，则，最后根据二次函数的性质求解即可【详解】解：如图，将线段CP绕点C顺时针旋转90得到线段CQ，PCQ=90，CP=CQ，ACP+ACQ=90，又ACB=90，BCP
18、+ACP=90，BCP=ACP，AC=BC，BPCAQC（SAS），B=CAQ，BP=AQ，BC=AC=2，B=CAQ=BAC=45，PAQ=BAC+CAQ=90，在RtABC中，由勾股定理AB=，设BP=AQ=x，则，函数开口向下，函数有最大值，当时，故答案为：1【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质等知识点，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点是解题关键2、【分析】设，则，过点D作 PQEF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数
19、的性质求解即可【详解】解：四边形ABCD是正方形，CDE=90，设，则，过点D作 PQEF交CE于Q，GF于P，四边形CEFG是正方形，QEF=EFP=90，EF=EC=FG，EQP=90，四边形EQPF是矩形，EC=EF=PQ，当时，面积的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解3、【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数图象的顶点坐标【详解】解：抛物线的顶点坐标是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为，则其解析式为4、【分析】根据
20、在x轴上点的坐标特征可得，即，再由勾股定理即可得到，即可判断；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，若P、Q对应的两个三角形相似，则或，由此即可判断；同理即可判断；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，若P、Q对应的两个三角形全等，即可判断【详解】解：点（x，y）在x轴的正半轴上，即，C=90，故此说法正确；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，若P、Q对应的两个三角形相似，或或，不符合题意，在函数上不存在两点P，Q，使得它们对应的直角
21、三角形相似，故错误；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，若P、Q对应的两个三角形相似，图像上的任意一点P都存在另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似，故正确；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，若P、Q对应的两个三角形全等，在函数y2x+2020（x0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数，二次函数图像上点的坐标特征，x轴上点的坐标特征，熟知相关知识是
22、解题的关键5、【分析】根据题意求得顶点坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据图象上点的坐标特征即可求得抛物线上最高点的纵坐标【详解】解：、两点的坐标分别为、，点是线段的中点，轴，将线段绕点顺时针旋转得到，轴，顶点为，设抛物线的解析式为，代入得，抛物线开口向下，当时，在时，函数有最大值为：，当时，抛物线上最高点的纵坐标为故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形变化-旋转，根据题意得到顶点坐标是解题的关键三、解答题1、（1）8； ；（2） ，【分析】（1）当时，可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解；令，可得此抛物线与轴的两个
23、交点为 ，即可求解；（2）根据点A到轴的距离为4，可得 ，从而得到抛物线为 ，再由此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，可得方程，从而得到 ，进而得到 ，然后把 ，联立可得 ，再由点在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称轴 在点的左侧，即可求解【详解】解：（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ，点A到轴的距离为8；令，即 ，解得： ，此抛物线与轴的两个交点为 ，此抛物线与轴的两个交点之间的距离为 ；（2）点A到轴的距离为4， ，解得： ，抛物线为 ，此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，即 ， ，解得： ，把 ，联立得： ，解得： ，点在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴 在点的左侧， ，
24、，即 ， 取任意实数，的取值范围为 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键2、（1）2400；（2）应将售价定为125元，最大销售利润是2500元【分析】（1）已知原每天利润为130-100，每星期可卖出80件，进而求出即可（2）设将售价定为x元，则销售利润为y=（x-100）（80+20），故可求出y的最大值【详解】解：（1）（130100）802400（元）；故商家降价前每星期的销售利润为2400元；（2）设应将售价定为x元，则销售利润y（x100）（8020），4x21000x600004（x125
25、）22500当x125时，y有最大值2500故应将售价定为125元，最大销售利润是2500元【点睛】本题考查的是二次函数的应用，利用利润=销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式是解题关键3、（1）二次函数解析式，（2）存在，点P（4，6）；（3）存在，点M的坐标为（-1，）或（-3，）或（9，）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象经过C（0，4），点B（8，0）代入解析式得出方程组，解方程组即可；（2）存在，过点P作PG平行y轴，交BC于G，先求出BC解析式为：，设点P（m, ）,点G（m，），求出PG=，根据三角形面积得出，解方程即可；（3）存在：设点，先求
26、出对称轴,点，点E（4，2），点A（-2，0），分三种情况，当AE为对角线，四边形MANE为平行四边形，四点横坐标应满足：，当ME为对角线，四边形AMNE为平行四边形，四点横坐标应满足：，当EN为对角线，四边形ANME为平行四边形，四点横坐标应满足：，正确纵坐标即可【详解】解：（1）二次函数的图象经过C（0，4），点B（8，0）代入解析式得：，解得二次函数解析式，（2）存在，过点P作PG平行y轴，交BC于G，设BC解析式为：，将B、C两点坐标代入解析式得：，解得：，BC解析式为：，设点P（m, ）,点G（m，），PG=，SPBC=，整理得，=64-64=0，点P（4，6）（3）存在：分三种情况
27、，设点，抛物线的对称轴为,点当m=4时，点E（4，2），当y=0时，解得点A（-2，0）当AE为对角线，四边形MANE为平行四边形，四点横坐标应满足：，解得，点M（-1，），当ME为对角线，四边形AMNE为平行四边形，四点横坐标应满足：解得，点M（-3，）， 当EN为对角线，四边形ANME为平行四边形，四点横坐标应满足：解得，点M（9，），综合点M的坐标为（-1，）或（-3，）或（9，）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，利用三角形面积列方程，平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，利用三角形面积列方程，平行四边形性质是解题关键4、（1）；（2）当时
28、有最大值；（3）存在，且坐标分别为，或，或，【分析】（1）根据题意，先求出抛物线与x轴的交点A，抛物线经过点A，E两点，设抛物线解析式为，将点D代入解析式求解即可确定抛物线的解析式；（2）设，根据轴，可得点M的坐标，MN长即为两个点的纵坐标之差，代入化简为二次函数，根据x的取值范围，即可确定其最大值；（3）根据题意，分三种情况讨论：当，且均在x轴上方时，；当，且均在x轴下方时，；当BD为平行四边形的对角线时；三种情况均是通过全等三角形的判定定理和性质得出三角形的边相等，然后利用线段间的关系及函数解析式得出点的坐标【详解】解：（1）令，可得，解得或，A点坐标为，B点坐标为，抛物线，经过点A，E两
29、点，可设抛物线解析式为，又抛物线交轴于点，解得，抛物线的函数表达式为：；（2）由题意可设，设，轴，则.，当时，有最大值；（3）当，且均在x轴上方时，如图所示：过点作，对称轴平行于y轴，在Q1FP1与BDO中，Q1FP1BDO，点的横坐标为，将代入，解得：，；当，且均在x轴下方时，如图所示：过点作，过点作，过点作，在Q2GB与DFP2中，Q2GBDFP2，点的横坐标为：，将代入，解得：，结合图象，可得：，；当BD为平行四边形的对角线时，过点作，过点作，在BFQ3与DGP3中，BFQ3DGP3， ，点的横坐标2，将代入，解得：，结合图象，可得：，；综上可得：存在点P、Q，且坐标分别为，或，或，【点
30、睛】题目主要考查二次函数与动点问题，包括确定函数解析式，最值问题，二次函数与平行四边形相结合等，理解题意，作出相应辅助线及图象是解题关键5、（1）y=-x2-2x+3；顶点M的坐标为（-1，4）；（2）点E（-，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作A关于x轴的对称点A（0，-3），连接MA交x轴于E，此时AME的周长最小，则根据题意即可求得E的坐标；（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3），分三种情况进行讨论
31、：当PBF=90时，由F1Px轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；当BF3P=90时，如图3，点P与C重合，当BPF4=90时，如图3，点P与C重合，从而得结论【详解】解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，M（-1，4）；（2）如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A（0，-3），连接AM交x轴于点E，则点E就是使得AME的周长最小的点
32、，设直线AM的解析式为：y=kx+b，把A（0，-3）和M（-1，4）代入得：，解得：，直线AM的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0，x=-，点E（-，0）；（3）如图2，同理求得直线AB的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为（m，m+3），当PBF=90时，过点B作BPAB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即BPF1和BPF2，OA=OB=3，AOB和AOB是等腰直角三角形，F1BC=BF1P=45，F1Px轴，P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），P（2，-5）；当BF3P=90时，如图3，F3BP=45，又F3BO=45，点P与C重合，故P（1，0）；当BPF4=90时，如图3，F4BP=45，又F4BO=45，点P与C重合，故P（1，0），综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用