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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A1
2、BC8D42、在平面直角坐标系中，将抛物线yx2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）Ay(x1)21By(x1)21Cy(x1)21Dy(x1)213、已知抛物线经过，若时，则，的大小关系是（ ）ABCD4、二次函数的图象开口（ ）A向下B向上C向左D向右5、如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x2有以下结论：abc0；5a+3b+c0；a；若点M(9a，y1)，N(a，y2)在抛物线上，则y1y2其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D46、若A（-6，
3、y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）Ay2y3y1By1y2y3Cy3y1y2Dy2y1y37、对于题目“抛物线：与直线：只有一个交点，则整数的值有几个”；你认为的值有（ ）A3个B5个C6个D7个8、将抛物线yx2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）ABCD9、抛物线y2（x1）22图象与y轴交点的坐标是（）A（0，2）B（0，2）C（0，0）D（2，0）10、已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在第
4、二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若ABC的周长为5，则四边形AOBC的周长为 _2、如果数m使关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为_3、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；中正确的是_4、某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为_元5、二次函数的最大值为，则的值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在中，P是
5、边上任意一点，PEAB交于E，PFAC交于（1）求证：；（2）若，且边上的高，设，用含x的式子表示的面积；（3）问点P在上什么位置时，的面积最大?2、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值x012y3430（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移_个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点4、如图，已知抛物线经过点，交轴于另一点，其顶点为（1）求抛物线的解析式；（2）为轴上一点，若与相似，直接写出点的坐标5、如图，在平面直角坐标系
6、中，抛物线yx2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B且点A(0，5)，B(5，0)，点P为抛物线上的一动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当S四边形APCD时，求点P坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据抛物线的性质，得到；整理分式方程，得到y=，根据分式方程有整数解，且y=1时，对应a值不能取，确定符合题意的a值，最后求和即可【详解】关于x
7、的二次函数，当时，y随x的增大而减小，即a2；，(a-1)y=-4，当y=1时，a=-3，此值要舍去；y=，关于y的分式方程有整数解，1-a=1；1-a=2；1-a=4；a=0或a=2；a=-1或a=3；a=-3或a=5；a2，且a-3，a=0或a=2或a=-1；符合条件的所有整数a的和-1+0+2=1，故选A【点睛】本题考查了二次函数的对称性，分式方程的整数解，正确判定抛物线对称轴的属性，正确求得整数解的a值是解题的关键2、B【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的规律写出即可【详解】解：向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标，所得抛物线解析式是y=(x-1)2+1，故选：
8、B【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式3、C【分析】由，纵坐标相同可以看出AB关于对称轴对称，即对称轴为，再结合C、D坐标可得C、D关于对称轴对称，再根据，比较m和p的大小即可【详解】，对称轴为，关于对称轴对称，即在对称轴右边当也在对称轴右边时此时由y随x的增大而减小，当在对称轴右边时此时由y随x的增大而减小，故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB纵坐标相同可以看出A、B关于对称轴对称4、A【分析】根据二次函数的二次项系数的符号即可判断开口方向【详解】解：二次函数，二次函数的图象开口向下故选A【点
9、睛】本题考查了二次函数的图象的性质，掌握二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下是解题的关键5、C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答【详解】解：由开口可知：a0，对称轴 b0，由抛物线与y轴的交点可知：c0，abc0，故正确；对称轴x=， b=-4a，5a+3b+c=5a- 12a+c=-7a+c，a0，c0，-7a+c0，5a+3b+c 0，故正确；x=-1，y=0，a-b+c=0， b=-4a，c=-5a，2c3，2-5a3，a，故正确；点M(-9a，y1)，N(，y2) 在抛物线上，则 当时，y1y2当-时，y1y2故错误故选： C【点睛】本题考查二次函数的图象与性质
10、，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型6、A【分析】根据二次函数的对称性和增减性即可得【详解】解：二次函数的对称轴为直线，时的函数值与时的函数值相等，即为，又在内，随的增大而减小，且，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键7、D【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可【详解】解：由抛物线：可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），如图，当x=1时，y=0，当x=4时，y=5，抛物线与直线y=m只有一个交点，0m5或m=4，整数m=0或1或2或3或4或5或4，即整数m的值有7个，故选：D【点睛】本题考查二
11、次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键8、A【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可【详解】解：将抛物线yx2向上平移3个单位长度得到的抛物线是故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键9、C【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，当时，计算y的值，即可得到答案【详解】当时， 抛物线y2（x1）22图象与y轴交点的坐标是：（0，0）故选：C【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解10、B【分析】利用抛物线解析式即可求得答案【详解】解：，抛物线顶点坐标为，故选：B【点睛】本题主要考查
12、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ya（xh）2k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为xh二、填空题1、9【分析】根据抛物线的对称性得到：OB=4，AB=AO，则四边形AOBC的周长为：AO+AC+BC+OB=ABC的周长+OB【详解】解：根据题意，对称轴为直线x=2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，OB=4，由抛物线的对称性知AB=AO，四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=ABC的周长+OB=5+4=9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的性质此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC的周长转化为求（ABC的周长+OB）是值2、0【分析】由
13、题意关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数的条件为=4+4（m-4）0，当m=2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根，当m2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根的条件是=16+4（m-2）0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可【详解】解：关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数，a=-10，开口向下，=4+4（m-4）0，解得m3，当m=2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0可化为4x-1=0，该方程有实数根，当m2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根的条件是=16+4（m-2）0，解得m-2
14、且m2，综上所述，-2m3，整数m的取值为：-2、-1、0、1、2，则其和为：-2-1+0+1+2=0故答案为：0【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的定义，根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到不等式是解题的难点3、【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=3时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】根据图示知，该函数图象的开口向下，a0，故正确；观察图像，结合抛物线的对称轴可知：，故正确；所以四项正确故答案为：【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用
15、对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换4、2【分析】知的最大值在时取得，值为【详解】解：根据函数图像性质可知在时，最大且取值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题解题的关键将二次函数化成顶点式5、【分析】先找出二次函数取得最大值时x的取值，再将x和最大值代入二次函数解析式即可求出a的值【详解】解：二次函数的最大值为，a0，且二次函数取得最大值时，此时故答案为：【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握该知识点是解题关键三、解答题1、（1）见解析；（2）（3）点位于的中点时，最大【分析】（1）根据两组对边分别平行，证明四边形是平行四边形即可得证；（2）根据已
16、知条件先求得，根据平行线可得，根据面积比等于相似比，表示出，进而根据列出代数式即可；（3）根据（2）的结论，根据二次函数的性质即可求解【详解】（1）证明：PEAB，PFAC四边形是平行四边形；（2）解：，且边上的高， PEAB，四边形是平行四边形即（3）时，面积最大值为即点位于的中点时，最大【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求二次函数最值问题，根据题意分别表示出是解题的关键2、（1）y=-（x+1）2+4；（2）n-5【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（1
17、，0）代入求出a即可；（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可【详解】解：（1）抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，把（1，0）代入得a（1+1）2+4=0，解得a=-1，抛物线解析式为y=-（x+1）2+4；（2）二次函数的图象与直线有两个交点，-（x+1）2+4=n，即，=，解得n4，n的取值范围为n6，解得n-5，综上n的取值范围为n-5【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关
18、于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质3、（1）；（2）1【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可【详解】（1）解： 抛物线经过点（2，1）， 解得： 该抛物线的表达式为 （2）解：抛物线的顶点为（3，），若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3,0），此时满足题意【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键4、（1）；（2）或【分析】（1）把点，代入解析式，即可
19、求解；（2）过点E作 轴于点E，根据函数解析式，可得顶点坐标为 ，从而可得到CAP=OCD=135，然后分两种情况讨论即可求解【详解】解：（1）抛物线经过点，解得抛物线的解析式为；（2）如图，过点E作 轴于点E，顶点坐标为 ，DE=1，OE=4，点，OA=OC=3，CE=1，DE=CE， ，AOC=CED=90，OAC=45，DCE=45，CAP=OCD=135，如图，当 时，有 ， ，解得： ，OP=5，此时点 ；如图，当 时，有 ， ，解得： ，OP=12，此时点 ；综上所述，点的坐标为或【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知
20、识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键5、（1）yx2+4x+5（2）P(2，9)或(3，8)（3）Q(1，6)或(0，5)或(9，4)【分析】（1）由点A，B坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P的横坐标为t，则P（t，t2+4t+5），D（t，t+5），求出S四边形APCD2t2+10t，SAOE，由题意得出方程求出t即可得出答案；（3）分EM为边和为对角线两种情况进行求解：当EM为平行四边形的边时，由EMPQ建立方程求解；当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可（1）将点A（0，5），B（5，0）分别代入yx2+bx+c得，二次函数的解析式为yx2+4x+5；
21、（2）ACx轴，点A（0，5），当y5时，x2+4x+55，x10，x24，C（4，5），AC4，设直线AB的解析式为ymx+n，将A（0，5），B（5，0）分别代入ymx+n得，解得，直线AB的解析式为yx+5；设点P的横坐标为t，则P（t，t2+4t+5），D（t，t+5），PD（t2+4t+5）（t+5）t2+5t，AC4，S四边形APCDPD（t2+5t）2t2+10t，函数yx2+4x+5，当y0时，有x2+4x+50，x11，x25，E（1，0），OE1，又OA5，S四边形APCDSAOE，12，解得：t12，t23，P(2，9)或(3，8)；（3）抛物线的对称轴与yx+5交于点M，M（2，3），设Q（a，a+5），P（m，m2+4m+5），若EMPQ，四边形EMPQ为平行四边形，解得或，Q（1，6）或（0，5）；若EMPQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，4）；若EM为对角线，则，解得（不合题意舍去）或(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q的坐标为Q(1，6)或(0，5)或(9，4)【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q的坐标时，分类讨论是解本题的难点