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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测评 考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,ABC中,AB=AC,ADBC于D ,BEAC于E,下列结论不成立的是()A1=2BEBC=2CBAC
2、=AFEDAFE=C2、如图,等腰ABC中,于D,点O是线段AD上一点,点P是BA延长线上一点,若,则下列结论:;是等边三角形;其中正确的是( )ABCD3、如图,ABC是等边三角形,D是BC边上一点,于点E若,则DC的长为()A4B5C6D74、如图,等题直角OAB中,过点A作,若线段上一点C满足,则的度数为( )ABCD5、如图,ABC中,ABAC,A50,MN垂直平分AB交AB于点M,交AC于点N,连接BN,NDBC于点D,则BND的度数为( )A65B75C55D506、如图,ABC中,ABC与ACB的平分线交于点F,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:BDF是等
3、腰三角形;DEBD+CE;若A50,则BFC115;DFEF其中正确的有( )A1个B2个C3个D4个7、如图,在中,为的中点,为上一点,为延长线上一点,且有下列结论:;为等边三角形;其中正确的结论是( )ABCD8、如图,在ABC中,BAC=90,ABC=2C,平分ABC,交AC于点E,于点D,有下列结论:;点E在线段BC的垂直平分线上;其中,正确的结论有( )A1个B2个C3个D4个9、下列说法正确的是()A全等三角形是指形状相同的两个三角形B全等三角形的周长和面积分别相等C所有的直角三角形都是全等三角形D所有的等边三角形都是全等三角形10、下列四组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是(
4、 )A5,13,12B6,8,10C9,12,15D3,4,6第卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、若,则以、为边长的等腰三角形的周长为_2、如图,BD是ABC的角平分线,E是AB上的中点,已知ABC的面积是12cm2,BC:AB19:17,则AED面积是 _3、如图,在四边形ABCE中,BA,E90,点D在AB上,ADBD511,连接CD,若点D在CE的垂直平分线上且满足A2BDC,CE10,则线段AB的长为_4、如图:ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为_5、若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的
5、等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为_cm三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、中,CD平分,点E是BC上一动点,连接AE交CD于点D(1)如图1,若,AE平分,则的度数为_;(2)如图2,若,则的度数为_;(3)如图3,在BC的右侧过点C作,交AE延长线于点F,且,试判断AB与CF的位置关系,并证明你的结论2、如图,长方形AOBC在直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,已知点C的坐标是(8,4)(1)求对角线AB所在直线的函数关系式;(2)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M,连接AM,求线段AM的长;(3)若点P是直线AB上的一个动点,当PAM的面积与长方形OACB的面积相
6、等时,求点P的坐标3、如图,已知锐角ABC(1)尺规作图:作ABC的高AD(保留作图的痕迹,不要求写出作法);(2)若,AB+BD与DC有什么关系?并说明理由4、已知,ABC中,A+2B=180(1)如图1,求证:AB=AC;(2)如图2,D是ABC外一点连接AD、BD,且AB=AD,作的平分线交BD于点E,若,求AED的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,连接CD交AE于点F,若AF=2,BE=3,求DE的长5、在ABC中,B=90,D为BC延长线上一点,点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点,连接EA,EC,ED(1)如图1,当BAC=50时,则AED=_;(2)当时,如图2,连接AD,
7、判断AED的形状,并证明;如图3,直线CF与ED交于点F,满足CFD=CAEP为直线CF上一动点当PE-PD的值最大时,用等式表示PE,PD与AB之间的数量关系为_,并证明-参考答案-一、单选题1、C【分析】由,可得AD平分,判断出,再根据于D ,于E,可知,可判断出和,即可得到答案【详解】解:A、在中,AD平分,选项说法正确,不符合题意;B、于D ,于E,选项说法正确,不符合题意;C、是的外角,无法得到,无法得到,选项说法错误,符合题意;D、在中,在中,选项说法正确,不符合题意;故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、同角的余角相等的性质及三角形的外角的性质,解决问题的关键是熟练运用相关性
8、质2、A【分析】利用等边对等角得:APOABO,DCODBO,则APO+DCOABO+DBOABD,据此即可求解;因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是ABD的角平分线,可作判断;证明POC60且OPOC,即可证得OPC是等边三角形;证明OPACPE,则AOCE,得ACAE+CEAO+AP【详解】解:如图1,连接OB,ABAC,ADBC,BDCD,BADBAC12060,OBOC,ABC90BAD30OPOC,OBOCOP,APOABO,DCODBO,APO+DCOABO+DBOABD30,故正确;由知:APOABO,DCODBO,点O是线段AD上一点,ABO与DBO不一定相等,则APO与
9、DCO不一定相等,故不正确;APC+DCP+PBC180,APC+DCP150,APO+DCO30,OPC+OCP120,POC180(OPC+OCP)60,OPOC,OPC是等边三角形,故正确;如图2,在AC上截取AEPA,PAE180BAC60,APE是等边三角形,PEAAPE60,PEPA,APO+OPE60,OPE+CPECPO60,APOCPE,OPCP,在OPA和CPE中,OPACPE(SAS),AOCE,ACAE+CEAO+AP,ABAO+AP,故正确;正确的结论有:,故选:A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,正确
10、作出辅助线是解决问题的关键3、C【分析】先求解 可得 从而可得答案.【详解】解: 是等边三角形, , 故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,含的直角三角形的性质,掌握“直角三角形中,所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.4、C【分析】过点作,交的延长线于,于,由“”可证,可得,由“”可证,可得,即可求解【详解】解:如图,过点作,交的延长线于,于,又,又,在和中,在和中,故选:C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,角平分线的性质等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键5、B【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可
11、求得ABC=65,再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得ABNA50,进而NBC=15,再根据三角形的内角和定理求解即可【详解】解:ABAC,A50,ABC(18050)65,MN垂直平分AB交AB于点M,ANBN,ABNA50,NBC15,NDBC,BDN90,BND180BDNNBC=1809015=75,故选:B【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键6、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答【详解】解:BF是AB的角平分线,DBFCBF,DEB
12、C,DFBCBF,DBFDFB,BDDF,BDF是等腰三角形;故正确;同理,EFCE,DEDF+EFBD+CE,故正确;A50,ABC+ACB130,BF平分ABC,CF平分ACB,FBC+FCB(ABC+ACB)65,BFC18065115,故正确;当ABC为等腰三角形时,DFEF,但ABC不一定是等腰三角形,DF不一定等于EF,故错误故选:C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点,根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键7、C【分析】连接BP,由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断;由三角形内角和定理可求PEA+PA
13、E120,可得 可判断;过点A作AFBC,在BC上截取CGCP,由“SAS”可证PACEAC,延长至,使则点P关于AB的对称点P,连接PA,根据对称性质即可判断;过点A作AFBC,在BC上截取CGCP,由三角形的面积的和差关系可判断【详解】解:如图,连接BP,ACBC,ABC30,点D是AB的中点,CABABC30,ADBD,CDAB,ACDBCD60,CD是AB的中垂线,APBP,而APPE,APPBPEPABPBA,PEBPBE,PBA+PBEPAB+PEB,ABCPAD+PEC30,故正确;PAPE,PAEPEA,ABCPAD+PEC30,PAE+PEA 而 PAE是等边三角形,故正确;
14、如图,延长至,使则点P关于AB的对称点为P,连接PA, APAP,PADPAD,PAE是等边三角形,AEAP,AEAP,CADCAP+PAD30,2CAP+2PAD60,CAP+PAD+PAD60PAC, PACEAC,ACAC,PACEAC(SAS),CPCE,CECPCP+PD+DPCP+2PD,故错误;过点A作AFBC,在BC上截取CGCP,CGCP,BCD60,CPG是等边三角形,CGPPCG60,ECPPGB120,且EPPB,PEBPBE,PCEPGB(AAS),CEGB,ACBCBG+CGEC+CP,ABC30,AFBE,AFABAD,SACBCBAF(EC+CP)AFECAF+
15、CPADS四边形AECP,S四边形AECPSABC故正确所以其中正确的结论是故选:C【点睛】本题考查了全等三角形的判定,等边三角形的判定和性质,含的直角三角形的性质,垂直平分线的定义与性质,添加恰当辅助线是本题的关键8、D【分析】首先求出C=30,ABC=60,再根据角平分线的定义,直角三角形30角的性质,线段的垂直平分线的定义一一判断即可【详解】解:在ABC中,BAC=90,ABC=2C,C=30,ABC=60,BE平分ABC,ABE=EBC=30,EBC=C,EB=EC,ACBE=ACEC=AE,故正确,EB=EC,点E在线段BC的垂直平分线上,故正确,ADBE,BAD=60,BAE=90
16、,EAD=30,EAD=C,故正确,ABD=30,ADB=90,AB=2AD,BAC=90,C=30,BC=2AB=4AD,故正确,故选:D【点睛】本题考查角平分线的性质,线段的垂直平分线的定义,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型9、B【分析】根据全等三角形的性质,等边三角形的性质判断即可【详解】解:A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形,该选项错误;B、全等三角形的周长和面积分别相等,该选项正确;C、所有的直角三角形不一定都是全等三角形,该选项错误;D、所有的等边三角形不一定都是全等三角形,该选项错误;故选:B【点睛】本题考查的是全等三角形的
17、性质,掌握全等形的概念,全等三角形的性质是解题的关键10、D【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可【详解】解:A、,故A不符合题意B、,故B不符合题意C、,故C不符合题意D、,故D符合题意故选:D【点睛】本题主要是考查了勾股定理的逆定理,熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形,是解决本题的关键二、填空题1、17【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值,再分情况讨论求解即可【详解】解:,解得:,若是腰长,则底边为7,三角形的三边分别为3、3、7,3、3、7不能组成三角形;若是腰长,则底边为3,三角形的三边分别为7、7、3,能组成三角形,周长为:,以、为边长的等腰三角形的周长为17,故
18、答案为:17【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,绝对值和平方的非负性,以及三角形的三边关系,难点在于要分类讨论求解2、【分析】根据角平分线的性质得出DF=DG,再由三角形面积计算即可得答案【详解】解:作DGAB,交AB的延长线于点D,作DFBC,BD是ABC的角平分线,DF=DG,BC:AB19:17,设DF=DG=h,BC=19a,AB=17a,ABC的面积是12cm2,36ah=24,ah=,E是AB上的中点,AE=,AED面积=h=(cm2)故答案为:cm2【点睛】本题考查了根据角平分线的性质和三角形面积的计算,做题的关键是掌握角平分线的性质3、【分析】根据题意过点D作DGEC,CFAB
19、,连接AC、DE,先证明ADEBCD和GDCFDC,进而设AD=BC=5x,AE= BD=11x,AF=y,则BF=16x-y,通过勾股定理建立方程求解即可.【详解】解:过点D作DGEC,CFAB,连接AC、DE,点D在CE的垂直平分线上,DGEC,DE=DC,AEC90,DGEC,EAD2BDC,BEAD,DE=DC,ADEBCD,AE=BD,DGEC,CFAB,CD=CD,GDCFDC,又CE10,CG=CE,CF=CG=5, ADBD511,设AD=BC=5x,AE= BD=11x,AF=y,则BF=16x-y,由勾股定理AC2=AE2+CE2=CF2+AF2得到121x2+100=25
20、+y2由勾股定理得BC2=CF2+BF2得到25x2=25+(16x-y)2联立可解得,.故答案为:.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用和垂直平分线性质,熟练掌握通过垂直平分线性质和角平分线性质构造全等三角形是解题的关键.4、19cm【分析】根据线段垂直平分线的性质可得ADCD,AC2AE6cm,由ABD的周长AB+BD+AD13cm,得到AB+BC13cm,由此即可得到答案【详解】解:DE是AC的垂直平分线,ADCD,AC2AE6cm,又ABD的周长AB+BD+AD13cm,AB+BD+CD13cm,即AB+BC13cm,ABC的周长AB+BC+AC13+619cm故答
21、案为:19cm【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键5、9或7.5或9【分析】分9是底边和腰长两种情况,分别列出方程,求解即可得到结果【详解】解:若9cm为底时,腰长应该是(24-9)=7.5cm,故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm,7.5+7.5=159,故能围成等腰三角形;若9cm为腰时,底边长应该是24-92=6,故三角形的三边为9cm、9cm、6cm,6+9=159,以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形,综上所述,腰长是9cm或7.5cm,故答案为:9或7.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的周长,掌握等腰三角形
22、的两腰相等是解题的关键三、解答题1、则该直线的解析式为:y=x+令x=0,则y=5,即B(0,5);(2)由(1)知,C(-3,2)如图1,设Q(a,-a)SQAC=2SAOC,SQAO=3SAOC,或SQAO=SAOC,当Q在第二象限即SQAO=3SAOC时,OAyQ=3OAyC,yQ=3yC,即-a=32=6, 解得 a=-9,Q(-9,6);当Q在第四象限SQAO=SAOC时,OAyQ=OAyC,yQ=2yC,即a=2,解得 a=3(舍去负值),Q(3,-2);综上,点Q的坐标为(-9,6)或(3,-2);(3)如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P;如图3,作P
23、1FCD于F,P1EOC于E,作P2HCD于H,P2GOC于GC(-3,2),A(-5,0),AC=,P2H=P2G,P2HCD,P2GOC,CP2是OCD的平分线,OCP2=DCP2,AP2C=AOC+OCP2,ACP2=ACD+DCP2,ACP2=AP2C,AP2=AC,A(-5,0),P2(-5+2,0)同理:P1(-5-2,0)综上,点P的坐标为(-5-2,0)或(-5+2,0)【点睛】本题考查了一次函数综合题,涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,综合性较强5(1)40;(2)10;(3)ABCF,理由见解析【分析】(1
24、)根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得BAC+ACB=140即可求解;(2)根据三角形的外角性质求得B+BAE=47即可求解;(3)延长AC到G,根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到FCG=2F,再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到BCF=2F,则有B=BCF,根据平行线在判定即可得出结论【详解】解:(1)ADC=110,DAC+DCA=180110=70,AE平分BAC,CD平分ACB,BAC=2DAC,ACB=2DCA,BAC+ACB=2(DAC+DCA)=140,B=180(BAC+ACB)=180140=40,故答案为:40;(2)ADC=DCE+DEC=100,DCE
25、=53,DEC=10053=47,B+BAE=DEC=47,BBAE=27,BAE=10,故答案为:10;(3)ABCF,理由为:如图,延长AC到G,AC=CF,F=FAC,FCG=F+FAC=2F,CFCD,BCF+BCD=90,FCG+ACD=90,CD平分ACB,BCD=ACD,BCF=FCG=2F,B=2F,B=BCF,ABCF【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键2、(1);(2)5;(3)点P的坐标为(,)或(,)【分析】(1)由坐标系中点的意义结合图形可得出A、
26、B点的坐标,设出对角线AB所在直线的函数关系式,由待定系数法即可求得结论;(2)由勾股定理求出AB的长,再结合线段垂直平分线的性质,可得AMBM,OMOBBM,再次利用勾股定理得出AM的长;(3)(方法一)先求出直线AM的解析式,设出P点坐标,由点到直线的距离求出AM边上的高h,再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标;(方法二)由PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出SPAM的值,设点P的坐标为(x,x4),分点P在AM的右侧及左侧两种情况,找出关于x的一元一次方程,解之即可得出点P的坐标,此题得解【详解】解:(1)四边形AOBC为长方形,且点C的坐标是(8,4),AOCB
27、4,OBAC8,A点坐标为(0,4),B点坐标为(8,0)设对角线AB所在直线的函数关系式为ykxb,则有,解得:,对角线AB所在直线的函数关系式为yx4(2)AOB90,勾股定理得:AB4,MN垂直平分AB,BNANAB2MN为线段AB的垂直平分线,AMBM设AMa,则BMa,OM8a,由勾股定理得,a242(8a)2,解得a5,即AM5(3)(方法一)OM3,点M坐标为(3,0)又点A坐标为(0,4),直线AM的解析式为yx4点P在直线AB:yx4上,设P点坐标为(m,m4),点P到直线AM:xy40的距离hPAM的面积SPAMAMh|m|SOABCAOOB32,解得m ,故点P的坐标为(
28、,)或(,)(方法二)S长方形OACB8432,SPAM32设点P的坐标为(x,x4)当点P在AM右侧时,SPAMMB(yAyP)5(4x4)32,解得:x,点P的坐标为(,);当点P在AM左侧时,SPAMSPMBSABMMByP105(x4)1032,解得:x,点P的坐标为(,)综上所述,点P的坐标为(,)或(,)【点睛】本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式,解题的关键:(1)根据坐标系中点的意义,找到A、B点的坐标;(2)由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM的长度;(3)(方法一)结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方
29、程;(方法二)利用分割图形求面积法找出关于x的一元一次方程本题属于中等题,难度不大,运算量不小,这里尤其要注意点P有两个3、(1)见详解;(2),理由见详解【分析】(1)以点A圆心,适当长为半径画弧,交BC于两点,再以这两点为圆心,大于这两点的距离的一半为半径画弧,交于一点,然后连接即可;(2)在DC上截取DE=BD,连接AE,由题意易得AB=AE,则有B=AEB,进而可得AE=EC,最后问题可求解【详解】解:(1)如图所示,即为所求;(2),理由如下:在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示:,AB=AE,B=AEB,AE=EC=AB,【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平
30、分线的性质定理,熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键4、(1)见解析;(2)60;(3)12【分析】(1)已知条件结合三角形内角和定理证明ABC为等边三角形即可;(2)先说明ABC为等边三角形,即BAC=ABC=C=60,设ABD=x,则D=ABD=x,然后根据四边形的内角和用x表示出CAD,进而表示出EAD,最后根据三角形内角和即可解答;(3)如图:作AMBD,根据题意说明MD=MB,进而说明AECD,设AE=x,则MD=x+3,然后根据线段的和差列方程解答即可【详解】(1)证明:ABCA+B+C=180A+B+C=A+2BB=C;解:(2),ABC是等边三角
31、形BAC=ABC=C=60设ABD=x,则D=ABD=x,四边形ACBDC+DBC+D+DAC=360,即60+60+x+x+DAC=360DAC=240-2x作的平分线交于点EEAD=DAC=120-xAEDD+AED+EAD=180,即x+AED+120-x =180,解得AED=60;(3)作AMBDAB=ADMD=MBAC=AD,AE平分CADAECD由(2)得AED=60,设ME=xAE=2x,DE=2EF,BM=MF=x+3DE=MD+ME=2x+3EF= AE=EF+AF=+3+3=2x,解得:x=DE=2x+3=12【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的
32、判定与性质、等腰三角形的性质,含30的直角三角形的性质等知识点,灵活应用相关知识点成为解答本题的关键5、(1)80;(2)是等边三角形;(3)【分析】(1)根据垂直平分线性质可知,再结合等腰三角形性质可得,利用平角定义和四边形内角和定理可得,由此求解即可;(2)根据(1)的结论求出即可证明是等边三角形;(3)根据利用对称和三角形两边之差小于第三边,找到当的值最大时的P点位置,再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形,利用旋转全等模型即可证明,从而可知,再根据30直角三角形性质可知即可得出结论【详解】解:(1)点E为线段AC,CD的垂直平 分线的交点,在中,故答案为:(2)结论:是等边三角形证明:在中,由(1)得:,是等边三角形结论:证明:如解图1,取D点关于直线AF的对称点,连接、;,等号仅P、E、三点在一条直线上成立,如解图2,P、E、三点在一条直线上,由(1)得:,又,又,点D、点是关于直线AF的对称点,是等边三角形,是等边三角形,在和中, ,(SAS),在中,【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定,全等三角形性质和判定等知识点,解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找到P的位置,并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形