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1、角平分线的性质,第五章生活中的轴对称,教学目标1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）,角平分线1.角的对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.应用格式:如图OP平分AOB,PDOA,PEOB,PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).,知识管理,1.角平分线的概念,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.,归类探究,2.下图中能表示点P到直线l的距离的是.,线段PC的长,3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P
2、到直线l2的距离的是.,图1,归类探究,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.,角平分线的尺规作图,归类探究,A,B,O,已知:AOB.,求作：AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!,动手画一画,归类探究,如图，任意作一个角AOB，作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
3、,PD=PE,角平分线的性质,解：,PDOA,PEOB，,PDO=PEO=90.,在PDO和PEO中，,PDOPEO(AAS).,PD=PE.,归类探究,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即,1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.,归类探究,性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP是AOB的平分线，,PD=PE,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.,推理的理由有三个，必须写完全，不能
4、少了任何一个.,PDOA,PEOB，,归类探究,已知ABC,求作一点P,使P到BAC的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是()A.P是BAC与ABC两角平分线的交点B.P为BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC、AB两边上的高的交点D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点,解析由P到BAC的两边的距离相等,知P在BAC的平分线上,由PA=PB确定点P在AB的垂直平分线上.故选B.,归类探究,已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线且BD=CDB=C,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.试说明：EB=FC.,分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用
5、全等证明RtBDERtCDF.,解：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，,DE=DF,DEB=DFC=90.,在RtBDE和RtCDF中，,BDECDF.,EB=FC.,归类探究,2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.,3,E,1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则EBF=度，BE=.,60,BF,当堂测评,3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等,当堂测评,如图所示,在公园草地上准备修建一个
6、凉亭,要求凉亭与花坛M,N之间的距离相等,并且与两条小径AB,CD的距离也相等,请你来确定凉亭的位置.,分析凉亭到M,N的距离相等,则应在线段MN的垂直平分线上,到AB,CD的距离也相等,则应在AB,CD所成角的平分线上,两者的交点即为所求.,解析延长BA,DC交于点O,作BOD的平分线OQ.连接MN,作MN的垂直平分线交OQ于点P.如图所示,点P即为所求.,点拨正确运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键.,拓展练习,(山东枣庄中考)如图5-3-8,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径
7、画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是()A.15B.30C.45D.60,走近中考,(江苏宿迁中考)如图,已知AB=AC=AD,且ADBC,试说明:C=2D.,解析AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD,ABC=CBD+D,ADBC,CBD=D,ABC=D+D=2D,又C=ABC,C=2D.,走近中考,(湖南湘潭中考)如图,在RtABC中,C=90,BD平分ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段.,答案BC=BE(或DC=DE或BE=AE),解析已知C=90,BD平分ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用角平分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得BCDBED,根据全等三角形的性质可得BC=BE.,走近中考,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等,辅助线添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,课堂小结,