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1、北师大版九年级数学下册第三章 圆综合训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（ ）A20B25C30D402、如图，一块直角三
2、角板的30角的顶点P落在O上，两边分别交O于A，B两点，连结AO，BO，则AOB的度数是（）A30B60C80D903、已知O的半径为5，若点P在O内，则OP的长可以是（）A4B5C6D74、如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）ABCD5、如图，O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则CPD的度数是（）A30B36C45D726、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（ ）ABCD7、如图，点，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）A60B40C30D208、已知在圆的内接四边形ABCD中，A：C3：1，则C的度数是
3、（）A45B60C90D1359、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）A1cmB2cmC3cmD4cm10、如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）A4B8CD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若ADB12，则该正多边形的边数为 _2、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DECF，AE，DF交于点 P，则APD的度数为_ ；连接CP，线段CP长的最小值为_3、如果一个扇形
4、的圆心角为120，半径为2，那么该扇形的面积为_4、如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，OAB30则APB=_度；5、如图，1是正五边形两条对角线的夹角，则1=_度三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，抛物线yax22ax+b（a0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OBOC3OA（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线ykx2k5（k0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y2x
5、1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使EPF90，求m的值2、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程已知：如图，求作：直线BD，使得作法：如图，分别作线段AC，BC的垂直平分线，两直线交于点O；以点O为圆心，OA长为半径作圆；以点A为圆心，BC长为半径作孤，交于点D；作直线BD所以直线BD就是所求作的直线根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接AD，点A，B，C，D在上，_（_）（填推理的依据）3、已知：
6、如图，ABC为锐角三角形，ABAC 求作：一点P，使得APCBAC作法：以点A为圆心， AB长为半径画圆；以点B为圆心，BC长为半径画弧，交A于点C，D两点；连接DA并延长交A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BDABAC，点C在A上BCBD，_BACCAD 点D，P在A上，CPDCAD（_） （填推理的依据）APCBAC4、如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，且，AD平分交BC于点D，CP平分交AD于点P，（1）求证：四边形CEPF为正方形；（2）求的最大值；（3）求的最小值5、如图，是的直径，四边形内接于，是的中
7、点，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长-参考答案-一、单选题1、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得PAO=90，再利用互余计算出AOP=50，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算B的度数【详解】解：连接OA，如图，PA是O的切线，OAAP，PAO=90，P=40，AOP=50，OA=OB，B=OAB，AOP=B+OAB，B=AOP=50=25故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系2、B【分析】延长AO交O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出D=P=30，ABD=90，由直角三
8、角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解【详解】解：如图，延长AO交O于点D，连接BD，P=30，D=P=30，AD是O的直径，ABD=90，AB=AD=AO=BO，三角形ABO是等边三角形，AOB=60，故选B【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键3、A【分析】根据点与圆的位置关系可得，由此即可得出答案【详解】解：的半径为5，点在内，观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键4、B【分析】阴影部分
9、的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，由旋转性质可知：，在中，有勾股定理可知：，阴影部分的面积=扇形扇形 故选：B【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键5、B【分析】连接OC，OD求出COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【详解】解：如图，连接OC，OD五边形ABCDE是正五边形，COD72，CPDCOD36，故选：B【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知
10、识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6、D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小， ， 故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.7、C【分析】由为等边三角形，得：AOB=60，再根据圆周角定理，即可求解【详解】解：为等边三角形，AOB=60，=AOB =60=30故选C【点
11、睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键8、A【分析】根据圆内接四边形的性质得出A+C180，再求出C即可【详解】解：四边形ABCD是圆的内接四边形，A+C180，A：C3：1，C18045，故选：A【点睛】本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键9、B【分析】连接OB，过点O作OCAB于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可【详解】解：连接OB，过点O作OCAB于点D，交O于点C，如图所示：AB=8cm，BD=AB=4（cm），由题意得：OB=OC=5cm，在RtOBD中，OD=（c
12、m），CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键10、D【分析】连接OB，OC，过点O作OEBC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论【详解】解：连接OB，OC，过点O作OEBC于点E，OB=OC，BOC=90，OBE=45， OE=BE，OE2+BE2=OB2，BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键二、填空
13、题1、15【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角AOB24，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为O，连接OA，OB，ADB12，AOB2ADB24，而3602415，这个正多边形为正十五边形，故答案为：15【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提2、 【分析】利用“边角边”证明ADE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得DAECDF，然后求出APD90，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧
14、于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长【详解】解：四边形ABCD 是正方形， ADCD，ADEBCD90，在ADE和DCF中，ADEDCF（SAS）DAECDF，CDFADFADC90，ADFDAE90，APD90，由于点P在运动中保持APD90，点P的路径是一段以AD为直径的弧，取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，则DQAD21，在RtCQD中，根据勾股定理得，CQ，所以，CPCOQP1故答案为：；1【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键3、【分析】利用扇形面积公式直接计算即
15、可【详解】解：扇形的圆心角为120，半径为2，那么该扇形的面积为：，故答案为：【点睛】本题考查了求扇形面积，解题关键是熟记扇形面积公式：4、60【分析】先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得【详解】解：是的切线，是等边三角形，故答案为：60【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键5、72【分析】根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得结果【详解】正五边形的每个内角为多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图 ABC、BCD均为等腰三角形，且ABC=BCD=108 1=BCA+CBD=72
16、 故答案为：72【点睛】本题考查了正多边形的性质及多边形的内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形性质等知识，掌握正多边形的性质及多边形内角和定理是本题的关键三、解答题1、（1）y-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为；（3）m=或【分析】（1）令x=0，解得y=b，求出OBOCb，OA=，得到A（-，0），C（0，b），B（b，0），把A（-，0），B（b，0）代入yax22ax+b即可求解；（2）设直线EH的解析式为y=nx+7，联立，得，根据直线EH与函数只有一个交点，求出H（2，3），再得到直线GH过定点M（2，-5），利用SFGH=SFMH+SGMH=4，求出的最小值即可求解；（
17、3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使EPF=90，设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），求出平移后的抛物线的解析式为y-（x-m）2+2m+2，联立得到，求出x1+x2=2m+2，x1x2=，y1+y2=4m-6，表示出点R（m-1，2m-3），求出2，利用PR=，得到EF2=4PR2，列出关于m的方程即可求解【详解】（1）yax22ax+b（a0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，令x=0，解得y=bCO=bOBOCb，OA=A（-，0），C（0，b），B（b，0）把A（-，0），B（b，0）代入yax22ax+b得，
18、解得抛物线解析式为y-x2+2x+3；（2）点E的坐标为（0，7），可设直线EH的解析式为y=nx+7联立，得直线EH与函数只有一个交点，且在对称轴右侧=解得n1=-2，n2=6（舍去）直线EH的解析式为y=-2x+7解方程得x1=x2=2H（2，3）直线GH解析式ykx2k5=k（x-2）-5直线GH过定点M（2，-5）如图，连接HMH（2，3）HMx轴，MH=8设F（x2，y2）、G（x1，y1）联立，得到x1+x2=2-k，x1x2=-2k-8SFGH=SFMH+SGMH=4故当最小时，SFGH最小2=故当k=-2时，2的最小值为32故的最小值为此时SFGH最小为4=；（3）当以EF为直
19、径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使EPF=90如图，与x轴相切时，切点为点P，y-x2+2x+3=-（x-1）2+4设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m时，则抛物线向右平移了m-1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m-1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y-（x-m）2+4+2（m-1）=-（x-m）2+2m+2联立得到x1+x2=2m+2，x1x2=y1+y2=2（x1+x2）-2=4m-6，则点R（m-1，2m-3），2=（2m+2）2-4（）=16，PR=则EF2=4PR2EF2=2+2=52=516=4PR2PR=2
20、m-3516=4（2m-3）2解得m=当m=或m=符合题意【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质2、（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线 （2）证明：连接AD，点A，B，C，D在上，（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用
21、，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.3、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BDABAC，点C在A上BCBD，BAC=BADBACCAD 点D，P在A上，CPDCAD（圆周角定理） （填推理的依据）APCBAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键4、（1）见详解；（2）2；（3）【分析】（1）由圆周角定理，得到，得到四边
22、形CEPF为矩形，再由角平分线的性质定理，得到PE=PF，即可得到结论成立；（2）过点C作CGAB，当最大时，有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；（3）设，由相似三角形的判定和性质，得到，则取最大值时，有最小值，然后求出的最大值，即可得到答案【详解】解：（1）证明：AB为直径，四边形CEPF是矩形，CP平分，四边形CEPF为正方形；（2）过点C作CGAB，如图：由可知，当最大时，有最大值，即；由三角形的面积公式，则，；的最大值是2；（3）设，PEAC，PEDACD，；同理：PFBC，PAFDAC，由+，得，即，；当x取最大值时，有最小值；AD平分，点P为ACB的内心，PE，PF为内切
23、圆半径；作PHAB，垂足为H，如图：则易得AF=AH，BE=BH，设，的最大值为；的最大值为，的最小值；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题5、（1）见详解；（2）【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得AOD=ABC，从而得ODBC，进而即可得到结论；（2）连接AC，交OD于点F，利用勾股定理可得AC，再证明四边形DFCE是矩形，进而即可求解【详解】（1）证明：连接OD，是的中点，ABC=2ABD，AOD=2ABD，AOD=ABC，ODBC，是的切线；（2）连接AC，交OD于点F，AB是直径，ACB=90，AC=，是的中点，ODAC，AF=CF=3，DF=5-4=1，E=EDF=DFC=90，四边形DFCE是矩形，DE=CF=3，CE=DF=1，AD=CD=，ADB=90，【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键