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1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第十八章 不等式选讲 理（含2014试题）理数1. (2014江西,11(1),5分) (1)(不等式选做题)对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案 1.C解析 1.|x-1|+|x|(x-1)-x|=1,|y-1|+|y+1|(y-1)-(y+1)|=2,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|3,当且仅当x0,1,y-1,1时,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|取到最小值3,故选C.2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数
2、a的值为()A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8答案 2.D解析 2.f(x)=|x+1|+|2x+a|=|x-(-1)|+,在x轴上取点A(-1,0),B,P(x,0),则f(x)=|PA|+|PB|+|PB|AB|=f=3,|a-2|=6,即a=8或-4.故选D.3.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为()A.B.C.D.答案 3.B解析 3.当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.当xy时,当|
3、x-y|时,依题意有|f(x)-f(y)|时,不妨设xy,依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|,|f(x)-f(y)|-=.综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|.因此,k,即k的最小值为,故选B.4.(2014湖北八市高三下学期3月联考，10) 实数ai（i=1,2, 3,4, 5,6）满足（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1则（a5+a6）（a1+a4）的最大值为( )A3 B2 C D1答案 4. B解析 4. 因为, 所以，即.5. (201
4、4重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是_.答案 5.解析 5.令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=,依题意得a2+a+2-1a.6. (2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|3的解集为x-x,则a=_.答案 6.-3解析 6.依题意,知a0.|ax-2|3-3ax-23-1ax0时,不等式的解集为,有此方程组无解.当a f(x) 恒成立，则称函数f(x) 为D上的“k型增函数” 。已知f(x) 是定义在R上的奇函数，且当x 0时，若f(x) 为R上的“2014型增函数” ，则实数a的取值范
5、围是_. 答案 13. 解析 13. f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，当x0时，可得f(x) =|x+a|+2a，又f（x）为R上的“2014型增函数” ，（1）当x0时，由定义有|x+2014a|2a|xa|2a，即|x+2014a|xa|，其几何意义为到点a小于到点a2014的距离，由于x0故可知a+a20140得a1007；（2）当x0时，分两类研究，若x+20140，则有|x+2014+a|+2a|x+a|+2a，即|x+a|x+2014+a|，其几何意义表示到点a的距离小于到点a2014的距离，由于x0，故可得aa20140，得a1007; 若x+20140，则有|x+20
6、14a|2a|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2014a|4a，其几何意义表示到到点a的距离与到点a2014的距离的和大于4a，当a0时，显然成立，当a0时，由于|x+a|+|x+2014+a|aa+2014|=|2a2014|，故有|2a2014|4a，必有2014-2a4a，解得. 综上可得.14. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，16) 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 . 答案 14. 解析 14. 据题意，不等式恒成立，所以.又，所以.15.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 10) 已知函数，则不等式的解集为 答案 15. 解析 15. 当时，当时，此时函数单调
7、递增，由，解得，由图象知，要不等式成立，则，即，故不等式的解集为.16. (2014重庆七校联盟, 16) 在实数范围内，不等式的解集为 答案 16. 解析 16. 由，则，即，故不等式的解集为.17. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 15C) (不等式选做题) 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_. 答案 17. 解析 17. ，解得.18.(2014福建,21(3),7分) (3)(本小题满分7分)选修45:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.()求a的值;()若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.答案
8、 18.查看解析解析 18.()因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.()由()知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r23.19.(2014江苏,21(D),10分)选修45:不等式选讲(本小题满分10分)已知x0,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.答案 19.查看解析解析 19.因为x0,y0,所以1+x+y230,1+x2+y30,故(1+x+y2)(1+x2+y)33=9xy
9、.20.(2014辽宁,24,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.()求M;()当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)2.答案 20.查看解析解析 20.()f(x)=当x1时,由f(x)=3x-31得x,故1x;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x0).()证明:f(x)2;()若f(3)0,得f(x)=+|x-a|=+a2.所以f(x)2.()f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5得3a.当0a3时,f(3)=6-a+,由f(3)5得0,b0,且+=
10、.()求a3+b3的最小值;()是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.答案 22.查看解析解析 22.()由=+,得ab2,且当a=b=时等号成立.故a3+b324,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.()由()知,2a+3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.23. (2014山西太原高三模拟考试（一），24) 选修45：不等式选讲 已知函数 （I）解不等式；（）若存在x使得成立，求实数的取值范围.答案 23.查看解析解析 23.24. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），24) 不等式选讲：已知函数. （）当时，求不等式的解集；
11、（）若的解集包含，求的取值范围.答案 24.查看解析解析 24.（）当时，不等式可化为，当时，不等式为，解得，故；当时，不等式为，解得，故；当时，不等式为，解得，故；综上原不等式的解集为或. （5分）（）因为的解集包含，不等式可化为，解得，由已知得，解得，所以的取值范围是. （10分）25. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，24) 选修4-5: 不等式选讲已知函数. （）若当时，恒有 ，求的最大值； （）若当时，恒有 求的取值范围.答案 25.查看解析解析 25.（）若，所以，解得；由，所以，所以，依题意有，即，故的最大值为1.（6分）（），当且仅当时等号成立.解不等式，解得，所以的取值
12、范围是.（10分）26. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 24) 选修4-5：不等式选讲设函数(）当=1时，求函数；(）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.答案 26.查看解析解析 26.（）当时，. （5分）（）对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立当时，上式成立； 当时，当且仅当即时上式取等号，此时成立.综上，实数的取值范围为. （10分）27. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，24) 选修4-5：不等式选讲 已知函数. （）解不等式； （）若，且，求证：.答案 27.查看解析解析 27. （）不等式的解集是. （5分）（）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成
13、立. （10分）28.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，24）选修45: 不等式选讲 已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式。答案 28.查看解析解析 28.29.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 24) 选修4-5: 不等式选讲 设函数. (I) 解不等式；() 若对一切实数x均成立，求m的取值范围.答案 29.查看解析解析 29.30.(2014周宁、政和一中第四次联考，21（3）) 选修45：不等式选讲已知函数，. （）若函数的值不大于1，求的取值范围； （）若不等式的解集为R，求的取值范围答案 30.查看解析
14、解析 30. （）由题意，即，解得，的取值范围 . （3分）（） ，对于，于是，即，故的取值范围是. （7分）31. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列an 的前项和为，满足，且，成等差数列 （）求，的值； （）求证：数列是等比数列 （）证明：对一切正整数，有答案 31.查看解析解析 31. 解析 （）因为，成等差数列，所以，当时，当时，解方程组得， （3分） （）由，得，两式相减得，所以是首项为3，公比为3的等比数列（7分）（）由，又，即，所以当时，两边同时相乘得，所以（12分）32. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 22) 已知函数，. （）若函数在其定义域内为单调函数
15、，求的取值范围； （） 若函数的图像在处的切线斜率为0，且，（，）. 证明：对任意的正整数n, 当时，有.答案 32.查看解析解析 32. 解析 （）函数的定义域是因为所以有所以，当时，恒成立，所以函数在上单调递减; (3分)当时，若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即，因为所以 且时不恒为0.若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即，因为所以综上，函数在定义域内单调时的取值范围是，(5分) （）因为函数的图像在处的切线斜率为0，所以即所以，所以，令，所以，(7分)当是偶数时，因为所以，所以，所以即函数在单调递减，所以，即，当是奇数时，令则，所以函数在单调递减，所以，又因为时, 所以，所以即
16、函数在单调递减，所以，即，综上，对任意的正整数n, 当时，有. (12分)33. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 24) 选修4-5：不等式选讲设函数.（）若的最小值为3，求a值；（）求不等式的解集，答案 33.查看解析解析 33. 解析 （）因为因为, 所以当且仅当时等号成立, 故为所求. （4分） （）不等式即不等式 ，当时，原不等式可化为 即所以，当时，原不等式成立.当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.当时，原不等式可化为即 由于时所以，当时，原不等式成立.综合可知： 不等式的解集为 （10分）34. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 24) 已
17、知函数（）解不等式() 若. 求证：.答案 34.查看解析解析 34.（），当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得所以不等式的解集为或（5分）（），即因为，所以，所以故所证不等式成立（10分）35.(2014兰州高三第一次诊断考试, 24) 选修45：不等式选讲 （）已知、都是正实数，求证：； （）若不等式对满足的一切正实数恒成立，求实数的取值范围.答案 35.查看解析解析 35. （）证明：由 .又、都是正实数，所以、，即所以. （5分） （）根据柯西不等式有.又恒成立，或，即或，所以的取值范围是. （5分）36. （本题满分12分）设关于不等式的解集为，且，. （1）, 恒成立，且，求的值；（2）若，求的最小值并指出取得最小值时的值.答案 36.查看解析解析 36.（1），即,，又 . (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又所以，的最小值是，取最小值时 . (12分)18