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1、专题四高考中的立体几何问题1.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积解析(1)PA底面ABCD，CE平面ABCDCEPA，又ABAD，CEABCEAD又PAADA，CE平面PAD(2)由(1)可知CEAD在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.又ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形S四边形ABCDS矩形ABCESCDEABAECEDE1211.又PA底面ABCD，PA1所以V四棱锥pABCDS四边形ABCDPA1.2(201
2、5潍坊模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD证明(1)在PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EFPD又因为EF平面PCD，PD平面PCD所以直线EF平面PCD(2)连结BD因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD
3、底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD解析(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD由(1)知PA底面ABCD所以PACD所以CD平面PAD所以CDPD因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF，
4、又因为CDBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD4如图，在几何体PABCD中，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，ABPA2.(1)当AD2时，求证：平面PBD平面PAC；(2)若PC与AD所成的角为45，求几何求PABCD的体积解析(1)证明：当AD2时，四边形ABCD是正方形，则BDACPA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD又PAACA，BD平面PACBD平面PBD，平面PBD平面PAC(2)解：PC与AD成45角，ADBC，则PCB45.BCAB，BCPA，ABPAA，BC平面PAB，PB平面PABBCPBCPB904545.BCPB2.几何体PABC
5、D的体积为(22)2.1.(2014四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解析(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC因为直线BC平面ABC，所以AA1BC又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1
6、，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以，MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC所以直线DE平面A1MC即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC2如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD 解析(1)DD1平面ABCD，BD平面ABCDDD1BD，又AB2AD且B
7、AD60由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD即BDAD，AD2BD2AB2，BDAD又ADDD1DBD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，BDAA1(2)连接AC，交BD于M，连接A1M，A1C1，底面ABCD是平行四边形，AMCMAC又AB2AD2A1B1A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；CC1AM1，又CC1平面A1BD，A1M平面A1BDCC1平面A1BD3(文)(2015临沂模拟)如图，在边长为3的正三角形ABC中，G，F为边AC的三等分点，E，P分别是AB，BC边上的点，满足AECP1，今将BEP，CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP
8、所在的直线重合，B，C折后的对应点分别记为B1，C1.(1)求证：C1F平面B1GE；(2)求证：PF平面B1EF.解析(1)取EP的中点D，连接FD，C1D因为BC3，CP1，所以折起后C1为B1P的中点所以在B1EP中，DC1EB1.又因为ABBCAC3，AECP1，所以，所以EP2且EPGF.因为G，F为AC的三等分点，所以GF1.又因为EDEP1，所以GFED，所以四边形GEDF为平行四边形所以FDGE.又因为DC1FDD，GEB1EE，所以平面DFC1平面B1GE.又因为C1F平面DFC1，所以C1F平面B1GE.(2)连接EF，B1F，由已知得EPF60，且FP1，EP2，由余弦定
9、理，得EF21222212cos603，所以FP2EF2EP2，可得PFEF.因为B1C1PC11，C1F1，得FC1B1C1PC1，所以PB1F的中线C1FPB1，可得PB1F是直角三角形，即B1FPF.因为EFB1FF，EF，B1F平面B1EF，所以PF平面B1EF.(理)(2014浙江高考)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小解析(1)在平面四边形BCDE中，BC，在三角形ABC中，AB2，BC，AC.根据勾股定理逆定理ACBC平面ABC平面BCOE，而平面ABC平面BCDEBCACBC，AC平面BCDE，ACDE，又ACDE，DEDC，DE平面ACD(2)由(1)知分别以、为x轴、z轴正方向以过C平行为y轴正向建立坐标系则B(1,1,0)，A(0,0，)，D(2,0,0)，E(2,1,0)(1,1，)，(2,0，)，(0,1,0)设平面ABD法向量n1(x1，y1，z1)，由n1n10，解得n1(1,1，)设平面ADE法向量n2(x2，y2，z2)，则n2n20，解得：n2(1,0，)设平面ABD与平面ADE夹角为，cos|cosn1，n2|平面ABD与平面ADE的二面角平面角为.- 6 -