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1、第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则
2、直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当b0)的离心率为，右焦点(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk
3、)(x1x2)2b0将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013浙江)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方
4、程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以AB22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以PD.设ABD的面积为S，则SABPD，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1. 求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域 已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x14y306
5、1(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围解(1)先判断出(，0)在椭圆上，进而断定点(1，3)和(4，6)在抛物线上，故(，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y29x.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y(xm)，由消去y整理得2x22mxm260，由0得4m28(m26)0，即2m0，又F(2,0)，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)y1y240.整理得m(m3)0，即m0.由可得m的取值范围是(2，3)(
6、0,2)1 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形2 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果3 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
7、(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l：yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C
8、，记O为坐标原点(1)证明：a2；(2)若2，求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程(1)证明依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故yk(x1)可化为xy1.将xy1代入x23y2a2，消去x，得y21a20，由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得4(1a2)0，整理得a23，即a2.(2)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y1y2，因为2，得y12y2，代入上式，得y2.于是，OAB的面积SOC|y1y2|y2|.其中，上式取等号的条件是3k21，即k.由y2，可得y2.将k，y2及k，y2这两组值分别代入，均可解出a25.所以，OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x23y25.(推荐
9、时间：70分钟)一、填空题1 已知方程1(kR)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_答案1k3解析若椭圆焦点在x轴上，则，解得1k4，即|y02|4，又y00，y02.3 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析设P(x0，y0)，则1，即y3，又因为F(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即2,6，所以()max6.4 直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_答案m1且m5解析方程1表示椭圆，m0且m5.直线ykx1恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：1，m1，m的取值范围是m1且m
10、5.5 设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，12的值等于_答案2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大此时，F1(，0)，F2(，0)，不妨设P(0,1)，1(，1)，2(，1)，122.6 直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_答案解析由得x23x40，xA1，yA，xD4，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，AFyA1，DFyD15，.7 已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对
11、称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_答案0或8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合8 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF110，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是_答案(，)解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，
12、PF1r1，PF2r2.由题意知r110，r22c，且r1r2,2r2r1，2c10，c51.9 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_答案1解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y24x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x1，则由抛物线的定义可得d1d2PAABd2PF1d2，PFd2大于或等于焦点F点P到直线l，即PFd2的最小值为，所以d1d2的最小值为1.二、解答题10已知直线x2y20经过椭圆C：1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭
13、圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，即a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为yk(x2)(k0)，解得M(，)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(14k2)x216k2x16k240.设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(2)x1.由此得x1，y1，即S(，)又B(2,0)，则直线BS的方程为y(x2)，联立直线BS与l的方程解得N(，)MN2.当且仅当，即k时等号成立，故当k时，
14、线段MN的长度的最小值为.11在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(，0)，直线PA与PB的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点(1)解由题意知：.化简得y21(y0)(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：xmy1，代入y21(y0)整理得(m22)y22my10.y1y2，y1y2，MQ的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1my1112.直线MQ过定点(2,0)方法二设M(x1，y1)，N(x2，
15、y2)，Q(x2，y2)，l：yk(x1)，代入y21(y0)整理得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，MQ的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1x12.直线MQ过定点(2,0)12设椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求AOB的面积S的最小值(1)解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左顶点M(a,0)到直线1，即bxayab0的距离d，得，即，把a2b代入上式，得，
16、解得b1.所以a2b2，c.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故0，即x1x2y1y20，也就是xy0，又点A在椭圆C上，所以y1，解得|x1|y1|.此时点O到直线AB的距离d1|x1|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆方程联立有消去y，得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2.因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB.所以x1x2y1y20.所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20.所以(1k2)m20.整理得5m24(k21)，所以点O到直线AB的距离d1.综上所述，点O到直线AB的距离为定值.(3)解设直线OA的斜率为k0.当k00时，则OA的方程为yk0x，OB的方程为yx，联立得同理可求得故AOB的面积为S|x1|x2|2.令1kt(t1)，则S22，令g(t)49()2(t1)，所以4g(t).所以S1.当k00时，可求得S1，故S1，故S的最小值为.17