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1、第1讲集合与常用逻辑用语【高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下1 集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验(2)集合与集合之间的关系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n2.(3)集合的运算：U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)，
2、U(UA)A.2 四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理3 充分条件与必要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件4 简单的逻辑联结词用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“pq”；用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“pq”；对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”5 全称量词与存在量词“xM，p(x)”的否定为“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定为“xM，綈p(x)”.考点一集合
3、间的关系及运算例1(1)(2012课标全国改编)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为_(2)设函数f(x)lg(1x2)，集合Ax|yf(x)，By|yf(x)，则图中阴影部分表示的集合为_ 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键答案(1)10(2)(，1(0,1)解析(1)B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的个数为
4、10.(2)因为Ax|yf(x)x|1x20x|1x1，则u1x2(0,1，所以By|yf(x)y|y0，AB(，1)，AB(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1) (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解 (1)(2013山东改编)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_(2)设全集UR，集合Px|yln(1x)，集合Qy|y，则右图中的
5、阴影部分表示的集合为_答案(1)5(2)x|1x0得x1，即Px|x1；Qy|y0，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P(RQ)x|1x3且y3”的_条件(填“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”) (1)从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别(2)结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手答案(1)若abc3，则a2b2c23(2)必要不充分解析(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“abc3，则a2b2c23且y3并不一定成立，当x2，y3时，x2y29，但x3且y3不成立；而x3且y3时，x2y29一定成立，应填必
6、要不充分条件 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可 (1)设xR，则“x”是“2x2x10”的_条件(2)给出以下三个命题：若ab0，则a0或b0；在ABC中，若sin Asin B，则AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0的解集为，故由x2x2x10，但2x2x10D/x，故填充分不必要条件(2)在ABC中，由
7、正弦定理得sin Asin BabAB.故填.考点三逻辑联结词、全称量词和存在量词例3(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_(2)若命题“xR，使x2(a1)x10”是假命题，则实数a的取值范围是_答案(1)任意一个无理数，它的平方不是有理数(2)1,3解析(1)通过否定原命题得出结论原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”(2)方法一令f(x)x2(a1)x1，若命题“xR，使得x2(a1)x10”是真命题，则由x2(a1)x10，解得a(，1)(3，)，故所求实数a的取值范围为1a3.方法二也可转化为：xR，x2(a1)x10恒成立，从而0，解得1a3. (1
8、)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 (1)下列命题中，真命题是_(填序号)mR，使函数f(x)x2mx(xR)是偶函数；mR，使函数f(x)x2mx(xR)是奇函数；mR，使函数f(x)x2mx(xR)都是偶函数；mR，使函数f(x)x2mx(xR)都是奇函数(2)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x2ax02a0”若命题p、q
9、均是真命题，则实数a的取值范围是_答案(1)(2)a2或a1解析(1)对于，当m0时，f(x)x2是偶函数，故正确当m1时，f(x)x2x是非奇非偶函数，故错误；又yx2是偶函数，则f(x)x2mx不可能是奇函数，故错误(2)命题p为真时a1；“x0R，x2ax02a0”为真，即方程x22ax2a0有实根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.若p、q均为真命题，则a2或a1.1 解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决2 判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定
10、义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法3 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断4 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的1 已知集合AzC|z12ai，aR，BzC|z|2，则AB_.答案1i,1i解析AB中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|12ai|2，aR，解得a.故AB1i,1i2 下列命题中，正确命题的个数是
11、_若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pq”为真命题；“sin ”是“”的充分不必要条件；l为直线，为两个不同的平面，若l，则l；命题“xR,2x0”的否定是“x0R,2x00”答案1解析对，只有当p，q全是真命题时，pq为真；对，sin 2k或2k，kZ，故“sin ”是“”的必要不充分条件；对，l，l或l；对，全称命题的否定是存在性命题3 已知函数f(x)4sin22cos 2x1，且给定条件p：x，xR.若条件q：2f(x)m2.且綈p是q的充分条件，求实数m的取值范围解由条件q可得綈p是q的充分条件，在x的条件下，恒成立又f(x)22cos 2x12sin 2x2cos 2x14
12、sin1.由x，知2x，34sin15，故当x时，f(x)max5，当x时，f(x)min3.只需成立，即3m5.m的取值范围是3m1”的否定是_答案对任意实数x ，都有x1解析利用存在性命题的否定是全称命题求解“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x1”3 (2013福建改编)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件答案充分不必要解析a3时A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.4 (2013湖北改编)已知全集为R，集合A，B，则ARB_.答案x|0x4解析Ax|x0，Bx|2x4，ARBx|x0x|x4或x2x|0x45 设U0,1,2,3，AxU|x2mx
13、0，若UA1,2，则实数m_.答案3解析UA1,2，A0,3，0,3是方程x2mx0的两根，m3.6 (2012天津)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析Ax|5x1，因为ABx|1xn，Bx|(xm)(x2)0，所以m1，n1.7 已知R是实数集，Mx|1，Ny|y1，则N(RM)_.答案1,2解析Mx|1x|x2，Ny|y1y|y1，RMx|0x2，N(RM)x|1x21,28 设p：0，q：0xm，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是_答案(2，)解析p：0x2.9 设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1
14、A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案6解析所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数，故有1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8共6个10(2013陕西改编)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的_条件答案充要解析由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|ab|a|b|.11已知集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，定义集合AB(x，y)|x
15、A，yB，则集合AB中属于集合(x，y)|logxyN的元素个数是_答案4解析由给出的定义得AB(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)其中log221，log242，log283，log441，因此一共有4个元素12已知p：xR，mx220，q：xR，x22mx10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_答案1，)解析pq为假命题，p和q都是假命题由p：xR，mx220为假命题，得綈p：xR，mx220为真命题，m0.由q：xR，x22mx10
16、为假命题，得綈q：xR，x22mx10为真命题，(2m)240m21m1或m1.由和得m1.13给出下列命题：xR，不等式x22x4x3均成立；若log2xlogx22，则x1；“若ab0且c”的逆否命题；若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题是_(填序号)答案解析中不等式可表示为(x1)220，恒成立；中不等式可变为log2x2，得x1；中由ab0，得，而c0”的否定是：“xR，均有x2x0”的否定应是：“xR，均有x2x0”，故错；对，因为由“x24”得“x2”，由“x2”得“x24”，所以“x24”是“x2”的必要不充分条件，故错；对，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故正确15对于集合M、N，定义：MNx|xM且xD/N，MN(MN)(NM)设Ay|yx23x，xR，Bx|ylog2(x)，则AB_.答案(，)0，)解析Ay|y，Bx|x0，ABx|x0，BAx|x，则AB(AB)(BA)(，)0，)16设平面点集A，B(x，y)|(x1)2(y1)21，则AB所表示的平面图形的面积为_答案解析由题意知AB所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y与直线yx将圆(x1)2(y1)21分成S1，S2，S3，S4四部分圆(x1)2(y1)21与y的图象都关于直线yx对称，从而S1S2，S3S4，而S1S2S3S4，S阴影S2S4.9