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1、考点规范练30等比数列及其前n项和一、非标准1.若等比数列an满足anan+1=16n,则公比q为()A.2B.4C.8D.162.(2014天津,文5)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1= ()A.2B. -2C.D.-3.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A.420只B.520只C.只D.只4.设等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于()A.B.-C.D.
2、-5.(2014课标全国,文5)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.6.在等比数列an中,a1=1,公比q=2,若数列an的前n项和Sn=127,则n的值为.7.(2014广东,文13)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.8.数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.9.(2014福建,文17)在等比数列an中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n
3、项和Sn.10.(2014重庆,文16)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn. 11.已知数列an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN+,则S10的值为()A.-110B.-90C.90D.11012.(2014天津一模)已知数列an的前n项和Sn=2an-1,则满足2的正整数n的集合为()A.1,2B.1,2,3,4C.1,2,3D.1,2,413.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a2
4、+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为()A.12B.14C.15D.1614. (2014安徽,文12)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.15.已知等比数列an中,a2=32,a8=,an+160n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.#一、非标准1.B解析:由anan+1=16n,可得an+1an+2=1,两式相除得,=16,q2=16.anan+1=1
5、6n,可知公比q为正数,q=4.2.D解析:由题意知=S1S4,则(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.故选D.3.B解析:由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列an,则a1=1+4=5,a2=54+5=25,an=5an-1,故数列an为等比数列,首项a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a20=5519=520只蜜蜂.4.C解析:由题知公比q1,则S3=a1q+10a1,得q2=9.又a5=a1q4=9,则a1=.5.A解析:a2,a4,a8成等比数列,=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+d=2n+n2
6、-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.7解析:由题意知Sn=2n-1=127,解得n=7.7.5解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=4.an0,a3=2,a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.8.1解析:设数列an的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,d=-1,则a1+1=a3+3,故q=1.9.解:
7、(1)设an的公比为q,依题意,得解得因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列bn的前n项和Sn=.10.解:(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+(2n-1)=n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而bn的前n项和Tn=(4n-1).11.D解析:因为a7是a3与a9的等比中项,所以=a3a9.又因为数列a
8、n的公差为-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20,通项公式为an=20+(n-1)(-2)=22-2n,所以S10=5(20+2)=110,故选D.12.B解析:因为Sn=2an-1,所以当n2时,Sn-1=2an-1-1.两式相减得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以an是公比为2的等比数列.又因为a1=2a1-1,解得a1=1,故an的通项公式为an=2n-1.而2,即2n-12n,所以有n=1,2,3,4.13.D解析:设等比数列an的公比为q,则=q4=2.由a1+a2+a3+a4=1,得a1=1,a1=q-1.又Sn=15,即=15,
9、qn=16.又q4=2,n=16.故选D.14.解析:由题意知数列an是以首项a1=2,公比q=的等比数列,a7=a1q6=2.15.解:(1)设等比数列an的公比为q,则q6=.又an+1an,所以q=.又a1=64为an的首项,所以通项公式为an=64=27-n(nN+).(2)设bn=log2an,则bn=log227-n=7-n.所以bn是首项为6,公差为-1的等差数列.所以Tn=6n-=-n2+n=-.因为n是正整数,所以n=6或n=7时,Tn最大,其最大值是T6=T7=21.16.解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时, an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=2n2,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.- 4 -