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1、专题升级训练 解答题专项训练(立体几何)1.下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧(左)视图为直角三角形,尺寸如图所示).(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若G为BC的中点,求证:AEPG.2. (2013吉林通化模拟,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,N是PB的中点,过A,N,D三点的平面交PC于点M. (1)求证:PD平面ANC;(2)求证:M是PC的中点;(3)若PD底面ABCD,PA=AB,BCBD,证明:平面PBC平面ADMN.3.如图,AA1,BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是
2、AA1,CB1的中点,DE平面CBB1.(1)证明:DE平面ABC;(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.4.如图所示,平面ABCD平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=AD=2,G是EF的中点. (1)求证:平面AGC平面BGC;(2)求三棱锥A-GBC的体积.5.已知正四面体ABCD(图1),沿AB,AC,AD剪开,展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1,A2,A3重合于四面体的顶点A).(1)证明:ABCD;(2)当A1D=10,A1A2=8时,求四面体ABCD的体积.6.如图,已知三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,AB
3、AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,D,S分别为PB,AB,BC的中点. (1)求证:PA平面CDM;(2)求证:SN平面CDM.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,ABC=90,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点. (1)求证:MN平面BCC1B1;(2)求证:MN平面A1B1C;(3)求三棱锥M-A1B1C的体积.8.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,G分别是AB,DF的中点.(1)求证:CM平面FDM;(2)在线段AD上(含A,D端点)确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.#1.解:(1)由几何体的三视图可知
4、,底面ABCD是边长为4的正方形,PA面ABCD,PAEB,且PA=4,BE=2,AB=AD=CD=CB=4,所以VP-ABCD=PAS正方形ABCD=444=.(2)证明:连接BP.因为,EBA=BAP=90,所以EBABAP,所以PBA=AEB,所以PBA+BAE=BEA+BAE=90,所以PBAE.由题易证BC平面APEB,所以BCAE.又因为PBBC=B,所以AE平面PBC,因为PG平面PBC,所以AEPG.2.解:证明(1)连接BD,AC,设BDAC=O,连接NO.ABCD是平行四边形,O是BD的中点.在PBD中,又N是PB的中点,PDNO.又NO平面 ANC,PD平面ANC,PD平
5、面ANC.(2)底面ABCD为平行四边形,ADBC.BC平面ADMN,AD平面ADMN,BC平面ADMN.平面PBC平面ADMN=MN,BCMN.又N是PB的中点,M是PC的中点.(3)PA=AB,N是PB的中点,PBAN.BCBD,ADBC,ADBD.PD底面ABCD,AD底面ABCD,PDAD.PDBD=D,AD平面PBD.PBAD.ADAN=A,PB平面ADMN.PB平面PBC,平面PBC平面ADMN.3.解:(1)证明:连接EO,OA.E,O分别为B1C,BC的中点,EOBB1.又DABB1,且DA=EO=BB1.四边形AOED是平行四边形,即DEOA.又DE平面ABC,AO平面ABC
6、,DE平面ABC.(2)解:由题意知DE平面CBB1,且由(1)知DEOA,AO平面CBB1,AOBC,AC=AB.因BC是底面圆O的直径,得CAAB.而AA1CA,AA1AB=A,CA平面AA1B1B,即CA为四棱锥的高.设圆柱高为h,底面半径为r,则V柱=r2h,V锥=h(r)(r)=hr2,V锥V柱=.4.解:(1)证明:G是矩形ABEF的边EF的中点,AG=BG=2,从而得:AG2+BG2=AB2,AGBG.又平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,且BCAB,BC平面ABEF.AG平面ABEF,BCAG.BCBG=B,AG平面BGC,AG平面AGC,平面AGC平面B
7、GC.(2)解:由(1)得BC平面ABEF,CB是三棱锥A-GBC的高.而SABG=22=4,VA-GBC=VC-ABG=44=.5.解:(1)证明:在四面体ABCD中,AB平面ACDABCD.(2)解:在题图2中作DEA2A3于点E.A1A2=8,DE=8.又A1D=A3D=10,EA3=6,A2A3=10+6=16.又A2C=A3C,A2C=8.即题图1中AC=8,AD=10,由A1A2=8,A1B=A2B得题图1中AB=4.SACD=DEA3C=88=32.又AB面ACD,VB-ACD=324=.6.解:证明:(1)在三棱锥P-ABC中,因为M,D分别为PB,AB的中点,所以MDPA.因
8、为MD平面CMD,PA平面CMD,所以PA平面CMD.(2)因为M,D分别为PB,AB的中点,所以MDPA.因为PA平面ABC,所以MD平面ABC.又SN平面ABC,所以MDSN.在ABC中,连接DS,因为D,S分别为AB,BC的中点,所以DSAC且DS=AC.又ABAC,所以ADS=BAC=90.因为AC=AB,所以AC=AD,所以ADC=45,因此CDS=45.又AB=4AN,所以DN=AD=AC,即DN=DS,故SNCD.又MDCD=D,所以SN平面CMD.7. 解:(1)证明:连接BC1,AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点.M是AB的中点,MNBC1.又MN平面BCC1B1,
9、MN平面BCC1B1.(2)证明:三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,四边形BCC1B1是正方形,BC1B1C,MNB1C.连接A1M,由ABC=MAA1=90,BM=AM,BC=AA1得AMA1BMC.A1M=CM.又N是A1C的中点,MNA1C.B1C与A1C相交于点C,MN平面A1B1C.(3)解:由(2)知MN是三棱锥M-A1B1C的高.在直角MNC中,MC=,NC=,MN=.又=2,MN.8.解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=a.(1)证明:FD平面ABCD,CM平面ABCD,FDCM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB的中点,DM=CM=a,CMDM.FD平面FDM,DM平面FDM,FDDM=D,CM平面FDM.(2)点P在A点处.证明:取DC中点S,连接AS,GS,GA,G是DF的中点,GSFC.又ASCM,ASAG=A,平面GSA平面FMC.而GA平面GSA,GP平面FMC.6