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1、北师大版九年级数学下册第三章 圆综合训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）A50B100C130D1502、如图，ABC内接于O，BAC30，
2、BC6，则O的直径等于（）A10B6C6D123、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（ ）A20B25C30D404、下列说法正确的是（ ）A等弧所对的圆周角相等B平分弦的直径垂直于弦C相等的圆心角所对的弧相等D过弦的中点的直线必过圆心5、下列说法正确的是（ ）A弧长相等的弧是等弧B直径是最长的弦C三点确定一个圆D相等的圆心角所对的弦相等6、如图，点，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）A60B40C30D207、如图，AB为的直径，C、D为上两点，则AB的长度为（ ）A6B3C9D128、如图，ABC内接于O，BD为O的直径，且BD2，则DC（ ）A1BCD9
3、、如图，等边ABC内接于O，D是上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切O于点C，AFCF交O于点G下列结论：ADC60；DB2DEDA；若AD2，则四边形ABDC的面积为；若CF2，则图中阴影部分的面积为正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个10、已知在圆的内接四边形ABCD中，A：C3：1，则C的度数是（）A45B60C90D135第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果一个扇形的圆心角为120，半径为2，那么该扇形的面积为_2、如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为_3、已知
4、圆锥的母线长为13cm，底面圆的半径为5cm，则圆锥的表面积为 _4、如图，AB是O的直径，AT是O的切线，ABT50，BT交O于点C，点E是AB上一点，延长CE交O于点D，则CDB_5、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120，那么这个扇形的弧长为 _cm三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、尝试：如图，中，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，直接写出图中的一对相似三角形_；拓展：如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到，点B、C的对应点分别为、，连接、，若，求的长；应用：如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B的
5、对应点恰好落在的边所在的直线上时，直接写出此时点C的运动路径长2、如图，AB是O的直径，点C是圆上一点，弦CDAB于点E，且DCAD，过点A作O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）求证：四边形AFCD是菱形3、如图，射线AB和射线CB相交于点B，ABC（0180），且ABCB点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使AEC，连接CE，BE（1）如图，当点D在线段CB上，90时，请直接写出AEB的度数；（2）如图，当点D在线段CB上，120时，请写出线段AE，BE，CE之间
6、的数量关系，并说明理由；（3）当120，tanDAB时，请直接写出的值4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线，已知OA =OC =3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）求过A，B，C三点的圆的半径；（3）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；5、在平面直角坐标系中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点为的“图象关联点”（1）已知，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是_；（2）已知的“图象关联点”P在第一象限，
7、若，判断OP与的位置关系，并证明；（3）已知，当的“图象关联点”在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出A的度数，根据圆周角定理计算即可【详解】解：四边形ABCD内接于O，A+DCB=180，DCB=130，A=50，由圆周角定理得，=2A=100，故选：B【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键2、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出BOC的度数，再由OB=OC判断出OBC是等边三角形，由此可得出结论【详解】解：连接OB，OC，BAC=30，BOC=60OB
8、=OC，BC=6，OBC是等边三角形，OB=BC=6O的直径等于12故选：D【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键3、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得PAO=90，再利用互余计算出AOP=50，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算B的度数【详解】解：连接OA，如图，PA是O的切线，OAAP，PAO=90，P=40，AOP=50，OA=OB，B=OAB，AOP=B+OAB，B=AOP=50=25故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系4、A【分析】根据
9、圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可【详解】解：A.同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点灵活运用相关知识成为解答本题的关键5、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：、能够完全
10、重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大6、C【分析】由为等边三角形，得：AOB=60，再根据圆周角定理，即可求解【详解】解：为等边三角形，AOB=60，=AOB =60=30故选C【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键7、A【
11、分析】连接AC，利用直角三角形30的性质求解即可【详解】解：如图，连接AC AB是直径， ACB=90， CAB=CDB=30， AB=2BC=6， 故选：A【点睛】本题考查圆周角定理，含30角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题8、C【分析】根据三角形内角和定理求得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长【详解】解：为O的直径，在， BD2，故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键9
12、、C【分析】如图1，ABC是等边三角形，则ABC60，根据同弧所对的圆周角相等ADCABC60，所以判断正确；如图1，可证明DBEDAC，则，所以DBDCDEDA，而DB与DC不一定相等，所以判断错误；如图2，作AHBD于点H，延长DB到点K，使BKCD，连接AK，先证明ABKACD，可证明S四边形ABDCSADK，可以求得SADK，所以判断正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，由CF切O于点C得CFOC，而AFCF，所以AFOC，由圆周角定理可得AOC120，则OACOCA30，于是CAGOCA30，则COG2CAG60，可证明AOG和COG都是等边三角形，则四边形OABC是菱形，因此O
13、ACG，推导出S阴影S扇形COG，在RtCFG中根据勾股定理求出CG的长为4，则O的半径为4，可求得S阴影S扇形COG，所以判断正确，所以这3个结论正确【详解】解：如图1，ABC是等边三角形，ABC60，等边ABC内接于O，ADCABC60，故正确；BDEACB60，ADCABC60，BDEADC，又DBEDAC，DBEDAC，,DBDCDEDA，D是上任一点，DB与DC不一定相等，DBDC与DB2也不一定相等，DB2与DEDA也不一定相等，故错误；如图2，作AHBD于点H，延长DB到点K，使BKCD，连接AK，ABK+ABD180，ACD+ABD180，ABKACD，ABAC，ABKACD（
14、SAS），AKAD，SABKSACD，DHKHDK，AHD90，ADH60，DAH30，AD2，DHAD1， DK2DH2，SADK，S四边形ABDCSABD+SACDSABD+SABKSADK，故正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，则OAOGOC，CF切O于点C，CFOC，AFCF，AFOC，AOC2ABC120，OACOCA（180120）30，CAGOCA30，COG2CAG60，AOG60，AOG和COG都是等边三角形，OAOCAGCGOG，四边形OABC是菱形，OACG，SCAGSCOG，S阴影S扇形COG，OCF90，OCG60，FCG30，F90，FGCG，FG2+CF2C
15、G2，CF，（CG）2+（）2CG2，CG4，OCCG4，S阴影S扇形COG，故正确，这3个结论正确，故选C【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解10、A【分析】根据圆内接四边形的性质得出A+C180，再求出C即可【详解】解：四边形ABCD是圆的内接四边形，A+C180，A：C3：1，C18045，故选：A【点睛】本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键二、填空题1、【分析】利用扇形面积公式直接计算即可【详解】解
16、：扇形的圆心角为120，半径为2，那么该扇形的面积为：，故答案为：【点睛】本题考查了求扇形面积，解题关键是熟记扇形面积公式：2、【分析】如图（见解析），连接，先根据圆周角定理可得是圆形纸片的直径，从而可得，再利用勾股定理可求出的长，然后利用扇形的面积公式即可得【详解】解：如图，连接，由题意得：，是圆形纸片的直径，在中，即，解得，则这个扇形（阴影部分）的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键3、90cm2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，
17、然后加上底面积即可得到圆锥的表面积【详解】解：圆锥的侧面积cm2，圆锥的底面积5225cm2，所以圆锥的表面积65+2590cm2故答案为：90cm2【点睛】本题考查了圆锥的表面积，圆锥的有关概念，正确运用圆的面积公式，扇形的面积公式是解题的关键4、40【分析】由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得CDB的度数【详解】解：连接AC，由AB是O的直径，得ACB90，CAB90ABT40，CDBCAB40，故答案为：40【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握运用同弧所对的圆周角相等解答是关键5、【分析】根据弧长公式代入求解即可【详解】解：扇形的半径为5cm，圆心角为120，扇形的弧长故答
18、案为：【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：，其中n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径三、解答题1、尝试：；拓展：；应用：点的运动路径长为或或或或【分析】尝试：根据是由ABC旋转得到的，可得到，即可推出，则；拓展：由AC=BC，ACB=90，可得，同（1）可证，得到，由此求解即可；应用：分点在延长线上时，点在的延长线上时，当点落在边所在直线上时，当点落在边所在直线上时，当点与点重合时，点旋转一周时，五种情况讨论求解即可得到答案【详解】解：尝试：，理由如下：是由ABC旋转得到的，即，；故答案为：；拓展：AC=BC，ACB=90，同（1）原理可证，；应用：在中，当点
19、落在所在直线上时，有两种情况：若点在延长线上时，如图所示：由旋转的旋转可得：，点C运动的路径即为，；若点在的延长线上时，如图所示，此时点，三点共线，点C运动的路径即为，由旋转的性质可得，旋转角，弧；当点落在边所在直线上时，如图所示，点C运动的路径即为，由旋转的性质可得，弧；当点落在边所在直线上时，如图所示，此时点，三点共线，旋转角为，弧当点与点重合时，点旋转一周，弧当点的对应点恰好落在的边所在直线上时，点的运动路径长为或或或或【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件，以及弧长公式2、（1）见解析；（2）见解
20、析【分析】（1）连接OC、AC，证明ACD为等边三角形，得出ADC=DCA=DAC=60，OCD=30，由FGDA，得出DCF=180-ADC=120，则OCF=DCF-OCD=90，即FGOC，即可得出结论；（2）证明AFDC，由FGDA，得出四边形AFCD是菱形【详解】（1）证明：连接OC、AC，如图所示：AB是O的直径，弦CDAB，CE=DE，AD=AC，DC=AD，DC=AD=AC，ACD为等边三角形，ADC=DCA=DAC=60，DAB=BAC=30，BOC=2BAC=60，OCD=90-60=30，FGDA，D=DCG=60，OCG=DCG+OCD=60+30=90，FGOC，OC
21、为O的半径，FG是O的切线；（2）证明：AF与O相切，AFAG，DCAG，AFDC，FGDA，四边形AFCD为平行四边形DCAD，四边形AFCD是菱形【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是O的切线是解题的关键3、（1）45；（2）AEBE+CE，理由见解析；（3）或【分析】（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出AEBACB，证出ABC是等腰直角三角形，则ACB45，进而得出结论；（2）在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于H，证ABFCBE（SAS），得出ABFCBE，BFBE，由等腰三角形的性质得出FHEH，由三角函
22、数定义得出FHEHBE，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FHEHBE，由三角函数定义得出AH3BHBE，分别表示出CE，进而得出答案【详解】解：（1）连接AC，如图所示：90，ABC，AEC，ABCAEC90，A、B、E、C四点共圆，AEBACB，ABC90，ABCB，ABC是等腰直角三角形，ACB45，AEB45；（2）AEBE+CE，理由如下：在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于H，如图所示：ABCAEC，ADBCDE，180ABCADB180AECCDE，AC，在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS），ABFCBE，BFBE，ABF+FBDCBE+FBD，ABD
23、FBE，ABC120，FBE120，BFBE，BFEBEF，BHEF，BHE90，FHEH，在RtBHE中，AEEF+AF，AFCE，；（3）分两种情况：当点D在线段CB上时，在AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于H，如图所示，由（2）得：FHEHBE，tanDAB，；当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AFCE，连接BF，过点B作BHEF于H，如图所示，同得：，；综上所述，当120，时，的值为或【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三
24、角形是解题的关键4、（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）点P（1，4）或（-2，-5）【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）
25、=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），则圆的半径为：；（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ轴于点Q，OA =OC，PAC=90，ACO=OAC=45，PAC=90，PAQ=45，PAQ 是等腰直角三角形，PQ=AQ=x，AQ+AO=x+3=-x2+2x+3，解得：(舍去)，点P(1，4)；设点P1(m，-m2+2m+3)，
26、过点P1作P1D轴于点D，同理得P1CD是等腰直角三角形，且点P1在第三象限，即m0，P1D=CD=m2-2m-3，DO=-m，DO+OC= P1D，即-m+3= m2-2m-3，解得：(舍去)，点P(-2，-5)；综上，点P（1，4）或（-2，-5）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏5、（1）F，H；（2）相切，见解析；（3）a【分析】（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；（2）连接PM，过点M作MNOP于N，证明即可；（3）求出点纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断
27、a的取值范围即可【详解】解：（1）抛物线经过，两点且顶点为P，则顶点P的横坐标为，在点E，F，G，H中，横坐标为，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是F，H；故答案为：F，H；（2）OP与M的位置关系是：相切. AB为M的直径，为的中点.A（1，0）， B（4，0），.连接PM.P为M的“图象关联点”，点P为抛物线的顶点. 点P在抛物线的对称轴上.PM是AB的垂直平分线.PMAB.过点M作MNOP于N.OPPM OP与M相切（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知M的半径为1.5，已知，当的“图象关联点”在外且在四边形ABCD内时，顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为，把代入得，解得，；当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为，把代入得，解得，；a的取值范围a【点睛】本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明