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1、课时规范练28数列的概念与表示基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A.1,12,13,14,B.-1,-2,-3,-4,C.-1,-12,-14,-18,D.1,2,3,n2.数列1,23,35,47,59,的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+33.(2020河北武邑校级联考,理4)大衍数列来源于我国古代文献乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历的两仪数量总和.已知大衍数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则大衍数
2、列中奇数项的通项公式an=()A.n2-n2B.n2-12C.(n-1)22D.n224.在数列an中,a1=2,an=1-1an-1(n2),则a2 021等于()A.12B.-12C.-1D.25.数列an满足an+1+an=2n-3,若a1=2,则a8-a4=()A.7B.6C.5D.46.已知数列an的通项公式an=n2-(6+2)n+2 014,若a6或a7为数列an的最小项,则实数的取值范围是()A.(3,4)B.2,5C.3,4D.52,927.(2020山东烟台一模,4)数列Fn:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n2),最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的
3、算盘全书.若将数列Fn的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an,则数列an的前50项和为()A.33B.34C.49D.508.已知每项均大于零的数列an中,首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(nN+且n2),则a81=()A.638B.639C.640D.6419.(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an=.10.(2020河南开封三模,文15)已知正项数列an的前n项和为Sn,且对于任意p,qN+,有apaq=ap+q,若a2=4,则S6=.11.数列an的通项公
4、式是an=(n+1)1011n,则此数列的最大项是第项.综合提升组12.(2020辽宁大连24中一模,8)数列an满足对任意的nN*,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列an的前100项的和S100=()A.132B.299C.68D.9913.(2020广东中山期末)设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+nan为常数列,则an=()A.13n-1B.2n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.已知数列an满足a1=28,an+1-ann=2,则ann的最小值为()A.293B.47-1C.485D.27415.已知数列an的前n
5、项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.16.数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1,则数列bn=an2-7an+6的最小值为.创新应用组17.(2020山东济南三模,12改编)设an是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意nN+,均有an+kan,则称an是间隔递增数列,k是an的间隔数,下列说法不正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知an=n+4n,则an是间隔递增数列C.已知an=2n+(-1)n,则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知an=n2-tn+2 020,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4t518.如图,互不相同的点A1,A2,An,和B
6、1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.参考答案课时规范练28数列的概念与表示1.C在A选项中,数列1,12,13,14,是递减数列,不符合题意;在B选项中,数列-1,-2,-3,-4,是递减数列,不符合题意;在C选项中,数列-1,-12,-14,-18,是递增数列又是无穷数列,符合题意;在D选项中,数列1,2,3,n是有穷数列,不符合题意,故选C.2.B由已知得,数列可写成11,23,35,故该数列的一个通项公式为n2n-1.3.B由数列的第一项为0,故D错误;由
7、数列的第三项为4,将n=3代入选项A,得到3,故A错误;将n=3代入选项B,得到4,故B正确.将n=3代入选项C,得到2,故C错误.故选B.4.Aa1=2,an=1-1an-1(n2),a2=1-12=12,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,a5=1-12=12,数列an是以3为周期的周期数列,a2021=a3673+2=a2=12.故选A.5.D依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=2(n+1)-3-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.D依题意,由二次函数的性质可知,当1123+152,即522),得数列
8、Fn的各项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,将数列Fn的每一项除以2所得的余数构成新的数列an,则数列an的各项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,则数列an的前50项和为(1+1+0)16+1+1=34.故选B.8.C已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1,数列an的每项均大于零,故等号两边同时除以SnSn-1,故可得Sn-Sn-1=2,Sn是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.9.2n-1+na1=2,an+1=an+2n-1+1,an
9、+1-an=2n-1+1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,则an=2n-2+2n-3+2+1+n-1+a1=1-2n-11-2+n-1+2=2n-1+n.10.126正项数列an的前n项和为Sn,且对于任意p,qN+,有apaq=ap+q,若a2=4,当p=q=1时,a1a1=a2=4,所以a1=2,当p=1,q=2时,a1a2=a3,所以a3=8,当p=2,q=2时,a2a2=a4,所以a4=16,当p=3,q=2时,a3a2=a5,所以a5=32,当p=3,q=3时,a3a3=a6,所以a6=64,所以S6=2+4+8+16+32+6
10、4=126.11.9或10an+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an,该数列中有最大项,且最大项为第9,10项.12.B对任意的nN*,均有an+an+1+an+2为定值,(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=0,故an+3=an,an是以3为周期的数列,a1=a7=2,a2=a98=4,a3=a9=3,S100=(a1+a2+a3)+(a97+a98+a99)+a100=33(a1+a2+a3)+a1=33(
11、2+4+3)+2=299.13.B数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S1+1a1=1+1=2.Sn+nan为常数列,Sn+nan=2.当n2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,(n+1)an=(n-1)an-1,从而a2a1a3a2a4a3anan-1=132435n-1n+1,an=2n(n+1)(n2),当n=1时上式成立,an=2n(n+1).故选B.14.C由an+1-an=2n,得a2-a1=21,a3-a2=22,an-an-1=2(n-1),相加得an-a1=n2-n,ann=n+28n-1,由函数f(x)=x+28x的性质可知,函数f(x)在(0,28)上递减,在28,+
12、)上递增.又n为正整数,且a55=4851,所以当a10时,an+k0,解得k3,故B正确;对于选项C,an+k-an=2(n+k)+(-1)n+k-2n+(-1)n=2k+(-1)n(-1)k-1,当n为奇数时,2k-(-1)k+10,存在k1成立,当n为偶数时,2k+(-1)k-10,存在k2成立,综上,an是间隔递增数列且最小间隔数是2,故C正确;对于选项D,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2020-(n2-tn+2020)=2kn+k2-tk0,nN+成立,则k2+(2-t)k0,对于k3成立,且k2+(2-t)k0,对于k2成立,即k+(2-t)0,对于k3成立,且k+(2-t)0,对于k2成立,所以t-23,且t-22,解得4t5,故D正确.故选A.18.an=3n-2记OA1B1的面积为S,则OA2B2的面积为4S.从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S.即得OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.因为这n个三角形是相似三角形,所以它们的面积比等于对应边长比的平方,而OAnBn与OA1B1的面积比为an2,an2=3n-2,即an=3n-2.