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1、常考问题13立体几何中的向量方法 真题感悟1(2013山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.解析法一由已知得，三棱柱的高为，建立如图所示的空间直角坐标系，有A，A1，B1，C1，则P，而平面ABC的法向量为n(0,0，)，cos n，故PA与平面ABC所成角的正弦值为，则PA与平面ABC所成角的大小为.法二如图，O为底面ABC的中心，连接PO，由题意知PO为直三棱柱的高，PAO为PA与平面ABC所成的角，SABCsin 60.VABCA1B1C1SABCOPOP
2、，OP.又OA1，tanOAP，又0OAP，OAP.答案B2(2013新课标全国卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角D-A1C-E的正弦值(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值为.考题分析题型选择题、填空题、解答题难度中档求线面角高档求线面角或二面角2