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1、三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：两个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10分或17分左右2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正弦、余弦定理等知识(2)解答题涉及知识点较为综合涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.任意角、弧度制及任意角的三角函数考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置
2、旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r2提醒：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度3任意角的三角函数(1
3、)定义设角终边与单位圆交于P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)拓展：任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线1象限角2轴线角一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)
4、角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1若满足sin 0，cos 0，则的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Dsin 0，cos 0，的终边落在第四象限2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)C2，与终边相同又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.3角225_弧度，这个角的终边落在第_象限答案二4设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin _.由已知并结合三角函数的定义
5、，得sin ，cos ，所以2cos sin 2.5一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_rad. 弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为rad. 考点一象限角及终边相同的角 1.象限角的两种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角2求或n(nN*)所在象限的步骤(1)将的范围用不等式(含有k，且kZ)表示(2)两边同除以n或同乘n.(3)对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限1集合中的角所表示
6、的范围(阴影部分)是() A B CDB当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和0的终边相同；当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边相同，故选B.2设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角B是第三象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，的终边落在第二、四象限，又cos ，cos 0，是第二象限角3与2 010终边相同的最小正角是_150与2 010终边相同的角可表示为2 010k360，kZ，又当k6时，150，故与2 010终边相同的最小正角为150.4终边在直线yx上的角的集合是_终边在直线yx上且在第一象限的角为2k(
7、kZ)，终边在直线yx上且在第三象限的角为2k(2k1)(kZ)则终边在直线yx上的角的集合为.点评：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 考点二扇形的弧长及面积公式的应用 有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形典例1已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的
8、弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60rad，所以lR10(cm)(2)由题意得(舍去)或故扇形圆心角为rad.(3)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.1若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()AB C3DD如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M，在RtAOM中，AOr，A
9、OM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得.2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2 CD2sin 1C如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长为lr.故选C.3已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为_cm2.由弧长公式l|r，得r，所以S扇形lr20. 考点三三角函数的定义及应用 利用三角函数的定义求值三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角的终边上的一点P的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义
10、求解(2)已知角的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题(3)已知角的终边所在的直线方程(ykx，k0)，求角的三角函数值方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解典例21(1)(多选)角的终边上一点P(a,2a)(a0)，则2sin cos 的值可取()AB CD(2)若角的终边经过点P(，m)(m0)，且sin m，则cos _.(3)若角的终边在直线yx上，求sin ，cos
11、 和tan 的值(1)CD(2)(1)P(a,2a)为角的终边上一点，且a0，当a0时，sin ，cos ，2sin cos ；当a0时，sin ，cos ，2sin cos .综上可知，2sin cos ，故选CD.(2)r，由sin m，整理得m25，则r2.cos .(3)解由题意知tan ，当角终边落在第二象限，设角终边上一点P(3,4)，r5，sin ，cos ；当角终边落在第四象限，设角终边上一点P(3，4)，r5，sin ，cos .点评：充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围三角函数值的符号判断已知一角的三角函数值(sin ，cos
12、 ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况典例22(1)(2020全国卷)若为第四象限角，则()Acos 20Bcos 20Csin 20Dsin 20(2)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(3)若sin x0，且sin(cos x)0，则角x是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(1)D(2)C(3)D(1)是第四象限角，sin 0，cos 0，sin 22sin cos 0，故选D.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则
13、为第二象限角或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角，故选C.(3)由1cos x1，且sin(cos x)0知0cos x1，又sin x0，角x是第四象限角，故选D.1函数yloga(x3)2(a0且a1)的图象过定点P，且角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin cos 的值为()AB CDD函数yloga(x3)2的图象恒过定点P(4,2)，且角的终边过点P，设P(x，y)，x4，y2，r2，sin ，cos ，sin cos .2已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Btan 0，cos 0，在第二象限3设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.r，由cos x，整理得5，解得x3.是第二象限角，x0，x3，则tan .10