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1、变化率与导数要点讲解一、求导的基本方法导数极限定义函数y=f(x)在点x0的导数，正好就等于函数曲线在点M（x0，f（x0）的切线斜率.我们看看这个结论是如何得出的.右边这个图，在x0右边距离为x的地方另取 一点，那么曲线上相应的点M1的坐标为（x0+x，f（x0+x），我们将点M和M1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线.这条割线的斜率是多少呢？割线MM1的斜率=请注意，如果这时我们沿着曲线f（x）移动点M1，使它逐渐接近点M（也就是让x缩小，最后变成0），割线MM1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT，向切线MT逼近.从图中可以看出，当M1沿着曲线逐渐向M靠拢时，M
2、M1的斜率也会向MT的斜率逐渐靠近.我们可以把上面这句话写成：当x0，MM1的斜率MT的斜率.用式子表示：切线MT的斜率=这就是导数的定义.x中在x前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta，相当于英文字母的D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用x这个符号，来代表x的微小变化.导数的定义还可以有其他形式，比如用h替代x：还可以用x替代x0，得到：我们假设，这样，当x0，就相当于xx0，可以
3、把式子改写成：从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的.二、导数几何意义的应用函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.一、切线的夹角问题例1已知抛物线yx24与直线yx2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l1和l2.(1)求直线l1与l2的夹角
4、.解析：由方程组，解得A(2，0)，B(3，5)，由y2x，则y|x24，y|x36，设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，tan|,所以arctan.点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C1：yx22x和C2：yx2a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称直线l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公
5、切线段互相平分.解析：(1)函数yx22x的导数y2x2，曲线C1在点P(x1，x2x1)处的切线方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函数yx2a的导数y2x，曲线C2在点Q(x2，xa)处的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是直线l的方程，所以，消去x2得方程2x2x11a0.当判别式442(1a)0时，即a时，解得x1，此时点P和Q重合，即当a时，C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线的方程为yx.（）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.2