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1、【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第5章 第4节 向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教A版一、选择题1(文)如图，在ABC中，AB5，BC3，CA4，且O是ABC的外心，则()A6B6 C8D8答案D解析AB2AC2BC2，ACB为直角，O为ABC外心，()|28.(理)在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1B2C3D4答案B解析由条件知AB2，CD1，BC，MBMC，|cos4521，|cos1351，()()21212，故选B2(2014东营模拟)设a，b是不共线的两个向量，其夹角是，若函数f(x)(xab)(axb)
2、(xR)在(0，)上有最大值，则()A|a|b|，且是钝角B|a|b|，且是钝角D|a|b|，且是锐角答案D解析f(x)(ab)x2(|a|2|b|2)xab在(0，)上有最大值，|a|b|且为锐角3(文)如果A是抛物线x24y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x24y于B、C两点，那么等于()AB0C3D答案B解析由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：ykx4，由消去y得，x24kx160，x1x24k，x1x216，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616k216k21616，x1x2y1y20.(理)(2014山西大学附中二
3、模)过抛物线x22py的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则AOB为()A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D不确定答案C解析设直线l的方程为ykx，由，得x22pkxp20，x1x2p2，y1y2，(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y2p2p20，AOB为钝角，故选C4(文)(2014湖南十二校联考)设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则C()ABCD答案C解析mnsinAcosBcosAsinBsin(AB)1cos(AB)即sinC1cosC，所以sin(C)，又因为C为ABC的内角
4、，所以C，即C.(理)已知A、B、C是锐角ABC的三个内角，向量p(sinA,1)，q(1，cosB)，则p与q的夹角是()A锐角B钝角C直角D不确定答案A解析解法1：pqsinAcosB，若p与q夹角为直角，则pq0，sinAcosB，A、B，AB，则C，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则pq0，sinAcosBsin，ysinx在上为增函数，AB，AB这与条件矛盾，p与q的夹角为锐角解法2：由题意可知ABABsinAsin(B)cosBpqsinAcosB0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角5(文)(2014广州梅州二模)已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，
5、则P点坐标为()A(3,0)B(3,0)C(2,0)D(4,0)答案B解析设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21，当x3时有最小值，P(3,0)(理)直线axbyc0与圆x2y29相交于两点M、N，若c2a2b2，则(O为坐标原点)等于()A7B14C7D14答案A解析记、的夹角为2.依题意得，圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于1，cos，cos22cos212()21，33cos27，选A6(2013荆州市质检)在ABC中，AB2，AC4，若点P为ABC的外心，则的值为()A2B4C6D8答案C解析cosBAP，|cosBA
6、P，同理，6.二、填空题7(文)在平行四边形ABCD中，已知AB2，AD1，BAD60，E为CD的中点，则_.答案解析()()|2|21212cos60.(理)如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案解析设PCx，则0x3.()22x(3x)2x26x2(x)2，所以()的最小值为.8(文)(2014晋江调研)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_答案解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|cos40，|ab|ab|，又|a
7、b|2a2b22ab3，|ab|.(理)(2014南京盐城二模)已知|1，|2，AOB，则与的夹角大小为_答案解析令，因为|1，|2，所以|，由，可知四边形OA1CB1为菱形因为菱形对角线平分所对角，因为AOB，所以AOC.9(2014江西南昌二模)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析由abac得a(bc)0，(bc)a，命题错误由两向量平行的充要条件得162k0，k3，故命题正确由|a|b|ab|，再结合平行四边形
8、法则可得a与ab的夹角为30，命题错误三、解答题10(文)(2014漳县二中月考)已知向量a(sin，cos)与b(，1)，其中(0，)(1)若ab，求sin和cos的值；(2)若f()(ab)2，求f()的值域解析(1)ab，sin1cos0，求得tan.又(0，)，.sin，cos.(注：本问也可以结合sin2cos21或化为2sin()0来求解)(2)f()(sin)2(cos1)22sin2cos54sin()5，又(0，)，(，)，sin()1，70，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()ABCD2答案D解析设FOA
9、，OAFB，且2，OA为FB的中垂线，FOB2，tan，tan2，()23，3，e2.12(2014江南十校一模)已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos，sin)，实数m，n满足manbc，则(m1)2(n1)2的最小值为()A1B1CD32答案D解析因为manbc，所以m(1,1)n(1，1)(cos，sin)，所以则(mn)2(mn)22，即m2n21，所以点P(m，n)在以原点O为圆心，以1为半径的圆上，(m1)2(n1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方，由圆的性质知(m1)2(n1)2的最小值是(1)232.13(2014四川成都五校联考)如图，在直角梯形ABCD中，
10、ABAD，ADDC1，AB3，点P是BC的中点，设(，R)，则等于()ABCD答案D解析建立如图所示的坐标系，B(3,0)，D(0,1)，C(1,1)P为BC的中点，P(2，)，(2，)(0,1)(3,0)(3，)，32，故选D14(2013安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的平面区域的面积是()A2B2C4D4答案D解析由|2知，.设(2,0)，(1，)，(x，y)，则解得由|1得|xy|2y|2.作可行域如图则所求面积S244.二、填空题15(2013兰州名校检测)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，
11、a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysinx的图象上运动Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_答案，解析令Q(c，d)，由新的运算可得mn(2x，sinx)(，0)(2x，sinx)，消去x得dsin(c)，所以yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，16(文)已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，若MBC、MCA和MAB的面积分别为、x、y，则的最小值是_答案18解析2，bccosA2，BAC30，bc4，SABC1，xy，()1018.等号成立时，x，y，在时，取得最小值18.(理)过双曲线1(a0，b
12、0)的左焦点F(c，0)(c0)，作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为_答案解析PF与圆x2y2相切，OEPF，且OE，()，E为PF的中点，又O为FF2的中点，|PF2|2|OE|a，由双曲线定义知，|PF|PF2|2a3a，在RtPFF2中，|PF|2|PF2|2|FF2|2，a29a24c2，e2，e1，e.三、解答题17已知两点M(1,0)、N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记为与的夹角，求tan.分析(1)求点P的轨迹，先设P(x，y)，由点P满足的条件建立方程
13、，整理化简后指出曲线的形状(2)由P在(1)中的曲线上，得P点坐标满足的关系式，由向量的夹角公式，可得cos，再由同角关系可求tan.解析(1)设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，(2,0)，2(1x)，x2y21，2(1x)，由题意得，化简得，所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)(2)点P的坐标为(x0，y0)，而xy12.又|2.所以cos，0x0，cos1，0c，lPR：yxb，即lPR：(y0b)xx0yx0b0，由直线PR与圆相切得，1，注意到x02，化简得(x02)b22y0bx00，同理得(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22
14、y0xx00的两根，所以|bc|，有SPRNx0(x02)48，当x04时PRN的面积的最小值为8.(理)(2013哈尔滨九中月考)如图，已知直线l与抛物线x24y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)(1)若动点M满足|0，求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，试求OBE与OBF面积之比的取值范围解析(1)由x24y得yx2，yx.直线l的斜率为y|x21，故直线l的方程为yx1，点A坐标为(1,0)设M(x，y)，则(1,0)，(x2，y)，(x1，y)，由|0得(x2)y00，整理，得y21.动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2的椭圆(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l的方程为yk(x2)(k0)，将代入y21中，整理得(2k21)x28k2x(8k22)0，由0得0k2.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则令，则，由此可得，且01.由知(x12)(x22)，(x12)(x22)x1x22(x1x2)4，即k2.0k2，0，解得3232.又01，321，OBE与OBF面积之比的取值范围是(32，1)- 13 -