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1、第十五章分式本章小结学习目标1.建立起本章知识的框架图,形成这一章的完整知识体系.2.提高归纳和概括能力,形成反思自己学习过程的意识.3.借助例题与巩固练习(包括变式)提高分析问题、解决问题的实践能力,拓展思维.学习过程一、自主学习画出本章的知识“框架图”,形成本章知识体系二、深化探究【例1】x为何值时,下列分式(1)3x-4有意义?(2)xx-2无意义?(3)x2-1x-1的值为零?问题1:(1)分式有意义的条件是什么?(2)分式无意义的条件是什么?(3)分式的值为零的条件是什么?(4)通过做此题,你认为应注意什么?巩固练:当x为何值时,下列分式的值为零?(1)x-1x+1;(2)(x-2)
2、(x-3)x2-9.【例2】约分:(1)-16x220xy;(2)4-a2a2-2a;(3)a2-1a2-a-2.问题2:通过做这几道题,你认为约分应该注意什么?巩固练:按下列程序计算,最后输出的答案是()a立方-aa+1答案A.a3B.a2+1C.a2D.a变式练:请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.a2-1ab-bb+ab【例3】通分(1)14a2,b2ac;(2)29-3a,a-1a2-9.问题3:通过做此题,你认为在通分时,应该注意什么?【例4】计算(1)a2-aba2ab-ba;(2)a2+2a+1a2-1-1a-1;(3)-pq2r32rp-2+12q.问题4:
3、它们涉及哪些运算?它们的运算法则是什么?遵循怎样的运算顺序?巩固练:(1)化简:1+4a2-4a+2a;(2)化简:2a-2b-3(-3a-1b2)6a-1(ab)-2.变式练:先化简代数式a-ba+2ba2-b2a2+4ab+4b2-1,然后选择一个使原式有意义的a,b值代入求值.【例5】解方程5x+2x2+x=3x+1.问题5:解分式方程一般需要经过哪几个步骤?问题6:解分式方程为什么必须要检验?巩固练:解方程xx-2-1=1x2-4.变式练:若方程x-3x-2=m2-x无解,则m=.【例6】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修,技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着
4、所需材料出发,结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍,求两种车的速度.三、练习巩固(一)解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等.1.设A=3xx-2-xx+2,B=x2-4x,求A与B的积;2.提出问题1的一个“逆向”问题,并解答.(二)观察下列等式112=1-12,123=12-13,134=13-14,
5、将以上三个等式两边分别相加得:112+123+134=1-12+12-13+13-14=1-14=34.1.猜想并写出:1n(n+1)=.2.直接写出下列各式的计算结果:(1)112+123+134+12 0142 015=;(2)112+123+134+1n(n+1)=.3.探究并计算:124+146+168+12 0142 016.参考答案一、自主学习二、深化探究【例1】(1)要使分式3x-4有意义,则x-40,当x4时,分式3x-4有意义.(2)要使xx-2无意义,则x-2=0.当x=2时,xx-2无意义.(3)要使x2-1x-1的值为零,则x2-1=0且x-10,当x=-1时,分式的值
6、为零.问题1:(1)分母不为零;(2)分母为零;(3)分子为零且分母不为零;(4)首先要注意审清题意,弄清三者的区别与联系,尤其是分式值为零的题目,常常在此设置陷阱.巩固练:(1)x=1;(2)x=2.变式练:由于x2+10,因此,只要x+20即可,即x-2.【例2】(1)-16x220xy=-4x5y;(2)4-a2a2-2a=(2+a)(2-a)a(a-2)=-a+2a;(3)a2-1a2-a-2=(a+1)(a-1)(a+1)(a-2)=a-1a-2.问题2:若分子分母都是单项式,直接约去分子、分母中的公因式即可;若分子或分母是多项式要先因式分解,然后再将公因式约去.巩固练:C变式练:本
7、题共有6种答案,选择其中之一解答即可.(1)a2-1ab-b=(a+1)(a-1)b(a-1)=a+1b;(2)a2-1b+ab=(a+1)(a-1)b(1+a)=a-1b;(3)ab-ba2-1=b(a-1)(a+1)(a-1)=ba+1;(4)ab-bb+ab=b(a-1)b(a+1)=a-1a+1;(5)b+aba2-1=b(a+1)(a+1)(a-1)=ba-1;(6)b+abab-b=b(a+1)b(a-1)=a+1a-1.【例3】略问题3:将各分母因式分解(当分母已经是因式分解形态时,这步可以省略);寻找最简公分母;据分式基本性质,把各分式的分子、分母乘同一整式,化异分母为最简公分
8、母.【例4】计算:(1)a2-aba2ab-ba=a(a-b)a2a2-b2ab=a(a-b)a2ab(a+b)(a-b)=ba+b;(2)a2+2a+1a2-1-1a-1=(a+1)2(a+1)(a-1)-1a-1=aa-1;(3)原式=-p3q38r34r2p2+12q=-pq32r+12q=-pq42rq+r2rq=r-pq42rq.问题4:分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.abcd=acbd分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.abcd=abdc=adbc.同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,
9、把分子相加减.acbc=abc.异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变成同分母分式,再加减.abcd=adbdbcbd=adbcbd.分式的乘方法则:分式的乘方,把分子、分母分别乘方.用公式表示为abn=anbn.(n为正整数)负整数指数幂的运算性质:当n是正整数时,a-n=1an(a0).混合运算的顺序是:先乘除,后加减,同级运算按从左到右的顺序进行,有括号,先算括号内的.巩固练:(1)原式=a2-4+4a2-4a+2a=a2(a+2)(a-2)a+2a=aa-2.(2)原式=2a-2b-3(-3a-1b2)6a-1(ab)-2=-236a-2+(-1)-(-1)-(-2)b
10、-3+2-(-2)=-a0b=-b.变式练:a-ba+2ba2-b2a2+4ab+4b2-1=a-ba+2b(a+2b)2(a+b)(a-b)-1=a+2ba+b-a+ba+b=a+2b-a-ba+b=ba+b.当a=b=1时,原式=11+1=12.【例5】原方程可化为5x+2x(x+1)=3x+1,去分母,得5x+2=3x,解得x=-1.经检验可知,x=-1是原方程的增根,原方程无解.问题5:确定最简公分母;去分母,即方程两边都乘以最简公分母,约去分母.化分式方程为整式方程;解这个整式方程;把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是增根,应舍去,使最简公分母不为零的
11、根才是原方程的根.问题6:因为我们在去分母的变形过程中,需要乘以一个含未知数的整式(最简公分母),这样分式方程将转化为整式方程,如此一来,分式方程中分母不为0的限制被无形地取消了,使得未知数的范围扩大了,若不进行“质检”,假冒伪劣产品要混入方程解的行列,而导致我们解题的错误.巩固练:原方程可化为xx-2-1=1(x+2)(x-2).去分母,得x(x+2)-(x2-4)=1.整理,得2x=-3.解得x=-32.经检验可知,x=-32是原方程的根.变式练:先去分母得x-3=-m,显然这个关于x的方程有解,即x=3-m,这说明此解恰好使得原分式方程的分母为0(即它是原分式方程的增根),则可得x=2,
12、代入x=3-m,故m=1.【例6】摩托车走这30千米所用的时间-抢修车走这30千米所用的时间=1560(时)路程时间速度摩托车3030xx抢修车30301.5x1.5x据此等量关系,可列方程30x-301.5x=1560抢修车的速度=摩托车的速度1.5路程时间速度摩托车30x30x抢修车30x-156030x-1560据此等量关系,可列方程30x-1560=30x1.5速度时间=路程路程时间速度摩托车30x30x抢修车30x-156030x1.5据此等量关系,可列方程30x1.5x-1560=30三、练习巩固(一)解:1.AB=3xx-2-xx+2x2-4x=3(x+2)-(x-2)=2x+8
13、;2.“逆向”问题不唯一,仅举几例:(1)已知A与B的积为2x+8,且A=3xx-2-xx+2,求B.(解答略)(2)已知A与B的积为2x+8,且B=x2-4x,求A.(解答略)(3)已知A与B的积为2x+8,则A与B一定是整式吗?(答:不一定)(4)请构造出两个分式A与B,使A与B的积为2x+8?解:A=3xx-2-xx+2,B=x2-4x(5)请构造出一个整式A与一个分式B,使A与B的积为2x+8如:A=x2-16,B=2x-4.实际上,只要取A为非零次整式即可,如A=x,则B=2x+8x等(二)解:1.1n(n+1)=1n-1n+1.2.(1)2 0142 015;(2)nn+1.3.原式=14112+123+134+11 0071 008=141 0071 008=1 0074 032.