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1、考点30 直接证明与间接证明一、选择题1.（2014山东高考理科4）用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数，则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.2.（2014山东高考文科4）与（2014山东高考理科4）相同用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A、
2、方程没有实根.B、方程至多有一个实根.C、方程至多有两个实根.D、方程恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根.【解析】选A.“已知为实数，则方程至少有一个实根”的反面是“方程没有实根.”故选A.二、解答题3.（2013北京高考理科20）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d为非
3、负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据dn的定义求.(2)充分性:先证明an是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明an是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1），。（2） 充分性：若为公差为的等差数列，则.因为是非负整数，所以是常数列或递增数列.，(n=1,2,3,).必要性：若，假设是第一个使得的项，则，这与矛盾.所以是不减数列.，即，是公差为的等差数列.（3）首先中的项不能是0，否则，与
4、已知矛盾.中的项不能超过2，用反证法证明如下：若中有超过2的项，设是第一个大于2的项，中一定存在项为1，否则与矛盾.当时，否则与矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间，使得，此时，矛盾.综上中没有超过2的项.综合，中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若为最后一个1，则，矛盾.因此1有无数个. 4.（2013北京高考文科20）给定数列a1，a2，an。对i=1，2，n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi.（1）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.（2）设a1，a2，an（n4）是公比大于1
5、的等比数列，且a10.证明：d1，d2，dn-1是等比数列。（3）设d1，d2，dn-1是公差大于0的等差数列，且d10，证明：a1，a2，an-1是等差数列。【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出dn的通项,再利用等比数列的定义证明dn是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列,再证明an是数列an的最小项,最后证明an是等差数列.【解析】（1），。（2）由是公比大于1的等比数列，且a10，可得的通项为且为单调递增数列。于是当时，为定值。因此d1，d2，dn-1构成首项，公比的等比数列。（3）若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列,则0d1d2dn-1,先证明a1,a2,an-1是单调递增数列,否则,设ak是第一个使得akak-1成立的项,则Ak-1=Ak,Bk-1Bk,因此dk-1=Ak-1-Bk-1Ak-Bk=dk,矛盾.因此a1,a2, an-1是单调递增数列.再证明an为数列an中的最小项,否则设ak0矛盾.因而k2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0,矛盾.因此,an为数列an中的最小项.综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于是ak=dk+an,从而a1,a2,an-1是等差数列.4