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1、专题四 平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用 解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，直线的方程和圆的方程正常情况下，考一小(填空)一大(解答)小题常涉及直线方程及应用、圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往考查圆锥曲线与圆或圆锥曲线与直线，涉及到方程、位置关系、定点、定值、定线等圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，如能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，并结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的
2、关系，二者能相互转化2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相
3、切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题1. 直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_答案：4解析：圆方程为(x3)2(y4)225，圆心到直线的距离为d，弦长为24.2. 过点(2，1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_答案：x2y0或xy303. 圆x2y21与直线kxyk0(kR为常数)的位置关系是_答案：相交4. 已知直线yax3与圆x2y22x80相交于A、B两点，点P(x0，y0)在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为_答案：(1，0)(0，2)解析：圆x2y22x80的圆心为(1，0)
4、，半径为3，由PAPB，知点P在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为y(x1)，联立y2x，得x0.因为直线yax3与圆相交于两点，所以3，解得a0，从而x0的取值范围为(1，0)(0，2)题型一 直线的方程例1 已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程解：由题意可设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a，0)，则由题意知2(a1)2，解得a3或1.又圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3，0)因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.题型二 圆的方
5、程例2 已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1) 求直线l斜率的取值范围；(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解： (1) 直线l的方程可化为yx，则直线l的斜率k， |m|(m21)， |k|，当且仅当|m|1时等号成立， 斜率k的取值范围是.(2) 不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心C(4，2)，半径r2，圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d，从而若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧题型三 直线与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐
6、标系xOy中，AOB和COD为两等腰直角三角形，A(2，0)、C(a，0)(a0)AOB和COD的外接圆圆心分别为M、N.(1) 若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程；(2) 若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程；(3) 是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，说明理由解： (1) 圆心M(1，1)， 圆M的方程为(x1)2(y1)22.又直线CD方程为xya0，且圆M与直线CD相切， 圆心M到直线CD的距离d，化简得a2(舍去负值)， 直线CD的方程为xy20.(2) 直线AB方程为：xy20，圆心N， 圆心N到直线
7、AB距离为. 直线AB截圆N所得弦长为4， 22()2， a2(舍去负值)， 圆N的标准方程为(x)2(y)26.(3) 存在由(2)知圆心N到直线AB距离为(定值)，且ABCD始终成立， 当且仅当圆N的半径2，即a4时，圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为，此时，圆N的标准方程为(x2)2(y2)28.题型四 与圆有关的综合问题例4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y264，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9，0)，且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1) 求圆O1的标准方程；(2) 过定点P(a，b)作动直线l与圆O、圆O1都相交，且直线l被圆O、圆O1截得的弦长分别
8、为d、d1.若d与d1的比值总等于同一个常数，求点P的坐标及的值解：(1) 由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x9)2y216.(2) 当直线l的斜率存在时，设直线l为ybk(xa)，即ykxkab0.则O、O1到直线l的距离分别为h，h1，从而d2，d12，由，得64216，整理得64a21622(a9)2k22ba2(a9)k64b22(16b2)0.由题意，上式对于任意实数k恒成立，所以64a21622(a9)20，2ba2(a9)0，64b22(16b2)0，由2ba2(a9)0，得b0或a2(a9)0. 如果b0，则641620，解得2(舍去负值)从而a6或18.所以
9、2，点P(6，0)或P(18，0) 如果a2(a9)0，显然a9不满足，从而2，所以3a243a1920.但432431924550)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1) 求C的方程；(2) 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解：(1) 设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2) 依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1
10、，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l 的斜率为m，所以l 的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2
11、014苏北期末)已知ABC的三个顶点A(1，0)、B(1，0)、C(3，2)，其外接圆为圆H.(1) 若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1) 线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy30，所以外接圆圆心H(0，3)，半径，圆H的方程为x2(y3)210.(4分)设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x3为所求；(6分)当直线l不垂直于x轴时，设直线
12、方程为y2k(x3)，则3，解得k.综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(8分)(2) 直线BH的方程为3xy30，设P(m，n)(0m1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以M.又M、N都在半径为r的圆C上，所以即(10分)因为该关于x、y的方程组有解，即以(3，2)为圆心、r为半径的圆与以(6m，4n)为圆心、2r为半径的圆有公共点，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.(12分)又3mn30，所以r210m212m109r2对m0，1成立而f(m)10m212m10在0，1上的值域为，故r2且109r2.(15分)又线段BH与圆C无公共点，所以(m3)2(3
13、3m2)2r2对m0，1成立，即r2.故圆C的半径r的取值范围为.(16分)1. 已知实数x、y满足2xy50，那么的最小值为_答案：2. 直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m_答案：或33. 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_答案：12，3解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心(2，3)到直线yxb距离等于2，解得b12或12.因为是下半圆故可得b12，当直线过(0，3)时，解得b3，故12b3.4. 已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴
14、上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点(1) 如果|AB|，求直线MQ的方程；(2) 求动弦|AB|的最小值解： (1) 设Q(q，0)，因为M(0，2)，所以|MQ|，而|MA|r1，从而在RtAMQ中，|AQ|.又由题意和对称性可得，RtAMQ斜边MQ边上的高为h|AB|.由等面积法得，解得q，所以Q(，0)，将M、Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2) 由(1)知，利用等面积法得|AB|AB|，从而当q0时，动弦|AB|取到最小值.5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x5上圆弧
15、C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29，0)(1) 求圆弧C2的方程；(2) 曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线C交于E、F两点，当EF33时，求坐标原点O到直线l的距离解：(1) 圆弧C1所在圆的方程为x2y2169，令x5，解得M(5，12)，N(5，12)则线段AM中垂线的方程为y62(x17)，令y0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14，0)又圆弧C2所在圆的半径为r2291415，所以圆弧C2的方程为(x14)2y2225(x5)(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得x2y22x290.由 解得x70(舍)，由解得x0(舍)，综上知，这样的点P不存在(3) 因为EF2r2，EF2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF15，即18，解得d2，所以点O到直线l的距离为.- 8 -