《天津101中学2022届高考数学总复习-圆锥曲线单元精品教学案(教师版全套).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津101中学2022届高考数学总复习-圆锥曲线单元精品教学案(教师版全套).doc（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线与方程考纲导读1掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质4了解圆锥曲线的初步应用知识网络圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的根本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，根本上是两个客观题，一个主观题，分值21分24分，占15%
2、左右，并且主要表达出以下几个特点：1圆锥曲线的根本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解圆锥曲线的几何性质的应用2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种根本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法3有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的根本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤
3、其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势第1课时 椭圆根底过关1椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注：当2a|F1F2|时，P点的轨迹是 当2a|F1F2|时，P点的轨迹不存在(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 2椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( 0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在
4、原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： 3焦点在哪个轴上如何判断？3椭圆的几何性质(对,a b 0进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： (4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 (5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，那么 ，= 。4焦点三角形应注意以下关系老师补充画出图形：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|
5、PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)典型例题变式训练2：Px0,y0是椭圆ab0上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2ar连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当
6、直线与x轴垂直时，1求椭圆的方程；2求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；3求的最大值和最小值解：1由抛物线方程，得焦点设椭圆的方程： 解方程组 得C-1，2，D1，-2 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， 2分又，因此，解得并推得 故椭圆的方程为 4分2， 圆过点O、，圆心M在直线上设那么圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，由得解得所求圆的方程为8分3 由假设垂直于轴，那么， ， 9分假设与轴不垂直，设直线的斜率为，那么直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根设，., 11分 = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，点A
7、(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点0, 且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；3点M，0，N0, 1，在()的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：() 设Cx, y, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . (2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得. 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. 满足条件的k的取值范围为 3设P
8、x1,y1,Q(x2,y2),那么x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因为， 所以. 所以与共线等价于. 将代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线.例4. 椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.1求椭圆W的方程；2求证： ()；3求面积的最大值. 解：1设椭圆W的方程为，由题意可知解得，所以椭圆W的方程为4分2解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得设点，的坐标分别为，,那么，因为，所
9、以，.又因为，所以 10分解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,那么点的坐标为，由椭圆的第二定义可得,所以，三点共线，即10分(3)由题意知 ，当且仅当时“=成立，所以面积的最大值为变式训练4：设、分别是椭圆的左、右焦点. 1假设P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；2是否存在过点A5，0的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由.解：1易知 设Px，y，那么 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 2假设存在满足条件的直线l易知点A5，
10、0在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，那么又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 小结归纳1在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，到达事半功倍之效2由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法步骤是：定型确定曲线形状；定位确定焦点位置；定量由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，
11、方程可能有两种形式，要防止遗漏3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是4“设而不求，“点差法等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会5解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视第2课时 双 曲 线根底过关典型例题例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一局部绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程精确到1m.解：如图817，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且=
12、132 (m)，=252 (m).设双曲线的方程为 a0,b0令点C的坐标为13，y，那么点B的坐标为25，y55.因为点B、C在双曲线上，所以 解方程组由方程2得 负值舍去.代入方程1得化简得 19b2+275b18150=0 3解方程3得 b25 (m).所以所求双曲线方程为：例3. 中，固定底边BC，让顶点A移动，且，求顶点A的轨迹方程解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，利用正弦定理，从条件得，即由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()变式训练3：双曲线的一条渐近线
13、方程为，两条准线的距离为l.1求双曲线的方程；2直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.1解：依题意有：可得双曲线方程为 2解：设所以 例4. 设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。1假设直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；2求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；3过点F1，0作直线l与中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，假设T为中的点的取值范围。解：1由题，得，设那么由 又在双曲线上，那么 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为2，0
14、 3分2设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为x，y由A1、P、M三点共线，得 1分由A2、Q、M三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹E的方程为 1分3容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 那么由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 变式训练4：)中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P6,6，动直线l经过A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.1求双曲线C的标准方程2当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位
15、置关系。解1设双曲线C的方程为又P6,6在双曲线C上，由、解得所以双曲线C的方程为。2由双曲线C的方程可得所以A1PA2的重点G2,2设直线l的方程为代入C的方程，整理得整理得解得由，可得解得小结归纳由、，得5对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化“数形结合，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比拟，从“形的角度来判断第3课时 抛 物 线根底过关1抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否那么，轨迹将退化为一条直线)2抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ，焦点为 ，准线为 ，焦点为 ，
16、准线为 ，焦点为 ，准线为 ，焦点为 ，准线为 3抛物线的几何性质：对进行讨论 点的范围： 、 对称性：抛物线关于 轴对称 离心率 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，那么 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 假设，那么 ， ii) 假设AB所在直线的倾斜角为(那么 特别地，当时，AB为抛物线的通径，且 iii) SAOB 表示成P与的关系式iv) 为定值，且等于 典型例题例1. 抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值解：设抛物线方程为，那么焦点是F点A(3，n)在抛物线上，且| AF |5故解得P4，故所求抛物线
17、方程为变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ，p12故抛物线方程为或例2. 抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B(1) 假设，求直线l的方程(2) 求的最小值解：(1)解法一：设直线的方程为：代入整理得，设那么是上述关于的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知：| AB |假设，那么即直线有两条，其方程分别为：解法二：由抛物线的焦点弦长公式|AB|(为AB的倾斜角)易知sin，即直线AB的斜率ktan，故所求直线方程为：或.(2) 由(1)知，当且仅当时，|AB|有最小值4解法二：由(1)知|A
18、B| |AB|min4 (此时sin1，90)变式训练2：过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线 A有且仅有一条B有且仅有两条C有无数条D不存在解：B例3. 假设A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标解：抛物线的准线方程为过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ| PF |，| PF | PA | PA | PQ |要使| PA | PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点从而|PA|PF|的最小值为此时P的坐标为(2，2)1.2022辽宁理
19、，10点P是抛物线y2=2x上的一个动点，那么点P到点0，2的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .答案 变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一局部，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r的取值范围是 。解：例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围解：(1)Fl|FA|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意y1，y2不同
20、时为0上述条件等价于y1y2(x1x2)(x1x2)0x1x2 x1x20即当且仅当x1x20时，l过抛物线的焦点F(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb，过点A、B的直线方程可写为yxm所以x1、x2满足方程：2x2xm0且x1x2，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以8m0，即m设AB之中点为N(x0，y0)，那么x0y0x0mm由Nl得：mb于是bm即l在y轴上截距的取值范围是(，)变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线yx4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，那么直线CD的
21、斜率为1 1，即y1y21 又| CD |(y1y2)| BC |(y12y14恒正)由| CD | BC |，有(y1y2) 解、 得 y12或y13当y12时，有| BC |3，此时SABCD18当y13时，有| BC |5，此时SABCD50 正方形的面积为18或50小结归纳1求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法2利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化3涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能防止求交点坐标的复杂运算4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质根底过关第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系1
22、直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为，0时，有两个公共点，0时，有一个公共点，1)，向量(1, t) (t 0)，过点A(a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点CO为坐标原点(1) 求t表示ABC的面积S( t )；(2) 假设a2，t, 1，求S( t )的最大值CAOBxy解：(1) 直线AB的方程为：yt(xa)，由 得 y0或y 点B的纵坐标为 S(t)SABC2SAOB|OA|yB(2) 当a2时，S(t) t，1， 4t24当且仅当4t，t时，上式等号成立
23、. S(t)2即S(t)的最大值S(t)max2变式训练4：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 1求椭圆C的离心率； 2假设过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： APQFOxy相切，求椭圆C的方程. 解：设Qx0，0，由F-c，0A0，b知2分设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2a2c2=3ac，,故椭圆的离心率e由知，于是Fa，0， QAQF的外接圆圆心为a，0，半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，小结归纳所求椭圆方程为小结归纳1判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法
24、时，假设所得方程二次项的系数有参数，那么需考虑二次项系数为零的情况2涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式对于存在性问题，还需用判别式进一步检验3对称问题，要注意两点：垂直和中点圆锥曲线单元测试题一、选择题1 中心在原点，准线方程为x4，离心率为的椭圆方程是 ABC D2 AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，那么AB中点C的横坐标是 A2BCD3 假设双曲线的一条准线与抛物线y28x的准线重合，那么双曲线的离心率为 ABC4D4 抛物线y2x2上两点A(x1，y
25、1), B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2, 那么m的值等于 A B C 2 D35双曲线x21的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且0，那么点M到x轴的距离为 A BC D6点P(3，1)在椭圆(ab0)的左准线上，过点P且方向为(2,5)的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为 A BC D 7 椭圆上有n个不同的点：P1，P2，Pn，椭圆的右焦点为F，数列|PnF|是公差大于的等差数列，那么n的最大值是 A198 B199C200 D2018 过点(4, 0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，那么直线AB的斜率k的取值范围是 A| k |1B| k |
26、 C| k |D| k | e2 e3 Be1 e2 e3 Ce1e2 e3 二、填空题11抛物线yx2上到直线2xy4的距离最近的点是 .12双曲线3x24y212x8y40按向量平移后的双曲线方程为，那么平移向量 13P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，那么F1F2P的重心G的轨迹方程是14椭圆中，以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程为 .15以下四个关于圆锥曲线的命题中： 设A、B为两个定点，k为非零常数，假设，那么动点P的轨迹为双曲线； 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，假设()，那么动点P的轨迹为椭圆； 方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲
27、线与有相同的焦点其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号三、解答题16双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且F1PF260，PF1F2的面积为，求双曲线的方程17动圆C与定圆x2y21内切,与直线x3相切.(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；(2) 假设Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.18如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点 (1) 写出直线的截距式方程； (2) 证明：； (3) 当时，求的大小xyOMlaNb19设x，yR，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，假设x(y2)，x(y2)，且|8(1)
28、 求动点Mx，y的轨迹C的方程(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点0，3，(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.20动圆M过定点A(，0)，且与定圆A：(x)2y212相切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围21椭圆的左、右焦点分别是F1(c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足0，0(1) 设x为点P的横坐标，证明；(2) 求点T的轨迹C的方程；(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积Sb2 ？假设存在，求F
29、1MF2的正切值，假设不存在，请说明理由xyQPOF1F2圆锥曲线单元测试题答案1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (2，1) 13. 14. 9x32y730 15. 16. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示：设双曲线方程为：0F1F2xyP60依题意有： 解之得：a24，c216，b212故所求双曲线方程为：17解：(1) 设那么C与O内切，即轨迹方程为(2) 设，那么当，即时 当，即时，18解：(1) (2) 由直线方程及抛物线方程可得：
30、by22pay2pab0故 所以(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2那么.当a2p时，知y1y24p2，x1x24p2所以，k1k21，即MON9019( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,2)，F2(0，2)那么，即|，即|8又 42c， c2，a4，b212所求轨迹方程为 ( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 (3k24)x218kx210x1x2 x1x2y1y2(kx13) (kx23)k2 x1x23k(x1x2)9 OAPB为矩形， OAOB 0 x1x2y1y20 得k所求直
31、线方程为yx3xyFA(,0)EMP(0, 2)A(,0)20解：(1)A(，0)，依题意有|MA|2|MA|MA|2 2点M的轨迹是以A、A为焦点，2为长轴上的椭圆，a，c b21因此点M的轨迹方程为(2) 解法一：设l的方程为xk(y2)代入，消去x得：(k23)y24k2y4k230由0得16k4(4k23)(k23)0 0k21设E(x1，y1)，F(x2，y2)，那么y1y2，y1y2又(x1，y12)，(x2，y22)x1x2(y12)(y22)k(y12)k (y22) (y12)(y22)(1k2)0k21 3k234 解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为(t为参数，为直线l的倾角)代入中并整理得：(12sin2)t212sint90由122sin236(12sin2)0得：sin2 又t1t2cos0|PE|PF|t1t2由sin21得：21(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y)xyQPOF1F2T由P(x，y)在椭圆上，得