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1、课时规范练56极坐标方程与参数方程的应用基础巩固组1.(2020广东珠海三模,22)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角=6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为=4sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.2.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=tcos,y=tsin(t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-4=4cos -2sin .(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB的长度为25,求直
2、线l的普通方程.3.(2020湖南郴州二模,文22)在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为x=1+2cos,y=1+2sin(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l1的极坐标方程为=-66,射线l2的极坐标方程为=+2.(1)写出曲线C的极坐标方程,并指出是何种曲线;(2)若射线l1与曲线C交于O,A两点,射线l2与曲线C交于O,B两点,求ABO面积的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(其中t为参数,0).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=4cos .(1)求l和C的
3、直角坐标方程;(2)若l与C相交于A,B两点,且|AB|=8,求.综合提升组5.(2020山西太原二模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=tt+1,y=2t+1t+1(t为参数),曲线C2的参数方程为x=2+2cos,y=2sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)射线1=00,00)表示的曲线C1就是一条心形线,在以极轴Ox所在直线为x轴,极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中,已知曲线C2的参数方程为x=1+33t,y=3+t(t为参数).(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)若曲线C1与C
4、2相交于A,O,B三点,求线段AB的长.10.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:x2+y2-x=0,C2:x2+y2-2y=0.(1)以过原点的直线的倾斜角为参数,写出曲线C1的参数方程;(2)直线l过原点,且与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B不是原点),求|AB|的最大值.参考答案课时规范练56极坐标方程与参数方程的应用1.解(1)由=4sin得2=4sin,从而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(2)由题意设直线l的参数方程为x=3+tcos6,y=2+tsin6,即x=3+32t,y=2+12t(t为参数),代入圆的
5、方程得3+32t2+12t2=4,整理得t2+33t+5=0,t1+t2=-33,t1t2=5,由t1+t20,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=33.2.解(1)将x=cos,y=sin代入曲线C极坐标方程得,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4=4x-2y,即(x-2)2+(y+1)2=9.(2)将直线的参数方程代入曲线方程(tcos-2)2+(tsin+1)2=9,整理得t2-4tcos+2tsin-4=0,设点A,B对应的参数为t1,t2,则t1+t2=4cos-2sin,t1t2=-4.则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(4cos-
6、2sin)2+16=25,化简得3cos2-4sincos=0,由0,得=2或tan=34,直线l的普通方程为y=34x或x=0.3.解(1)将x=1+2cos,y=1+2sin(为参数),化为普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,化为极坐标方程为(cos-1)2+(sin-1)2=2,整理得=2cos+2sin,曲线C是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.(2)令1=|OA|=2cos+2sin,2=|OB|=2cos+2+2sin+2=-2sin+2cos,SOAB=1212=2(cos2-sin2)=2cos2.-66,-323,12cos21,12cos22.ABO面积的取值范围为1
7、,2.4.解(1)当=2时,l:x=1;当2时,l:y=tan(x-1).由sin2=4cos得2sin2=4cos,所以C的直角坐标方程y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(sin2)t2-(4cos)t-4=0,则t1+t2=4cossin2,t1t2=-4sin2.因为|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4sin2=8,所以sin=22或-22.因为0,所以sin=22,故=4或34.5.解(1)由x=tt+1,y=2t+1t+1消去参数t得曲线C1普通方程为x-y+1=0.由x=2+2cos,y=2sin消去参数得曲线C2的直角坐标方程为x
8、2+y2-4x=0,得曲线C2的极坐标方程为=4cos.(2)由=4cos得点P坐标为(4cos,)02.又直线x-y+1=0的极坐标方程为cos-sin+1=0,得点Q1cos+sin,2+,SOPQ=124cos1cos+sin=1.cos=sin,=4.|OP|=4cos=22.6.解(1)由题可知,直线l的普通方程为x+y-3=0,则直线l的极坐标方程为cos+sin-3=0.曲线C1的普通方程为x2+y2=x,因为x=cos,y=sin,所以C1的极坐标方程为=cos.(2)直线l的极坐标方程为cos+sin-3=0,令=,则=3cos+sin=|OM|,所以3|OM|=cos+si
9、n.又|ON|=cos,所以3|OM|+|ON|=sin+2cos=5sin(+)(tan=2).因为02,所以3|OM|+|ON|的最大值为5.7.解(1)因为曲线C1的参数方程为x=3tan,y=2cos(为参数),所以x3=tan,y2=1cos,则x23=sin2cos2,y22=1cos2,两式相减可得,曲线C1的普通方程为y22-x23=1.因为曲线C2:2cos+3=6,故2cos12-sin32=6.故曲线C2的直角坐标方程为x-3y-6=0.(2)注意到点P(6,0)在曲线C2:x-3y-6=0上,故可设曲线C2的参数方程为x=6+32t,y=12t(t为参数),代入y22-
10、x23=1中,得t2+82t+24=0.设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-82,t1t2=24,故t1,t2同号.故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2|t1t2|=23.8.解(1)由x=3y得y=33x,所以l的极坐标方程为=6(R),由(x-23)2+(y+1)2=16得x2+y2-43x+2y-3=0,又因为x2+y2=2,x=cos,y=sin,所以曲线C的极坐标方程为2-43cos+2sin-3=0.(2)将=6代入得,2-6+-3=0,即2-5-3=0,所以1+2=5,12=-3,由极坐标几何意义得|AB|=|1-2|=(1+2)2-41
11、2=25+12=37.9.解(1)由x=1+33t,y=3+t(t为参数),消参数t化简得曲线C2的普通方程为3x-y=0.将x=cos,y=sin代入C2的普通方程,得3cos-sin=0,化简得tan=3,即=3,即得曲线C2的极坐标方程为=3(R).(2)由已知,不妨设AA,3,BB,43,于是A=a1-sin3=a1-32,B=a1-sin43=a1+32,故|AB|=2a.10.解(1)如图,C1:x2+y2-x=0,即x-122+y2=14是以C112,0为圆心,12为半径,且过原点的圆,设P(x,y)为过原点的直线与C1的交点,连接PC1,由圆的对称性,不妨设PC1x=(0),则x=12+12cos,y=12sin.由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0,而=2,所以曲线C1的参数方程为x=12+12cos2,y=12sin2(为参数,且00),2=2sin(20),故|AB|=|12|=|2sincos|=5|sin()|5,其中tan=12.故当|sin()|=1时,等号成立.综上,|AB|的最大值为5.