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1、提能专训(十八)导数的简单应用与定积分A组一、选择题1(合肥二次质检)下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是()C命题立意：本题考查导数在研究函数单调性上的应用，难度中等解题思路：依次判断各个选项，易知选项C中两图象在第一象限部分，不论哪一个作导函数的图象，其值均为正值，故相应函数应为增函数，但相反另一函数图象不符合单调性，即C选项一定不正确故选C.2(2013郑州市质检二)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()A1B1Ce1DeC命题立意：本题考查函数的导数的求法与赋值法，难度中等解题思路：依题意，得f(x)2f(e)，取x
2、e得f(e)2f(e)，解得f(e)e1.故选C.3已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能是()ABCDA命题立意：本题考查函数的性质，难度较小解题思路：函数f(x)的图象自左向右看，在y轴左侧，依次是增、减、增；在(0，)上是减函数因此，f(x)的值在y轴左侧，依次是正、负、正，在(0，)上的取值恒非正，结合各选项知，选A.4已知f(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)f(5x)，f(x)0.若x1x2，x1x25，则下列结论中正确的是()Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0B命题立意：本题主
3、要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维能力解题思路：依题意得，当x时，f(x)0，则函数f(x)在上是减函数当x1x2，x1x25时，x1，x2中至少有一个小于，则必有x1，若x2，则由x1x2得f(x1)f(x2)；若x2，则由x1x25得x15x2，此时有f(x1)f(5x2)f(x2)综上所述，f(x1)f(x2)故选B.5(2013江西南昌一中、十中月考)已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于()A0 B4 C2 D2B解题思路：本题考查导数知识的运用由题意f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即f(1)2， f(x)2x4， f(0)4.故选B.技巧点拨：解决本题的
4、关键是利用导数求出f(1)的值6已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x，且f(x)的图象过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1 B0 C1 D1B解题思路：可以求出f(x)x42x2c，其中c为常数由于f(x)过(0，5)，所以c5，又由f(x)0，得极值点为x0和x1.又x0时，f(x)5，故x的值为0.故选B.7已知函数f(x)x32ax23x(aR)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，则m的值为()A B C. D.A命题立意：本题主要考查导数的几何意义及切线方程的求法求解时，先对函数f(x)求导，令x1求出点P(1，m)处切线的
5、斜率，进而求出a的值，再根据点P在函数f(x)的图象上即可求出m的值解题思路： f(x)x32ax23x， f(x)2x24ax3， 过点P(1，m)的切线斜率为kf(1)14a.又点P(1，m)处的切线方程为3xyb0， 14a3， a1， f(x)x32x23x.又点P在函数f(x)的图象上， m.故选A.8已知函数yf(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x0时，f(x)xf(x)0(其中f(x)是f(x)的导函数)设a(4)f(4)，bf()，cf，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCabc DacbC思路点拨：令函数F(x)xf(x)，则函数F(x)xf(x)为偶函数当x
6、0时，F(x)f(x)xf(x)0，此时函数F(x)在(0，)上单调递增，则aF(4)F(log24)F(2)F(2)，bF()，cFF(lg 5)F(lg5)，因为0lg 51bc.故选C.9(2013武汉四月调研)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是()A. B.Ce De二、填空题10已知函数f(x)exaex，若f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_3，)命题立意：本题考查导数的运算及不等式恒成立一类问题的解答方法，正确地分离变量是解答本
7、题的关键，难度中等解题思路：据题意有f(x)exaex2，分离变量得a(2ex)ex(ex)23，由于(2ex)ex(ex)233，故若使不等式恒成立，只需a3即可11向平面区域(x，y)|0x，0y1内随机投入一点，则该点落在曲线y下方的概率等于_解题思路：如图，因为S1，S2()211，所以P.12(2013武汉4月调研)已知函数f(x)axsin x(aR)，若对x，f(x)的最大值为，则(1)a的值为_；(2)函数f(x)在(0，)内的零点个数为_(1)1(2)2命题立意：本题考查导数的应用以及函数零点，难度中等解题思路：利用导数确定函数单调性，再利用数形结合求零点个数(1)因为f(x
8、)a(sin xxcos x)，当a0时，f(x)在x上单调递减，最大值f(0)，不适合题意，所以a0，此时f(x)在x上单调递增，最大值fa，解得a1，符合题意，故a1.(2)f(x)xsin x在x(0，)上的零点个数即为函数ysin x，y的图象在x(0，)上的交点个数，又x时，sin 10，所以两图象在x(0，)内有2个交点，即f(x)xsin x在x(0，)上的零点个数是2.13已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积的，则a的值为_1解题思路：f(x)3x22axb，f(x)在原点处与x轴相切，f
9、(0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)阴影部分面积S阴影(x3ax2)dxa4，a1.B组一、选择题1(2013北京海淀第二学期考试)已知曲线f(x)ln x在点(x0，f(x0)处的切线经过点(0，1)，则x0的值为()A. B1 Ce D10B命题立意：本题主要考查导数的几何意义、直线的方程等基础知识，意在考查考生的基本运算能力解题思路：依题意得，题中的切线方程是yln x0(xx0)；又该切线经过点(0，1)，于是有1ln x0(x0)，由此得ln x00，x01.故选B.2(2013山东济南一模)设adx，bdx，cdx，则下列关系式成立的是()A. B
10、.C. D.C解析：adxln 2，bdxln 3，cdxln 5，ln 2ln，ln 3ln，ln 5ln，而，0，即bx(x2)在1，)上恒成立设yx(x2)，则yx22x(x1)21，因为x1，所以y1，所以要使bx(x2)在1，)上恒成立，则有b1.故选C.4(2013合肥质检二)已知adx，则9展开式中，关于x的一次项的系数为()A B. C D.A命题透析：本题主要考查定积分的计算以及二项式的通项公式解题思路：adxdxdx.此时二项式的展开式的通项为Tr1C9rrC9r(1)rx92r，令92r1，r4，所以关于x的一次项的系数为C94(1)4.故选A.5(2013名校联考优化卷
11、)如图是函数f(x)x2axb的部分图象，函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是(k，k1)(kZ)，则k的值为()A1或0 B0C1或1 D0或1C解题思路：由二次函数f(x)的图象及函数f(x)两个零点的位置可知其对称轴x，解得1a0，g(0)1a0，g(1)e2a0，函数g(x)的两个零点x1(1,0)和x2(1,2)，故k1或1.故选C.6(2013郑州质检二)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A1个 B2个 C3个 D4个B命题立意：本题主要考查函数的导数与极值间的关系，意在考查
12、考生的推理能力解题思路：依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值故选B.7若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3 B4 C5 D6A命题立意：本题考查导数运算、二次方程，意在通过问题的求解进一步强化分类讨论思想与数形结合思想解题时注意代数式的结构特点，数形结合通过探讨函数图象的交点个数来确定方程
13、的解解题思路：因为f(x)3x22axb,3(f(x)22af(x)b0且3x22axb0的两根分别为x1，x2，所以f(x)x1或f(x)x2.当x1是极大值点时，f(x1)x1，x2为极小值点，且x2x1，如图1所示可知方程f(x)x1有2个实根，f(x)x2有1个实根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3个不同实根；当x1是极小值点时，f(x1)x1，x2为极大值点，且x2x1，如图2可知方程f(x)x1有2个实根，f(x)x2有1个实根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3个不同实根综合以上可知方程3(f(x)22af(x)b0共有3个不同实根故选A.图1图28若曲线yx2
14、aln x(a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点坐标为()A(1,1) B(2,3)C(3,1) D(1,4)A命题立意：本题考查导数的几何意义和基本不等式等相关知识根据函数的导数取得的最小值可以求出a，以及取得最小值时的条件，这个条件就是所求的值运用导数知识解决相应的几何切线问题是新课标高考考查的热点，导数不仅在选择题、填空题中经常考查，在解答题中也常和函数的单调性、极值等问题一起出现解题思路：yx2aln x的定义域为(0，)，由导数的几何意义知y2x24，解得a2，等号成立的条件是x1，代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1,1)故选A.9如图是二次函数f
15、(x)x2bxa的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A.B.C(1,2)D(2,3)B解题思路：因为f(1)0，则ba1，又f(0)a，且0a1，所以1b2，又f(x)2xb，所以g(x)ln x2xb，又g(1)2b0，gln 1b1b0，所以函数g(x)的零点在区间上故选B.10(内蒙古包头一模)曲线yx2bxc在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为()A0,1 B.C. D.B命题立意：本题考查二次函数的图象、性质及导数几何意义的综合应用，难度中等解题思路：利用导数的几何意义和二次函数的性质直接求解由题意可得在
16、点P处的切线的斜率的取值范围是0,1，即02x0b1，该曲线的对称轴方程是x，所以点P到该曲线的对称轴距离.故选B.二、填空题11(2013云南第一次毕业班检测)已知f(x)x3mx23mx5在(1,4)上有两个极值点，则实数m的取值范围为_命题立意：本题主要考查函数的性质(零点与极值)、二次函数的图象与性质等基础知识，意在考查考生的运算能力解题思路：依题意，得f(x)3x22mx3m0在(1,4)上有两个不等的实根，于是有解得9m，即实数m的取值范围是.12(2013福建质检)如图所示，A1，A2，Am1(m2)将区间0,1m等分，直线x0，x1，y0和曲线yex所围成的区域为1，图中m个矩
17、形构成的阴影区域为2，在1中任取一点，则该点取自2的概率等于_命题立意：本题考查定积分的应用及几何概型的概率求解，确定m个矩形面积是解答本题的关键，难度中等解题思路：根据题意由定积分的几何意义可得S113(2013广东深圳第二次调研)由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是_22命题立意：本题考查定积分求解平面图形面积的应用，考查学生的计算能力，难度中等14(武汉模拟)关于函数f(x)2x(xR)有下列三个结论：f(x)的值域为R；f(x)是R上的增函数；f(x)的图象是中心对称图形其中所有正确命题的序号是_命题立意：本题考查指数函数的性质，难度
18、中等解题思路： 2x0， 当2x0时，f(x)，当2x时，f(x)，所以f(x)的值域为R，是正确的；由于g(x)2x在定义域内是增函数，所以f(x)2x(xR)在定义域内也是增函数，所以是正确的；由于f(x)2x2xf(x)，所以函数的图象关于原点对称，是正确的15(2013合肥质检二)若以曲线yf(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且ll1，则称曲线yf(x)具有“可平行性”下列曲线具有可平行性的编号为_(写出所有满足条件的函数的编号)yx3x yxysin x y(x2)2ln x命题意图：本题主要考查导数在函数中的应用，旨在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力解题思路：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1x)使得f(x1)f(x)对于，由f(x1)f(x)可得xx2，但当x0时不符合题意，故不具有“可平行性”；对于，由f(x1)f(x)可得，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1x，使得f(x1)f(x)；对于，由f(x1)f(x)可得cos x1cos x，x1x2k(kZ)，使得f(x1)f(x)；对于，由f(x1)f(x)可得2(x12)2(x2)，整理得x1x，但当x时不符合题意综上，答案为. 13