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1、2014高考数学（文）二轮专题复习与测试练习题：专题1 第6课时 高考中的函数与导数解答题(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1(2013山东聊城三模)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解析：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，k，则总费用f(x)(kx3400)a.f(x)a(0x100)由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0；当20x100时
2、，f(x)0.当x20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少2(2013北京昌平一模)已知函数f(x)x3ax24(aR)(1)若函数yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线的倾斜角为，求f(x)在1,1上的最小值；(2)若存在x0(0，)，使f(x0)0，求a的取值范围解析：(1)f(x)3x22ax.根据题意得，f(1)tan1，32a1，即a2.f(x)x32x24，则f(x)3x24x.令f(x)0，得x10，x2.x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)143当x1,1时，f(x)的最小值为f(0)4.(2)f(x)3x.若a0，则当x0时，f(x)0，
3、f(x)在(0，)上单调递减又f(0)4，则当x0时，f(x)4.当a0时，不存在x00，使f(x0)0.若a0，则当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.从而f(x)在上单调递增，在上单调递减当x(0，)时，f(x)maxf44.根据题意得，40，即a327.a3.综上可知，a的取值范围是(3，)3(2012浙江卷)已知aR，函数f(x)4x32axa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0x1时，f(x)|2a|0.解析：(1)由题意得f(x)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，f(x)12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调
4、递减区间为.(2)证明：由于0x1，故当a2时，f(x)|a2|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|a2|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226.于是x01g(x)0g(x)1减极小值增1所以g(x)ming10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|a2|4x34x20.4(2013山西高三上学期诊断考试)已知函数f(x)m(x1)22x3ln x，m1.(1)当m时，求函数f(x)在区间1,3上的极小值；(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间a，b；(3)是否存在实数m，使曲线C：yf(x)在点P(1,1
5、)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由解析：(1)f(x)m(x1)2(x0)当m时，f(x)，令f(x)0，得x12，x2.f (x)，f(x)在x(0，)上的变化情况如下表：x2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x2时，函数f(x)在x1,3上取到极小值，且极小值为f(2)ln 2.(2)证明：令f(x)0，得mx2(m2)x10.(*)因为 (m2)24mm240，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(ab)因为m1，所以，所以a0，b0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f(x)0的解为(a，b)故
6、函数f(x)存在单调递减区间a，b(3)因为f(1)1，所以曲线C：yf(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为yx2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x1)22x3ln xx2有且只有一个实根显然x1是该方程的一个根令g(x)m(x1)2x1ln x，则g(x)m(x1)1.当m1时，有g(x)0恒成立，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以x1是方程的唯一解，m1符合题意当m1时，由g(x)0，得x11，x2，则x2(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值所以g(x2)g(x1)0，又当x趋近0时，g(x)趋近，所以函数g(x)在内也有一个解，m1不符合题意综上，存在实数m1使得曲线C：yf(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点4