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1、提能专训(十五)直线与圆锥曲线的综合问题一、选择题1抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl.垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 C4 D8C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x1，抛物线的焦点坐标为(1,0)直线AF的方程y(x1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A坐标为(3,2)，|AK|314，点F到直线A
2、K的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF|AK|d4.故选C.2(2013哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y28x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.x21 B.y21C.1 D.1D解题思路：设双曲线C的方程为1(a0，b0)， 抛物线y28x的焦点为(2,0)，即F(2,0)， 4a2b2.又圆F：(x2)2y22与双曲线C的渐近线yx相切，由双曲线的对称性可，知圆心F到双曲线的渐近线的距离为， a2b22，故双曲线C的方程为1.故选D.3(2013太原市高三模拟一)已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和Sn，则双
3、曲线1的渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxC命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力解题思路：依题意得an，因此Sn1，n9，故双曲线方程是1，该双曲线的渐近线方程是y xx.故选C.4(2013郑州质检二)如图所示，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.1 B.1C. D.B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF
4、2，又AF2F130， |AF1|c，|AF2|c， 该双曲线的离心率e1.故选B.5如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A. B.C. D.D命题立意：本题主要考查椭圆方程、椭圆的简单几何性质、向量的计算等基础知识，考查基本运算能力解题思路：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，的夹角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c2ac，故210，即e2e10，e或e，又0e1， e1.故选D6(长春一次调研)设e1，e2分别为具有
5、公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|，则 的值为()A. B2 C. D1A解题思路：设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，不妨设mn.由|知，F1PF290，则m2n24c2， e1，e2，2， .故选A.二、填空题7(2013甘肃示范学校高三调研)若双曲线1渐近线上的一个动点P总在平面区域(xm)2y216内，则实数m的取值范围是_(，55，)命题立意：本题主要考查双曲线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转化思想，考查分析问题、解决问题的能力解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x3y0与圆相离或者相切，故实数m满足4，即m5或者
6、m5.8(2013辽宁大连高三双基测试)已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x1)2y2相切，且双曲线的右焦点为抛物线y24x的焦点，则该双曲线的标准方程为_y21命题立意：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程、几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等解题思路：由题意可知双曲线中c.设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为kxy0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2，即.又a2b2()2，则a24，b21，所以所求的标准方程为y21.9(2013山西晋中名校高三联考)已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1MF2，则点M到x轴的距离为_命题立意：本题主要考查双
7、曲线的几何性质，以及点到直线的距离，考查考生的运算求解能力解题思路：设M(x，y)，F1(3,0)，F2(3,0)，则由MF1MF2，得(x3)(x3)y20.又M在双曲线上，故可以解方程组得y2，故点M到x轴的距离为.三、解答题10(2013福建厦门质检)已知椭圆C：1(a)的右焦点F在圆D：(x2)2y21上，直线l：xmy3(m0)交椭圆于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若(O为坐标原点)，求m的值；(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解析：(1)由题设知，圆
8、D：(x2)2y21的圆心坐标是(2,0)，半径是1， 圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0) 在椭圆中c3或c1，又b23， a212或a24(舍去， a) 椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)直线l与椭圆C方程联立化简并整理得(m24)y26my30， y1y2，y1y2. x1x2m(y1y2)6，x1x2m2y1y23m(y1y2)99. ， 0，即x1x2y1y20，得0. m2，m.(3) M(x1，y1)，N1(x2，y2)， 直线N1M的方程为.令y0，则xx14； P(4,0)解法一：SPMN|FP|y1y2|12221.当且仅当m213，即m时等号
9、成立，故PMN的面积存在最大值1.(或SPMN22令t，则SPMN221.当且仅当t时等号成立，此时m22，故PMN的面积存在最大值1.)解法二：|MN|4，点P到直线l的距离是 . SPMN22.令t，SPMN221，当且仅当t时等号成立，此时m22，故PMN的面积存在最大值，其最大值为1.11P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解析：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线
10、1上，有1，由题意又有，可得a25b2，c2a2b2a2，则e.(2)联立得4x210cx35b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2，化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，得240，解出0，或4.12(2013沈阳市高三质检二)已知抛物线C：y2x，过点A(x0,0)作直线l交抛物线于点P，Q(
11、点P在第一象限)(1)当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|2时，求直线l的方程；(2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BPBQ.求证：点B的坐标是(x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围解析：(1)由抛物线C：y2x，得抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为xny，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得y2ny0.所以n210，y1y2n.因为x1ny1，x2ny2，所以|PQ|x1x2x1x2n(y1y2)12.所以n21，即n1.所以直线l的方程为xy0或xy0.即4x4y10或4x4y10.(2)证明：设l：xmyx0(m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2
12、)，则M(x2，y2)由消去x，得y2myx00，因为x0，所以m24x00，y1y2m，y1y2x0.证法一：设B(xB,0)，则(x2xB，y2)，(x1xB，y1)由题意知， x2y1y1xBx1y2xBy2，即(y1y2)xBx1y2x2y1yy2yy1(y1y2)y1y2.显然y1y2m0， xBy1y2x0， B(x0,0)由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB1，即1，也即1， y1y21， (y1y2)24y1y21，即m24x01， m214x00， x0. x0， x0.d. d的取值范围是.证法二：因为直线l：yy1(xx1)，所以令y0，则xx1x1x1yy1y2x
13、0， B(x0,0)由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB1，即1， y1y21， (y1y2)24y1y21，即m24x01， m214x0. x0， 0m2. d. d的取值范围是.13(2013太原市高三模拟考试二)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点(1)求实数m的取值范围；(2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形解析：(1)设椭圆方程为1(ab0)，由题意得 椭圆方程为1.由题意可得直线l的方程为yxm(m0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B的坐标是方程组的两组解消去y得x22mx2m240. 4m24(2m24)0， 2m2.又 m0， 实数m的取值范围为(2,0)(0,2)(2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k20即可，由(1)得x22mx2m240， x1x22m，x1x22m24， k1k20， 直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形 10