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1、导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”2.考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.导数的概念及运算考试要求1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx ，yx2，yx3，y，y的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的
2、概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)函数f(x)的导函数f(x)：f(x) .提醒：函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)关于时间的导数(2
3、)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f(x0)的切线，是唯一的一条切线(3)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条3基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(
4、x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2熟记以下结论：(1)；(2)(f(x)0)；(3)af(x)bg(x)af(x)bg(x)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数f(x)sin(x)的导
5、数是f(x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1(多选)下列各式正确的是()AcosB(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)5x6CD对于A，0，故A错误；对于B，(cos x)sin x，故B错误；对于C，(sin x)cos x，故C正确；对于D，(x5)5x6，故D正确2曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3 C9D15C因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1,12)处的切线方程为y123(x1)令x0，得y9.故选C.3.已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导
6、函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)C由导数的几何意义知，0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选C.4在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_m/s，加速度a_m/s2.9.8t6.59.8vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.5若yln(2x5)，则y_.令v2x5，则y. 考点一导数的计算 已知函数解析式求函数的导数典例11求下列各函数的导数：(1)yx；(2)ytan x
7、；(3)y2sin21；(4)yln.解(1)先变形：yx，再求导：y(x)x.(2)先变形：y，再求导：y.(3)先变形：ycos x，再求导：y(cos x)(sin x)sin x.(4)先变形：yln(2x1)ln(2x1)，再求导：yln(2x1)ln(2x1)(2x1)(2x1).点评：(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误抽象函数求导典例12已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.4f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2，f(
8、0)2f(1)2(2)4.点评：赋值法是求解此类问题的关键，求解时先令f(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f(x)，最后分别令x1，x0代入f(x)求解即可1(2020全国卷)设函数f(x)，若f(1)，则a_.1由于f(x)，故f(1)，解得a1.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).3求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsin cos ；(4)y.解(1)y(x2)sin xx2(sin
9、x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)yxsin cos xsin x，y1cos x.(4)令u2x1，yu，yu (u). 考点二导数的几何意义 求曲线的切线方程切线方程的求法(1)已知切点A(x0，f(x0)求切线方程，可先求该点处的导数值f(x0)，再根据yf(x0)f(x0)(xx0)求解(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可典例21(1)(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(
10、x)相切，则直线l的方程为_(1)B(2)xy10(1)法一：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，又f(1)121，所求的切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选B.法二：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，切线的斜率为2，排除C，D.又f(1)121，切线过点(1，1)，排除A.故选B.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.求切点坐标求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让
11、导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标典例22(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_(e,1)设A(x0，y0)，由y，得k，所以在点A处的切线方程为yln x0(xx0)因为切线经过点(e，1)，所以1ln x0(ex0)，所以ln x0，解得x0e，y01，即A(e,1)点评：切点既在曲线上，也在切线上，这是解题的切入点求参数的值(范围)1利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者
12、参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围2求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围(2)谨记切点既在切线上又在曲线上典例23(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1Dae1，b1(2)已知函数f(x)exmx1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，则实数m的取值范围是()Am2Bm2 CmDm(1)D(2)A(1)yaexln x1，y|x1ae1，2ae1，ae1.切点为(1,1)，将(1,1)代入y2xb，得12b，b1，故选D.(2)f(x
13、)exm，由题意知方程f(x)2有解即mex2有解，由ex22得m2，故选A.两曲线的公切线问题解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)是设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2).典例24(1)已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_(2)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yex的切线，则b_.(1)e(2)0或1(1)由f(x)x3ax，得f(x)3x2a.f(0)a，f(0)，曲线yf(x)在x0处的切
14、线方程为yax.设直线yax与曲线g(x)ln x相切于点(x0，ln x0)，g(x)，将代入得ln x0，x0e，ae.(2)设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)，yln x2的导数为y，yex的导数为yex，可得kex2.又由k，消去x2，可得(1ln x1)(x11)0，则x1或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为或(1,2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0,1)，所以ke或k1，则切线方程为yex或yx1，可得b0或1.点评：求解过程中，关键在消元1曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐
15、标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)或(1,3)D(1，3)Cf(x)3x21，令f(x)2，得3x212，解得x1，当x1时，y3，当x1时，y3，P(1,3)或P(1,3)，经检验，点P(1,3)和P(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.2若直线y12xm与曲线yx32相切，则m_.14或18设切点坐标为(x0，y0)，由yx32得y3x2，y| xx03x，由题意知3x12，解得x02，当x02时，y06，当x02时，y010，即切点坐标为(2,6)或(2，10)，当切点坐标为(2,6)时，由624m得m18，当切点坐标为(2，10)时，由1024m得m14.3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.2f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.10