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1、第2课时 利用导数研究函数的极值与最值授课提示：对应学生用书第291页A组基础保分练1函数y在0，2上的最大值是()A.B.C0 D.解析：易知y，x0，2，令y0，得0x1，令y0，得1x2，所以函数y在0，1上单调递增，在(1，2上单调递减，所以y在0，2上的最大值是.答案：A2(2021沈阳模拟)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：由f(x)xex1，可得f(x)(x1)ex，令f(x)0可得x1，即函数f(x)在(1，)上是增函数；令f(x)0可得x1，即函数f(x)在(，1)上是减
2、函数，所以x1为f(x)的极小值点答案：D3(2021肇庆模拟)已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex的极小值点，则实数a的取值范围是()A(1，) B.(1，)C(，1) D(，1)解析：依题意f(x)(xa)(x1)ex，它的两个零点分别为x1，xa，若x1是函数f(x)的极小值点，则需a1，此时函数f(x)在(a，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，在x1处取得极小值答案：D4.若函数f(x)的图像如图所示，则m的取值范围为()A(，1)B(1，2)C(0，2)D(1，2)解析：f(x)，由函数图像的单调性及有两个极值点可知m20且m0，故0m2.又由题图易得1，即m1.故1m2.
3、答案：D5已知不等式xsin xcos xa对任意的x0，恒成立，则整数a的最小值为()A2 B.1C0 D1解析：令f(x)xsin xcos x，则f(x)sin xxcos xsin xxcos x，令f(x)0，则在(0，)上x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，又f(0)1，f，f()1，所以当x时，f(x)取得最大值，即f(x)maxf，所以a，即整数a的最小值为2.答案：A6已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_解析：f(x)3x22ax3.由题意知，x3是方程f(x)0的根，所以3(3)22a(3
4、)30，解得a5.经检验，当a5时，f(x)在x3处取得极值答案：57.函数f(x)x3bx2cxd的大致图像如图所示，则xx_解析：函数f(x)的图像过原点，所以d0.又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x)x3x22x，所以f(x)3x22x2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2.答案：8已知函数f(x)sin xx2，若f(x)在上有唯一极大值点，求实数a的取值范围解析：由已知得f(x)cos xax，当a0时，f(x)0，f(x)在上单调递增，此时f(
5、x)在上不存在极值点；当a0时，f(x)sin xa0，f(x)在上单调递减，又f(0)10，fa0，故存在唯一x0使得x(0，x0)时，f(x)0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减此时，x0是函数f(x)的唯一极大值点，综上可得，实数a的取值范围是(0，)9已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)令g(x)f(x)(ax1)，求函数g(x)的极值解析：(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)，又f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(
6、2)g(x)f(x)(ax1)ln xax2(1a)x1，则g(x)ax(1a)，当a0时，因为x0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0.因为g(x)在上是增函数，在上是减函数所以x时，g(x)有极大值gln(1a)1ln a.综上，当a0时，函数g(x)无极值；当a0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值B组能力提升练1. (2021太原模拟)函数yf(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是()A(1，3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3，5)为函数yf(x)的
7、单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值解析：由函数yf(x)的导函数的图像可知，当x1或3x5时，f(x)0，yf(x)单调递减；当x5或1x3时，f(x)0，yf(x)单调递增，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，)，函数yf(x)在x1，5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误答案：C2函数f(x)2x39x22在4，2上的最大值和最小值分别是()A25，2 B.50，14C50，2 D50，14解析：因为f(x)2x39x22，所以f(x)6x218x，当x4，3)或x(0，2时，f(x
8、)0，f(x)为增函数，当x(3，0)时，f(x)0，f(x)为减函数，由f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函数f(x)2x39x22在4，2上的最大值和最小值分别是50，2.答案：C3若函数f(x)x33x在(a，6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B.，1)C2，1) D(2，1)解析：由f(x)3x230，得x1，且x1为函数的极大值点，x1为函数的极小值点若函数f(x)在区间(a，6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足得解得2a1.答案：C4函数f(x)x2ex在区间(
9、a，a1)上存在极值点，则实数a的取值范围是()A(3，1)(0，2) B.(3，2)(1，0)C(2，1)(0，3) D(3，2)(0，1)解析：函数f(x)x2ex的导数为f(x)2xexx2exxex(x2)，令f(x)0，则x0或x2.当x(2，0)时，f(x)单调递减，当x(，2)和x(0，)时，f(x)单调递增，所以0和2是函数的极值点因为函数f(x)x2ex在区间(a，a1)上存在极值点，所以a2a1或a0a13a2或1a0.答案：B5若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则a_，f(x)的极小值为_解析：因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1
10、(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x2或x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(1)1.答案：116若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_解析：因为f(x)的定义域为(0，)，又f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意有解得1k.答案：
11、7设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解析：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范
12、围是.8(2021广州模拟)已知函数f(x)(x2)ln xax24x7a.(1)若a，求函数f(x)的所有零点；(2)若a，证明函数f(x)不存在极值解析：(1)当a时，f(x)(x2)ln xx24x，函数f(x)的定义域为(0，)，则f(x)ln xx3.设g(x)ln xx3，则g(x)1.当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x0时，g(x)g(1)0(当且仅当x1时取等号)，即当x0时，f(x)0(当且仅当x1时取等号)所以函数f(x)在(0，)上单调递增，至多有一个零点因为f(1)0，所以x1是函数f(x
13、)唯一的零点所以函数f(x)的零点只有x1.(2)证明：法一：f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln x2ax4.当a时，f(x)ln xx3，由(1)知ln xx30.即当x0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增所以f(x)不存在极值法二：f(x)(x2)ln xax24x7a，函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln x2ax4，设m(x)ln x2ax4，则m(x)2a(x0)设h(x)2ax2x2(x0)，当a时，令h(x)2ax2x20，解得x10，x20.可知当0xx2时，h(x)0，即m(x)0，当xx2时，h(x
14、)0，即m(x)0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增由(1)知ln xx30，则f(x2)ln x2x23(2a1)x2(2a1)x20.所以f(x)f(x2)0，即f(x)在定义域上单调递增所以f(x)不存在极值C组创新应用练某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何
15、值时该蓄水池的体积最大解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，h0，所以r5，故函数V(r)的定义域为(0，5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(舍去)当r(0，5)时，V(r)0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大