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1、,4.2直线、圆的位置关系4.2.2直线与圆的方程的应用,情境导学直线与圆的方程的应用非常广泛,对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题,我们可以建立直角坐标系,通过直线与圆的方程,将其转化为代数问题来解决.本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.,探究点一直线与圆的方程的应用例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB20m,拱高OP4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).,解建立如图所示的直角坐标系,使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2(yb)2r2.下
2、面确定b和r的值.因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2(yb)2r2.,于是,解得b10.5,r214.52.,所以,圆的方程是x2(y10.5)214.52.把点P2的横坐标x2代入圆的方程,得(2)2(y10.5)214.52,答支柱A2P2的高度约为3.86m.,反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤为：(1)审题：从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.,跟踪训练1某圆拱桥的水面跨度20m,拱
3、高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系.依题意,有A(10,0),B(10,0),P(0,4),D(5,0),E(5,0).设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2,解此方程组,得a0,b10.5,r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4).,把点D的横坐标x5代入上式,得y3.1.由于船在水面以上高3m,33.1,所以该船可以从桥下通过.,探究点二坐标法证明几何问题例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明如图,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,DB
4、所在直线分别为x轴,y轴,建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).,反思与感悟用坐标方法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.,探究点三直线与圆位置关系的应用例3一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处,受影响的范围是半径长为20km的圆形区域.已知港口位于,台风中心正北30km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？,作业讲评：P157,练习1.在圆x2y22x6y0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(),2.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是_.,3.已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为_.,