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1、. . . . . 1 / 4 高一数学竞赛辅导材料空间角和距离市番禺区教育局教研室严运华一方法指要1. 二面角的求法 : (1) 定义法: 作出二面角的平面角 . 常用作法有 : 三垂线定理法 , 辅助垂面法 ,平移法等 . (2) 面积射影定理 : 设平面面积为 S 的某一平面图形在另一平面的射影的面积为S那么平面与平面夹角满足SScos(3) 异面直线上两点间距离公式法:cos2222mnnmdEF, 其中FE,分别为二面角两个?忽? EMBED Equation.3 FE,到棱的距离分别为nm,d是FE,在棱上射影间的距离 ,是二面角的度数2. 异面直线距离的求法(1) 定义法: 作出
2、异面直线的公垂线段(2) 线面平行法 : 异面直线 a,b, 假设 a 平行于 b 所在的平面, 那么 a 与距离就是 a 与 b 的距离(3) 线面垂直法 : 异面直线 a,b, 假设 a 垂直与 b 所在平面, 那么垂足到直线的距离就是 a 与 b 的距离 . (4) 体积法 : 把异面直线的距离转化为求某类几何体的高, 借助与体积相等来建立方程来求高 . (5) 最值法: 根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小值, 利用求极值的方法 . (6) 异面直线上两点间距离公式法cos2222mnnmdEF3. 空间点到平面 ( 线面距离 , 面面距离 ) 的距离的求法 : (1
3、) 直接过点作平面的垂线 (2) 体积法注: 无论是求角还是求距离 , 其方法大致可以分为两类: 一类是直接法 , 即作出所求的角和距离 ; 另一类是转化法 . 二 题型示例1. 选择题(1) 如图正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB上,F 在棱 CD上使得)0(FDCFEBAE, 记)(f, 其中表示 EF与 AC所成的角表示 EF与 BD所成的角 , 那么(A)(f在),0(单调增加 (B)(f在),0(单调减少(C)(f在) 1 ,0(单调增加)(f在),1(单调减少(D)(f在),0(为一常数 . A B C D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - . . . . . 2 / 4 (2) 三棱锥 V-ABC,AH 侧面 VBC,且 H是VBC的垂心 , 二面角 H-AB C 平面角为 300, 那么 VC与平面 ABC所成的角为 ( ) (A)300 (B)600 (C)450 (D)900(3) 在正方体的 12 条面对角线所在的直线中存在异面直线, 如果其中两条异面直线间的距离为1, 那么, 这个正方体棱长可能的的值的集合是 (A)1 (B)3 (C)3,1 (D)2, 12. 填空
5、题(1) 一平面与一正方体1111DCBAABCD的 12 条棱的夹角都等于, 那么sin异面直线11DB与CA1的距离为(2) 将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所有二面角都相等的六面体 , 并且设六面体的最短棱长2, 那么最远两个顶点距离为(3) 在棱长3 的正方体1111DCBAABCD中,E为棱1AA 上, 且11EA,F为截面BDA1一动点, 那么EFAF的最小值为(4) 三棱锥 P-ABC中,PA底面 ABC, AB=AC=BC=PA=a, AH平面 PBC于 H,那么二面角 B-PC-A的正弦为3. 解答题(1) 在 正 方 体1111DCBAABCD中 ,E为B
6、C的 中 点 ,F在1AA 上 , 且2:1:1FAFA, 求平面EFB1与底面1111DCBA所成的二面角 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - . . . . . 3 / 4 (2). 设ml,是两条异面直线 , 在l上有三点CBA,且BCAB过CBA,分别作 m的垂线AD,BE CF, 垂足分别为FED,15AD27BE10CF, 求l与m 的距离(3) 正四棱锥 V-ABC底面边长为 2, 侧棱长为 3,
7、过底面 AB的截面交侧棱 VC于 P,(1) 假设 P为 VC中点, 求截面面积 (2) 求截面 PAB面积的最小值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - . . . . . 4 / 4 (4) (5) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -