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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 届高三数学专题复习不等式一、重点学问回忆1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础不等式的基本性质有：（1） 对称性： ab bb, bc,就 ac；（3） 可加性： ab a+cb+c；（4） 可乘性： ab,当 c0 时, acbc；当 c0 时, acb,cd,就 a+cb+d；a2+b2 2|ab|；或变形为 |ab|a22b2；（2） 异向相减：ab,cdacbd. （3） 正数同向相乘：如ab0, cd0,就 acbd；（4）乘方法就：如ab0,nN +,就anbn；（5）开方法就：如ab0,nN +,就nanb；（6
2、）倒数法就：如ab0, ab,就11；ab2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质,可得a2+b2 2ab（a, b R）,该不等式可推广为当 a, b0 时, a+b2ab或 aba2b2. 3、不等式的证明（1） 不等式证明的常用方法：比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法；（2） 在不等式证明过程中,应留意与不等式的运算性质联合使用；（3） 证明不等式的过程中,放大或缩小应适度；4、 不等式的解法解不等式是查找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等；一元二次不等式（组）是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基此题型；一元二次不等式与相
3、应的函数,方程的联系求一般的一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集, 要结合ax2bxc0的根及二次函数y2 axbxc 图象确定解集对于一元二次方程2 axbxc0a0,设b24,a它c 的解按照0,0可分为三种情形 相应地,二次函数yax2bxc a0的图象与 x 轴的位置关系也分为三种情形因此,我们分 三 种 情 况 讨 论 对 应 的 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0的解集,列表如下：含参数的不等式应适当分类争论；名师归纳总结 5、不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域,值域,争论函数单调性等；在解决问题过程中,应当善于发觉详细问题背景下的不第 1 页,共
4、29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等式模型；用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一；争论不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等；6、线性规划问题的解题方法和步骤解决简洁线性规划问题的方法是图解法,即借助直线 （线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域 （可行域） 有交点时,直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解；它的步骤如下：（ 1）设出未知数,确定目标函数；（ 2）确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域；（ 3）由目标函数z ax by 变形为 yaxz ,所以, 求
5、 z 的最值可看成是求直线 byaxz 在 y 轴上截距的最值 （其中 a、bbbb 是常数, z 随 x, y 的变化而变化） ；（ 4）作平行线：将直线ax by 0 平移（即作ax by 0 的平行线）,使直线与可行域有交点,且观看在可行域中使z 最大（或最 b小）时所经过的点,求出该点的坐标；（ 5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数,从而求出z 的最大（或最小）值；7、确定值不等式（ 1） x a（ a0）的解集为： x a xa ；x a（a 0）的解集为： x x a 或 x a；（2）|a|b|ab|a|b|二、考点剖析考点一 ：不等关系与不等式【内容解读 】养成推理
6、必有依据的良好习惯,不要想当然,不要错漏不等式性质使用的条件,如ab0,nNanbn中,留意后面大于的条件,出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来困惑考生【命题规律 】高考中,对本节内容的考查,主要放在不等式的性质上,题型多为挑选题或填空题,属简洁题；例 、设a,bR,如ab30,就以下不等式中正确选项（D. a）b20A ba0B. 2a3b0C. ba0解 ：由ab0知 , abb,所以ba0,应选 C. 点评 ：此题考查确定值的概念和确定值的性质,假如用特殊值法也能求解；A、例 2、已知a b为非零实数,且ab,就以下命题成立的是 a,b 没有说明符号,留意不要错用性质；a2b2B、2
7、 a bab2C、121D、b aaab2 a bb解 ：取 a 3, b,由（） （）（）都错,故（C）；点评 ：特殊值法是解挑选题的一种技巧,在应试时要时刻牢记有这么一种方法；这里【命题规律】高考中,对本节内容的考查,主要放在不等式的性质上,题型多为挑选题或填空题,属简洁题；例 3、2022 广东 设a,bbR,如ab0,就以下不等式中正确选项（0）Aba0B. a3b30C. ba0D. a2b2解：由ab0知, ab,所以ba0,应选 C. 点评：此题考查确定值的概念和确定值的性质,假如用特殊值法也能求解；例 4、2007 上海理科 已知a b 为非零实数,且 ab ,就以下命题成立的
8、是 第 2 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11baA、a2b2B、2 a bab2C、ab22 a bD、ab解：取 a 3,b,由（） （）（）都错,故（C）；点评：特殊值法是解挑选题的一种技巧,在应试时要时刻牢记有这么一种方法；这晨 考点二 ：一元二次不等式及其解法a,b 没有说明符号,留意不要错用性质；【内容解读 】会从实际情形中抽象出一元二次不等式的模型,明白一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式,会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式,分类解不等式；对解含参的不等式,对参数进行争论；
9、留意数形结合,会通过函数图象来解不等式（1）用图象法解一元二次不等式教材中在争论一元二次不等式的解法时,是结合二次函数的图象,利用对应的一元二次方程的解得出的,所以我们学习一元二次不等式的解法时,应从二次函数图象动身加以懂得（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系二次函数 y ax 2bx c a 0 是争论自变量 x 与函数值 y 之间的对应关系,一元二次方程的解就是自变量为何值时,函数值 y 0 的这一情形；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中,何时函数值 y 0（y0）或 y 0（y0）的情形一元二次方程2 2ax bx c 0 a 0 的解对争论二次函数 y
10、ax bx c a 0 的函数值的变化是非常重要的,由于方程的两根 x 1,x 2 是函数值由正变负或由负变为正的分界点,也是不等式解的区间的端点学习过程中,只有搞清三者之间的联系,才能正确熟识与懂得一元二次不等式的解法【 命题规律 】高考命题中,对一元二次不等式解法的考查,如以挑选题、填空题显现,就会对不等式直接求解,或常常地与集合、充要条件相结合,难度不大；如以解答题显现,一般会与参数有关,或对参数分类争论,或求参数范畴,难度以中档题为主；例 5、不等式 x 2x 的解集是（）A ,0 B 0 1 C 1, D ,0 1,解 ：原不等式可化为 x2 x,即 x（x）,所以 x或 x,选（）
11、 点评 ：这是一道很简洁的一元二次不等式的试题,只要知道它的解法即可例 6、“x 2” 是“x 2x 6 0” 的什么条件 （）A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要解 ：由 |x 2,得： 2x2,由 x 2x 6 0 得： 2 x3,2 x 2 成立,就 2x3 肯定成立,反之就不肯定成立,所以,选（）；点评 ：此题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题,先解出不等式的解集来,再由充分必要条件的判定方法可得；2 x例 7、不等式2x 22x421的解集为2解 ：原不等式变为x 22x421,由指数函数的增减性,得：2x41x3x10x 3,1,所以填： 3,1 ；点评
12、：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是常常考查的内容,应加强训练；例 8、已知集合A2 x x5x40,B2 x x2 axa20,如 BA ,求实数 a 的取值范畴第 3 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：Ax x25x40x|1 4设f x x22axa2,它的图象是一条开口向上的抛物线,解得2a18综上 a 的取值范畴是1,187（1）如 B,满意条件,此时0 ,即4 a24a20,解得1a2；（2）如 B,设抛物线与 x 轴交点的横坐标为x 1,x 2,且x 1x2,欲使 BA ,应
13、有x x 1xx2x | x4结合二次函数的图象,得f10,即 4,12 aa20,f40,428 aa20,2 a11 4,724a24a20,0,点评 ：此题是一元二次不等式与集合结合的综合题,考查含参数一元二次不等式的解法,留意分类争论思想的应用,分类时做到不遗漏；【命题规律】高考命题中,对一元二次不等式解法的考查,如以挑选题、填空题显现,就会对不等式直接求解,或常常地与集合、充要条件相结合,难度不大；如以解答题显现,一般会与参数有关,或对参数分类争论,或求参数范畴,难度以中档题为主；例 9. 设 fx 1logx3,gx 2log x2,其中 x0, x 1比较 fx 与 gx 的大小
14、 .解： 1x2y2x yx2 y2xy 2a abb abb a变式训练 1： 不等式 log 2x+3x 21 的解集是 _.答案： x|3 x 3 且 x1,x 0；231 ,x3, 11,00,3；解析 ：2 0x31x3或02xx222 x2x32例 2. 设 fx 1 logx3, gx 2log x2,其中 x0,x 1比较 fx 与 gx 的大小 .解： 当 0x 1 或 x4 时, fx gx ；当 1x34 时, fx gx；当 x34 时, fx gx. 3.变式训练 2： 如不等式 1na21n 1对于任意正整数n 恒成立,就实数a 的取值范畴是n例 3. 函数fx a
15、x2bx 满意： 1f12,2f 1 4,求f2的取值范畴解：由 f x ax2 bx 得f 1 ab,f 1 a b,f 2 4a2b ； a1 f 1 f1 ； b21 f 1 f 1 2就 f22f 1 f 1 f 1 f 13f 1 f 1由条件 1f12, 2f 14 可得 3 1 23f1 f1 3 24；得 f 2的取值范畴是 5f 210.变式训练 3：如 1 3, 4 2,就 |的取值范畴是 . 解：3, 3例 4. 已知函数 f x x2axb,当 p、q 满意 pq 1 时,试证明：pf x qf yf pxqy对于任意实数 x、y 都成立的充要条件是 op1.证明 ：
16、pf x qf y f px qy pqx y2p1 px y2充分性：当0p1时,p1pxy2020,从而p1p0,即 0 p1综上所述,原命题成立从而pfxqfyfpxqy必要性：当pfxqfyfpxqy时,就有p1pxy20,又xyx 1、 x2第 4 页,共 29 页变式训练 4： 已知 a bc, abc 0,方程 ax2bxc 0 的两个实数根为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1证明：1 2b 1；a2如 x1x 1x2x 2 2 1,求 x 2 1 x1x2 x 2 2；1b21 2b1b2b,03求| x1x 2 2|解
17、： 1 a bc, ab c 0, 3a ab c,a b a b, a0, 1b aaa2（方法 1） abc 0 ax2 bx c0 有一根为1,不妨设 x11,就由2 x 1x 1x2x2 21可得1,x2 x21,0而x2x1 x2c0 3cabc0 , x2 1,2 x 1x 1x2x232bb a1aab方法 2x1x2b,x1x2c由x2 1x 1x2x2 2x 1x22x 1x22 bcb2aaa2aa2aa2a2a1b,1b0 ,2 x 1x1x2x22 x 1x 1x22 x 22x 1x212x1 x212ab 32aa2a3由2知,2 x 1x21c21 aab 2b1
18、211b12,1b1243b12132 x 1x2 20 ,32a22a2a4a4a归纳小结1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据,必需要正确、娴熟地把握,要弄清每一性质的条件和结论留意条件 的放宽和加强,条件和结论之间的相互联系2使用 “作差 ” 比较,其变形之一是将差式因式分解,然后依据各个因式的符号判定差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和,然后判定差式的符号3关于数 式 比较大小,应当将“ 相等 ”与 “ 不等 ”分开加以说明,不要笼统地写成“ A B 或 B A ”考点三 ：简洁的线性规划【命题规律 】线性规划问题时多以挑选、填空题的形式显现,题型以
19、简洁题、中档题为主,考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深化,近年来,以解答题的形式来考查的试题也时有显现,考查同学解决实际问题的才能；例 7、如 A 为不等式组x01 时,动直线 xya扫过 A 中的那部分区域的y0表示的平面区域,就当a从 2 连续变化到面积为 yx2A3 4B 1 C7 4D5 解 ：如图知区域的面积是OAB 去掉一个小直角三角形；（阴影部分面积比1 大,比SOAB1222小 ,应选 C,不需要算出来）2点评 ：给出不等式组,画出平面区域,求平面区域的面积的问题是常常考查的试题之一,假如区域是不规节图形,将它分割成规节图形分别求它的面积即可；2xy40 ,就 z=
20、3x+2y 的最大值是 第 5 页,共 29 页例 8、如变量 x,y 满意x x2y50 ,0y0 ,A 90 B. 80 C. 70 D. 40 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 :做出可行域如下列图.目标函数化为： y3xz,令 z,画 y3x,及其平行线,如右图,当它经过两直线的交点时,222取得取大值；2 x y 40 x 10解方程组 ,得 .所以 z max 3 10 2 20 70 ,故答 C. x 2 y 50 y 20点评 ：求最优解,画出可行域,将目标函数化为斜截式,再令 z,画它的平行线,看 y 轴上的截距的最
21、值,就是最优解；例 9、本公司方案 2022 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 /分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2万元问该公司如何安排在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元？xy300,90000,解 ：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得500x200yx ,0y0.y 目标函数为z3000x2000y 500 xy300,
22、400 二元一次不等式组等价于5x2y900,300 x , 0 y0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域如图：l 200 M 作直线l:3000x2000y0,即 3x2y0100 平移直线 l ,从图中可知,当直线l 过 M 点时,目标函数取得最大值联立xy300,解得x100,y200点 M 的坐标为 100 2000 100 200 300 x 5 x2y900.z max3000 x2000y700000（元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告,在乙电视台做200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70 万元点评 ：用线性规划的方法解决实际问题能提高同学分析问题、解
23、决问题的才能,随着课改的深化,这类试题应当是高考的热点题型之考点四：基本不等关系【内容解读】明白基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简洁的最值问题,懂得用综合法、分析法、比较法证明不等式；利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当a,b都为正数,且ab为定值时,有ab2ab（定值）,当且仅当ab 时,等号成立,此时ab 有最小值；（2）当a,b都为正数,且ab 为定值时,有abab2（定值）,当且仅当ab 时,等号成立,此时ab 有最大值4创设基本不等式使用的条件,合理拆分项或配凑因式是常常用的解题技巧,而拆与凑的过程中,一要考虑定理使用的条件（两数都为正）二要考虑必需使和或积为
24、定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当 设计为一个难点a=b 时,等号成立） ,它具有肯定的敏捷性和变形技巧,高考中常被【命题规律】 高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法,单纯不等式的命题,主要显现在挑选题或填空题,一般难度不太大；例 10、（上海理）已知x,yR+,且x4y1,就xy 的最大值是解：xy1x4y1x4y21,当且仅当x=4y=1442162 时取等号 . 第 6 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、（2022 浙江） 已知a,0b0 ,且ab2 ,就（）aba10,b0B ab1,4Ca
25、2b22b2D a2b23,a2b22；22A解：由,且ab2 a2 b a22 ab2 a22 b点评：本小题主要考查不等式的重要不等式学问的运用；例 2、 2022 江苏 已知x y zR,x2y3z0y2xz63,当且仅当x3 z时取“ ” ,就xz 的最小值解：由x2y3z0得yx3z,代入y2x2xz92 z6xz62xz 得4xz4xz点评：本小题考查二元基本不等式的运用题目有有三个未知数,通过已知代数式,对所求式子消去一个未知数,用基本不等式求解；例 13 设 a、bR,试比较a2b,ab ,a22b2,121的大小解： a、bR+,1121ab；即121 ab ,当且仅当a b
26、 时等号成立又a2b2a2b22 aba2b24a2b2abab4aba 22b 2a2ba22b2；当且仅当 a b 时等号成立而ab a2b于是121 ab a2b2 a22 b当且仅当 a b 时取 “” 号 ab、2 a2b2分别叫做正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数也可取特殊值,得说明：题中的121、ab 、a2bab出它们的大小关系,然后再证明练习 1：（ 1）设a,bR,已知命题p ab；命题q:a2b22 a2b2,就 p 是 q 成p ,第 7 页,共 29 页立的（）A必要不充分条件B充分不必要条件bcac,就（）C充分必要条件D既不充分也不必要条件解 ：
27、B.解析：ab 是a2b2a222 b等号成立的条件. （2）如a b c为 ABC 的三条边,且S2 a2 bc2,pabAS2pBpS2pC SpDpS2p解： D解析：Sp2 ab2c2 abbcac 1ab2 bc2 a2 c 0,S2又|ab|c ,|bc|a ,|ac|b,a22abb2c2,b22 bcc2a2,a22acc2b22 ab22 c2 abbcac ,S2p ；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）设 x 0, y 0,a1xxyy, b1xx1yy, a 与 b 的大小关系（）Aa b B a 0）就盐水就
28、变咸了,试依据这一事实提炼一个不等式解：aam解析 :由盐的浓度变大得bbm2. 已知 a, b,x,yR +（ a, b 为常数）,ab1,求 x y 的最小值 . xy解：ab2ab变式训练 2：已知 a, b,x,yR+（a,b 为常数）,a b10,ab1,如 x y 的最小值为18,求 a, b 的值xy解 ：a2,或8,a8,2 .bb例 3. 已知 a, b 都是正数,并且a b,求证： a5 + b 5 a 2b3 + a 3b 2解 ：证： a5 + b 5 a 2b3 + a 3b 2 = a5 a3b2 + b5 a 2b 3 = a 3 a 2 b 2 b3 a 2 b
29、2 = a2 b2 a 3 b3= a + ba b2aa, b 都是正数, a + b, a2 + ab + b2 0；又 a b, a b 2 0 a + ba b2a2 + ab + b2 0 即： a5 + b5 a2b 3 + a 3b 2变式训练 3： 比较以下两个数的大小：（1）221 与263；（2）3 与5（3）从以上两小项的结论中,你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）2 1 2 3 ,（ 2）2 3 6 5（3）一般结论：如 n N 就 n 1 n n 3 n 2 成立证明 欲证 n 1 n n 3 n 2 成立；只需证 1 1n 1 n n 3 n 2也就是 n 1
30、 n n 3 n 2（）n N n 1 n 3 , n n 2；从而（ * ）成立,故 n 1 n n 3 n 2 n N 例 4. 甲、乙两地相距 S（千米）,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度最大不得超过 c（千米 /小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度 v（千米 /小时）的平方成正比,且比例系数为正常数 b；固定部分为 a元1 试将全程运输成本 Y 元 表示成速度 V 千米 /小时 的函数 . 2 为使全程运输成本最省,汽车应以多大速度行驶？解 : 1 依题意得,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s ,全程运输成本为 vy as bv2vs s va b
31、v,故所求函数及其定义域为 vysa bvv 0,c v第 8 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 s、a、 b、vR +,故 sa bv2s ab v当且仅当a bv 时取等号,此时 vvab如a c即 vba 时,全程运输成本最小ba bvs a bc,且仅当 v c 时取等号,即v cv c 时全程运输成本最小如a c,就当 v0, c时,bysa bv s va bccs cvabcv vcc v0,且 abc2,故有 abcvabc20 s变式训练 4： 为了通过运算机进行较大规模的运算,人们目前普遍采纳以下两
32、种方法：第一种传统方法是建造一台超级运算机此种方法在过去曾被普遍采纳但是人们逐步发觉建造单独的超级运算机并不合算,由于它的运算才能和成本的平方根成正比另一种比较新的技术是建造分布式运算机系统它是通过大量使用低性能运算机 运算才能,由于整个网络的运算才能是各个工作站的效能之和也叫工作站 组成一个运算网络这样的网络具有惊人的假设运算机的运算才能的单位是 MIPS 即每秒执行百万条指令的次数 ,一台运算才能为 6000MIPS 的传统巨型机的成本为 100 万元； 而在分布式系统中,每个工作站的运算才能为 300MIPS ,其价格仅为 5 万元需要说明的是,建造分布式运算系统需要较高的技术水平,初期的科技研发及网络建设费用约为 600 万元请问：在投入费用为多少的时候,建造新型的分布式运算系统更合算？解： 设投入的资金为 x 万元,两种方法所能达到的运算才能为y 1, y2MIPS ,就y 1k 1x把x100,y 16000 代入上式得k 1600,又y2k2x600 ,当x6005时,y2300代入上式得k260,由y 1y 得60 x600600x,即x10 x6000,解得 x 900万元 答：在投入费用为900 万元以上时,建造新型的分布式运算系统更合算；归纳小结1在应用两个定