《2022年高三数学第一轮复习单元讲座第讲导数定积分教案新人教版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学第一轮复习单元讲座第讲导数定积分教案新人教版 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座38）导数、定积分一课标要求：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2007 年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，
2、一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07 年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07 年的高考预测会在这方面考察，预测07 年高考呈现以下几个特点：（1）新课标第1 年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等
3、实际问题要很好的转化为数学模型。三要点精讲1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在 x0处有增量x，那么函数y 相应地有增量y=f（x0+x） f （x0） ，比值xy叫做函数y=f （x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f （x）在点 x0处的导数，记作f （ x0）或 y|0 xx。即 f （x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f （x）在点x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或
4、说无导数。（2）x是自变量x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳） ：（1）求函数的增量y=f （x0+x）f （x0） ；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数y=f （x）在点x0处的导数的几
5、何意义是曲线y=f （ x）在点p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率是f （ x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。3常见函数的导出公式（）0)(C（C为常数）（）1)(nnxnx（）xxcos)(sin（）xxsin)(cos4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 ) ，即： (.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若
6、C 为常数 , 则0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0） 。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则： y|X= y |Uu|X5导数的应用（1）一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率
7、为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a ，b 上连续的函数f)(x在a ，b 上必有最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 求函数?)(x在(a ，b) 内的极值；求函数?)(x在区间端点的值?(a) 、?(b) ；将函数 ? )(x的各极值与?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数f(x)在区间 a，b 上
8、连续，用分点ax0 x1xi1xixnb把区间 a，b 等分成n个小区间，在每个小区间xi 1，xi 上取任一点i（i1，2，n）作和式Innif1( i) x（其中x为小区间长度） ，把n即x0 时，和式In的极限叫做 函 数f(x) 在 区 间 a，b 上 的 定 积 分 ， 记 作 ：badxxf)(， 即badxxf)(ninf1lim( i) x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b 叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmC（mQ ，m 1） ；x1dxlnxC；dxexxeC；dx
9、axaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsincosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（ 其 中acb)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab） ，x轴及一条曲线yf（x）(f(x) 0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如 果 图 形 由 曲 线y1f1(x) ，y2f2(x) （ 不 妨 设f1(x) f2(x) 0） ，及直线xa，xb（ab）围成，那么所求 图 形 的 面 积SS曲边梯形AMNBS
10、曲边梯形DMNC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - babadxxfdxxf)()(21。四典例解析题型 1：导数的概念例 1已知 s=221gt， （1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001秒. 各段内平均速度； （2）求 t=3 秒是瞬时速度。解析：（1）tt, 1. 031.3,1 .3, 3指时间改变量；.3059. 03211. 321)3()1 .3(22ggssss指
11、时间改变量。059. 313059.0tsv。其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。（2）从（ 1）可见某段时间内的平均速度ts随t变化而变化，t越小，ts越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0t时，ts的极限，V=0limxts=0limxtsts)3()3(0limxtgtg22321)3(21=g210limx（6+)t=3g=29.4( 米/ 秒)。例 2求函数y=24x的导数。解析：2222)()2(44)(4xxxxxxxxxy，22)(24xxxxxxy，00limlimx
12、xxy22)(24xxxxx=-38x。点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型 2：导数的基本运算例 3 （1）求)11(32xxxxy的导数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）求) 11)(1(xxy的导数；（3）求2cos2sinxxxy的导数；（4）求 y=xxsin2的导数；（5）求 yxxxxx9532的导数。解析：（1）2311xxy,.2332xx
13、y（2）先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式进行化简. xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4）y=xxxxx222sin)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2；（5）y233xx219xy * （x23） x21(x） *2321x* （21）23x1)11(292xx。点评：（ 1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等
14、变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例 4写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+2X（2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+2X) ；（2）y=ln(lnx)。点评：通过对y=（3x-22)展开求导及按复合关系求导，直观的得到xy=uy.xu. 给名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型 3：
15、导数的几何意义例 5 （1） （06 安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）A 430 xyB 450 xyC 430 xyD430 xy（2） （06 全国II ）过点（ 1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（ A）220 xy（ B）330 xy（ C）10 xy（ D）10 xy解析：（1）与直线480 xy垂直的直线l为40 xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为 4，此点的切线为430 xy，故选 A；（ 2 ）21yx， 设 切 点 坐 标 为00(,)xy， 则 切 线 的 斜 率 为
16、201x， 且20001yxx，于是切线方程为200001(21)()yxxxxx，因为点（1，0）在切线上，可解得0 x0 或 4，代入可验正D正确，选 D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例 6 （1） （06 湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r) r2, 周长 C(r)=2r ，若将r看作 (0， ) 上的变量，则(r2) 2r 1 ， 1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作 (0 ， ) 上的变量，请你写出类似于 1 的式子： 2 ； 2 式可以用语言叙述为：。（2） （06 湖南卷）曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线
17、与x轴所围成的三角形面积是。解析：（1）V球343R，又32443RR（） 故 2 式可填32443RR（） ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1 ，1) ，两条切线方程分别是y=x+2 和 y=2x1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型 4：借助导数处理单调性、极值和最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，
18、共 13 页 - - - - - - - - - 例7 （1） （ 06 江西卷）对于R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（x1）fx（ ）0，则必有（）Af （0） f （2） 2f （1） B. f（0）f （2） 2f （1）Cf （0） f （2） 2f （1） D. f（0）f （2） 2f （1）（2） （06 天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1个 B2 个 C3 个 D 4 个（3） （06 全国卷I ）已知函数11axxfxex。 （）设0a，讨论yfx的单调性；（）
19、若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。解析：（1）依题意，当x 1 时， f （x） 0，函数f （x）在（ 1，）上是增函数；当 x 1时， f （x） 0，f （x）在（，1）上是减函数，故f （x）当 x1 时取得最小值，即有f （0） f （1） ，f （2） f （1） ，故选 C；（2）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。（ 3 ） ： ( )f(x)的 定 义 域 为 ( ,1) (1,+ ).对f(x)求 导
20、 数 得f (x)= ax2+2a(1 x)2 eax。( ) 当a=2 时, f (x)= 2x2(1 x)2 e 2x, f (x)在( ,0), (0,1)和(1,+ ) 均大于 0, 所以 f(x)在(,1), (1,+). 为增函数；( ) 当 0a0, f(x)在( ,1), (1,+) 为增函数. ；( ) 当 a2 时, 0a2a1, 令 f (x)=0 ,解得 x1= a2a, x2= a2a；当 x 变化时 , f (x)和 f(x) 的变化情况如下表: x ( , a2a) ( a2a,a2a) (a2a,1) (1,+ )f (x) f(x) f(x)在 ( , a2a
21、), (a2a,1), (1,+ ) 为 增 函 数 , f(x)在 ( 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - a2a,a2a) 为减函数。( )( ) 当 0f(0)=1；( ) 当 a2 时, 取 x0= 12a2a(0,1),则由( ) 知 f(x0)1 且 e ax1，得： f(x)= 1+x1xeax1+x1x 1. 综上当且仅当a( ,2 时 , 对任意x(0,1) 恒有 f(x)1 。点评：注意求函数的
22、单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 8 （1） （06 浙江卷）32( )32f xxx在区间1,1上的最大值是（）(A) 2 (B)0 (C)2 (D)4 （2） （06 山东卷）设函数f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1）2( )363 (2)fxxxx x，令( )0fx可得 x0 或 2（2 舍去），当 1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0，所以当x0 时，f（x）取得最大值为 2。选 C；（2）由已知得( )6(1)fxx xa，令( )0fx，解得120,
23、1xxa。（）当1a时，2( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增；当1a时，( )61fxx xa，( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值从 上 表可知 ， 函数( )f x在(,0)上 单 调 递 增； 在(0,1)a上 单 调 递减 ； 在(1,)a上单调递增。（）由（）知，当1a时，函数( )f x没有极值；当1a时，函数( )f x在0 x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
24、题型 5：导数综合题例 9 （ 06 广东卷）设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xf x（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - ?4PA PB, 点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点 . 求(I) 求点AB、的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程 . 解析：( ) 令033)23()(23xxxxf解
25、得11xx或；当1x时,0)(xf， 当11x时,0)(xf，当1x时，0)(xf。所 以 ,函 数 在1x处 取 得 极 小 值 ,在1x取 得 极 大 值 ,故1, 121xx,4)1(, 0) 1(ff。所以 , 点 A、B的坐标为)4, 1(),0 , 1(BA。（）设),(nmp，),(yxQ，4414 ,1,122nnmnmnmPBPA，21PQk，所以21mxny。又PQ 的 中 点 在)4(2 xy上 ， 所 以4222nxmy， 消 去nm,得92822yx。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。例10 （ 06湖 南 卷 ） 已 知 函 数( )sinf xxx, 数 列
26、 na 满足:1101,( ),1,2,3, .nnaaf an证明:( )101nnaa；( )3116nnaa。证明 : （I ） 先用数学归纳法证明01na，1,2,3, (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。(ii).假设当 n=k 时结论成立 , 即01ka。因为 0 x0成立。于是31()0,sin06nnnng aaaa即故3116nnaa。点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型 6：导数实际应用题例 11 （06 江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多
27、少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为 x m, 则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82xxx（单位： m ） 。于是底面正六边形的面积为（单位：m2） ：2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为（单位：m3） ：233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxx求导数，得23( )(123)2Vxx；令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2 。当 1x2 时，( )0Vx,V(x) 为增函数；当2x0。当 x=0 时
28、， t=0 ；当 x=a 时，311)(batt，3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a ，所以320261)(badxbxaxSab(1) 又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得 ax2(b 1)x 4=0，其判别式必须为0，即(b 1)216a=0于是,) 1(1612ba代入（ 1）式得：)0( ,) 1(6128)(43bbbbS，52) 1( 3)3(128)(bbbb
29、S；令 S(b)=0 ；在b0 时得唯一驻点b=3，且当0b3 时， S(b) 0；当b3时， S(b) 0故在 b=3 时， S(b) 取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3 时， S取得最大值，且29maxS。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -