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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 六年级上册数学学问点第一单元 分数乘法（一）分数乘法意义 ：1、分数乘整数的意义 与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算；注：“ 分数乘整数” 指的是其次个因数必需是整数,不能是分数；例如：3 7 表示 : 求 7 个 53 的和是多少？5或表示：3 的 7 倍是多少？52、一个数乘分数的意义就是 求一个数的几分之几是多少；注：“ 一个数乘分数” 指的是其次个因数必需是分数,不能是整数；（第一个因数是什么都可以）例如：3 1 表示: 求 3 的 1 是多少？5 6 5 69 1 表示 : 求 9 的 1 是多少？6 6A 1 表
2、示 : 求 a 的 1 是多少？6 6（二）分数乘法运算法就：1、分数乘整数的运算法就是：分子与整数相乘,分母不变；注：（ 1）为了运算简便能约分的可先约分再运算；（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数；（整数千万不能与分母相乘,运算结 果必需是最简分数）2、分数乘分数的运算法就是：分母乘分母）用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母；（分子乘分子,注： （1）假如分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再运算；（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - -
3、 - - - - - - （3）在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约分的数先划去,再分别在它们 的上、下方写出约分后的数；（约分后分子和分母必需不再含有公因数,这样运算后的结果才是最简洁分数）（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外）,分数的大小 不变；（三）积与因数的关系：一个数（ 0 除外）乘大于 1 的数,积大于这个数； ab=c,当 b 1 时, ca. 一个数（ 0 除外）乘小于 1 的数,积小于这个数； ab=c,当 b 1 时, c1 时,ca a0 b0 除以小于 1 的数,商大于被除数： ab=c 当 ba a0 除以等于 1 的数,商等
4、于被除数： ab=c 当 b=1 时,c=a 三、分数除法混合运算 1、混合运算用梯等式运算,等号写在第一个数字的左下角；2、运算次序：连除：属同级运算,根据从左往右的次序进行运算；或者先把全部除法转化成乘法再运算；或 者依据“ 除以几个数,等于乘上这几个数的积” 的简便方法运算；加、减法为一级运算,乘、除法 为二级运算；混合运算：没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面；注：（ ab） c=acbc 四、比：两个数相除也叫两个数的比 1 1、比式中,比号（）前面的数叫 前项, 比号后面的项叫做 后项, 比号相当于除号,比的前 项除以后项的商叫做 比值 ；5 名师归纳总结
5、 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 比值通常用分数、小数和整数表示；3 比的后项不能为 0；注：连比如： 3：4：5 读作： 3 比 4 比 5 2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几；例：12 20=121220= 203=0.6 51220 读作： 12 比 20 前项比号后项前项后项比值注：区分比和比值： 比值是 一个数 ,通常用分数表示,也可以是整数、小数；比是 一个式子 ,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形 式；3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（4
6、、化简比：化简之后结果仍是一个比,不是一个数；（1）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数；0 除外）,比值不变；（2）、 两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简；也可以求出比值再写成比的形式；（3）、 两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比；5、求比值：把比号写成除号再运算,结果是一个数（或分数）,相当于商,不是比；6、比和除法、分数的区分：被除除除号（ ）除数（不商不变性除法是一种法能为 0）质运算数分分分数线分母（不分数的基分数是一个数子（ ）能为 0）本性质数6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 前后项（不比的基本比表示两个比项比号（）能为 0）性质数的关系附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（五、分数除法和比的应用0 除外）,商不变；0 除外）,分数的大小不变；1、已知单位“ 1” 的量用乘法；例：甲是乙的3,乙是 25,求甲是多少？5即：甲 =乙3（1553=9）52、未知单位“ 1” 的量用除法；例: 甲是乙的3,甲是 15,求乙是多少？5即：甲 =乙3（1553=25）（建议列方程答）53、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）（1）甲是乙的几分之几？甲乙 几分之几 乙甲
8、几分之几 几分之几甲 乙（例：甲是 15 的3,求甲是多少？ 15539）5（例： 9 是乙的3,求乙是多少？ 95315）5（例： 9 是 15 的几分之几？ 9153）（乙是单位“ 1” ）5（2）甲比乙多（少）几分之几？A 差 乙=差（“ 比” 字后面的量是单位“1” 的量）乙2）5（例： 9 比 15 少几分之几？（ 15-9 ） 151596 1515B 多几分之几是：甲1 乙（例： 15 比 9 少几分之几？ 15915-195132 ）3C 少几分之几是： 1甲 乙（例： 9 比 15 少几分之几？ 1-91519 115352）5D 甲=乙 差=乙 乙差=乙 乙乙几=乙（ 1几
9、几 ）几7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （例：甲比 15 少2,求甲是多少？ 151552 15 （152） 9（多是“ +” 少是“ ” ）5E 乙=甲1几 几（例 ：9 比乙少 2 ,求乙是多少？ 9 （1-2） 9 315）（多是“ +” 少是“ ” ）5 5 5（例 ：15 比乙多 2 ,求乙是多少？ 15 （1+ 2 ）15 59）（多是“ +” 少是“ ” ）3 3 34、按比例安排：把一个量按肯定的比安排的方法叫做按比例安排；例如 ：已知甲乙的和是 56,甲、乙的比 35,求甲、乙分别是多少？方
10、法一： 56 （3+5） 7 甲： 3721 乙：5735 方法二：甲： 563 21 乙： 565 35 3 5 3 5例如 ：已知甲是 21,甲、乙的比 35,求乙是多少？方法一： 21 37 乙：5735 方法二：甲乙的和： 2133 56 5乙：5635 35 5方法三：甲 乙3乙甲3215335 555、画线段图：（1）找出单位“ 1” 的量,先画出单位“1” ,标出已知和未知；（2）分析数量关系；（3）找等量关系；（4）列方程；注：两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图；（四）比的应用1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个
11、数量是多少？例如：六年级有 60 人,男女生的人数比是5：7,男女生各有多少人？8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题目解析： 60 人就是男女生人数的和；解题思路：第一步求每份：60 （5+7）=5 人其次步求男女生：男生：55=25 人 女生： 57=35 人；2、比的其次种应用：已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少？例如：六年级有男生 25 人,男女生的比是 5：7,求女生有多少人？全班共有多少人？题目解析：“ 男生25 人” 就是其中的一个数量；解题思路：第一步求每份：255=5 人
12、其次步求女生：女生： 57=35 人； 全班： 25+35=60 人3、比的第三种应用：已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少？六年级的男生比女生多20 人（或女生比男生少20 人）,男女生的比是7：5,男女生各有多少人？全班共有多少人？7、比在几何里的运用：（1）已知长方形的周长,长和宽的比是：；求长和宽、面积；长=周长 2aab宽=周长 2abb面积长 宽（2）已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是：；求长、宽、高、体积长=周长 aac宽=周长 abcbb高=周长 acc体积长 宽 高b（）已知三角形三个角的比是：,求三个内角的度数；三个角分别为：aacabcac
13、cbbb（）已知三角形的周长,三条边的长度比是：,求三条边的长度；三条边分别为：周长aac周长abc周长accbbb9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四单元 圆一、.圆的特点1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形,. 2、圆的特点：形状美观,易滚动；3、圆心 o：圆中心的点叫做圆心圆心一般用字母 交于圆中心的一点,这一点叫做圆心（o）；O 表示 将一张圆形纸片对折两次,折痕相半径 r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径；在同一个圆里,有很多条半径,且全部的半径都相等；半径确定圆的大小；把圆规两脚分开,两脚之间
14、的距离就是圆的半径；直径 d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径；直径是圆内最长的线段；同圆或等圆内： d=2r 或r=d2=1 d= 2d2圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合；同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆；5、圆是轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是 轴对称图形；折痕所在的 直线 叫做对称轴；有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形 有四条对称轴的图形：正方形 有无条对称轴的图形：圆,圆环 10 名
15、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、画圆（1）圆规两脚间的距离是圆的半径；（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周；二、圆的周长 ：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母 C 表示；1、圆的周长总是直径的三倍多一些；2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母 表示；即：圆周率 =周长=周长 直径3.14 直径c=d, c=2r所以,圆的周长 c=直径 d 圆周率 周长公式：d=cr=c2 注：圆周率 是一个无限不循环小数,的数学家祖冲之；3.14 是近似值；世界上第一个把圆周率算出来的人
16、是我国3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大 的倍数相同；假如 r1r2r3=d 1d 2d3=c1c2c3 4、半圆周长 =圆周长一半 +直径 =12r=r+d 2圆周长的一半 =r三、圆的面积 s 1、圆面积公式的推导 如图把一个圆沿直径等分成如干份,剪开拼成长方形,份数越多拼成的图像越接近长方形；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长长方形面积 = 长 宽所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 宽 = 圆
17、的周长的一半（ r） 圆的半径（r）S 圆 = r r S 圆 = rr = r22、几种图形,在面积相等的情形下,圆的周长最短,而长方形的周长最长；反之,在周长相等的情形下,圆的面积就最大,而长方形的面积就最小；周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,篮子、盘子做成圆形；3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍；假如 : r1r2r3=d1d2d3=c1c2c3就：s 1 : s 2 : s 3 = r 1 2: r 2 2: r 3 2在一个正方形里画一个最大的圆, 圆的直径等于正方形的边长； 在一个长方形里画一个最大的
18、圆,圆的直径等于长方形的宽；在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数；而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍；例如：在同一个圆里,半径扩大倍,那么直径和周长就都扩大倍,而面积扩大倍；4 一个环形,外圆的半径是 R,内圆的半径是 r,它的面积是 S= R22 或 S=（R2 2）；5、半圆面积圆的面积 2 公式为：2 26、常用数据12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - =3.14 2=6.28 3=9.42 4=12.56 5=15.7 7 当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长
19、方形的面积最小第五单元、百分数 一、百分数的意义 ：表示一个数是另一个数的百分之几；注：百分数是特地用来表示一种特别的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比 或百分率,百分数不能带单位；1、百分数和分数的区分和联系：（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系；（2）区分：意义不同：百分数只表示倍比关系,不表示详细数量,所以不能带单位；分数不 仅表示倍比关系,仍能带单位表示详细数量；百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数；注：百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是 100 的分数并不是百分 数,必需把分母写成“ %” 才是百分数,所以“ 分母是100 的分
20、数就是百分数” 这句话是错误的；“ %”的两个 0 要小写,不要与百分数前面的数混淆；一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100% ,出米率、出油率达不到100% ,完成率、增长了百分之几等可以超过100% ；一般出粉率在 70、80% ,出油率在 30、40% ；2、小数、分数、百分数之间的互化（1）百分数化小数：小数点向左移动两位,去掉“%” ；（2）小数化百分数：小数点向右移动两位,添上“%” ；（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100 的分数,然后再化简成最简分数；（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数,（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数；13 名师归纳总结 -
21、 - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （5）小数 化 分数：把小数成分母是（6）分数 化 小数：分子除以分母；二、百分数应用题10、100 、1000 等的分数再化简；1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、削减了百分之几、节省了百分之几等来表示增加、或削减的幅度；求甲比乙多百分之几（甲 -乙） 乙增加百分之几 =增加的部分 单位 1求乙比甲少百分之几（甲 -乙） 甲削减百分之几 =削减的
22、部分 单位 1 3、 求一个数的百分之几是多少一个数（单位“ 1” ） 百分率4、 已知一个数的百分之几是多少,求这个数 部重量 百分率=一个数（单位“ 1” ）5、 折扣 折扣、打折的意义：几折就是非常之几也就是百分之几十 通折扣成数几分之几百分之几小数用 百分之八八折八成非常之八0.8 十八五八成非常之八百分之八0.85 折五点五十五0.5 半百分之五五折五成非常之五十价8、百分数应用题型分类（1）求甲是乙的百分之几（甲 乙） 100% = 甲100% = 百分之几 乙14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - -
23、（2）求甲比乙多 少百分之几差100% = 差 100% 乙比字后面例 甲是 50,乙是 40,甲是乙的百分之几？（ 50 是 40 的百分之几？） 5040=125% 甲是 50,乙是 40,乙是甲的百分之几？（ 40 是 50 的百分之几？） 4050=80% 乙是 40,甲是乙的 125% ,甲数是多少？（ 40 的 125% 是多少？） 40125%=50 甲是 50,乙是甲的 80% ,乙数是多少？（ 50 的 80% 是多少？） 5080%=40 乙是 40,乙是甲的 80%,甲数是多少？ （一个数的 80%是 40,这个数是多少？） 40 80%=50 甲是 50,甲是乙的 12
24、5% ,乙数是多少？（一个数的 125% 是 50,这个数是多少？）50125%=40 甲是 50,乙是 40,甲比乙多百分之几？（ 50 比 40 多百分之几？） 50-40 40100%=25% 甲是 50,乙是 40,乙比甲少百分之几？（ 40 比 50 少百分之几？） 50-40 50100%=20% 甲比乙多 25% ,多 10,乙是多少？ 1025%=40 甲比乙多 25% ,多 10,甲是多少？ 1025%+10=50 . 乙比甲少 20% ,少 10,甲是多少？ 1020%=50 . 乙比甲少 20% ,少 10,乙是多少？ 1020%-10=40 . 乙是 40,甲比乙多 2
25、5% ,甲数是多少？（什么数比 40 多 25% ？）40 （1+25% ）=50 . 甲是 50,乙比甲少 20% ,乙数是多少？（什么数比 50 多 25% ？）50 （1-20% ）=40 . 乙是 40,比甲少 20%,甲数是多少？（ 40 比什么数少 20% ？） 40 （1-20% ）=50 . 甲是 50,比乙多 25%,乙数是多少？（ 50 比什么数多 25% ？） 40 （1+25% ）=40 三、整数、分数、百分数应用题结构类型（一）求甲是乙的几倍（或几分之几或百分之几）的应用题；解法：甲数除以乙数例：校内里有杨树 40 棵,柳树有 50 棵,杨树的棵树占柳树的百分之几？（
26、或几分之几？）15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （二）求甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少的应用题；解答分数应用题, 第一要确定单位“ 1” ,在单位“ 1” 确定以后,一个详细数量总与一个详细分数（分率）相对应,这种关系叫“ 量率对应” ,这是解答分数应用题的关键；求一个数的几倍（几分之几或百分之几）是多少用乘法,单位“1” 分率 =对应数量5例：六年级有同学 180 人,五年级的同学人数是六年级人数的 6；五年级有同学多少人？5180 =150 6（三）已知甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少,求甲数（即求标准量或单位“1” ）的应用题；解法：对应数量 对应分率 =单位“1”例：育红学校六年级男生有120 人,占参与爱好活动小组人数的3 . 六年级参与爱好活动小组人5数共有同学多少人？120 3 5 =200 （人）1.本金：存入银行的钱叫做本金；利息：取款时银行多支付的钱叫做利息；利息=本金 利率 时间16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页