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1、-/等边三角形专题2.(2017天津第9题)如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接.下列结论一定正确的是（ ）A B C. D3. (2017天津第11题)如图，在中，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A B C. D17. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（）A B C. D10.（2008菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结
2、论：AD=BE； PQAE； AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的有_（把你认为正确的序号都填上）16、（2009义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。（1）求ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。等边三角形练习题1（2012深圳）如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6B12C32D642（2012凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边
3、形，则图中+的度数是（）A180B220C240D3003（2012荆门）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q若BF=2，则PE的长为（）A2B2CD34（2011南平）边长为4的正三角形的高为（）A2B4CD25（2010随州）如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）ABCD不能确定6（2009攀枝花）如图所示，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则DFC的度数为（）A60B
4、45C40D307（2007绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设CDH、GHE的面积分别为S1、S2，则（）A3S1=2S2B2S1=3S2C2S1=S2DS1=2S28（2007娄底）如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）A4cm2B2cm2C3cm2D3cm29（2006天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正确结论的个数是（）A3个B2个C1个D
5、0个10（2006南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）AdhBdhCd=hD无法确定11（2007南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A30海里B40海里C50海里D60海里12（2006曲靖）如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（）A25B30C45D6013（2011茂名）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C
6、、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=_度14（2008日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60度恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）15（2005扬州）如图，将边长为4的等边ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到ABC，则点A的坐标为_16（2004茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，A1B1C1的三条中位线组成A2B2C2，A2B2C2的三条中线又组成A3B3
7、C3，如此类推，得到AnBnCn则：（1）A3B3C3的边长a3=_；（2）AnBnCn的边长an=_（其中n为正整数）17（2006嘉峪关）ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则DEF为_三角形18（1999广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_个19如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转60，得到CBP，若PB=3，则PP=_20（2009浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE（1）求ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，
8、并给出证明21（2009辽阳）如图，ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由22（2008绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q求证：BQM=60度（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BM=CN”与“BQM=60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到BQM=60？若将题中
9、的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到BQM=60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：_；_；_并对，的判断，选择一个给出证明23（2007河北）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另
10、一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）24（2004苏州）已知：如图，正ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长25（2002黑龙江）已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，
11、ABC的高为h“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在ABC内（如图2），（2）点P在ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明26（2000河南）如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB；（2）当ACPPDB时，求APB的度数27（2010雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连
12、接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB28（2005临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且OAB和OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F求证：ACE为等边三角形29已知：如图，ABC、CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点（1）求证：AD=BE；（2）求DOE的度数；（3）求证：MNC是等边三角形30如图，等边ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PEAC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长
13、？全等三角形练习参考答案与试题解析1C2C3C4D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13E=15度1415.16 a3=；AnBnCn的边长an=（或21n）17等边三角形182个19 PP=320解：（1）在正ABC中，AD=4，（2分）S=BCAD=42=4（3分）（2）AC、DE的位置关系：ACDE（1分）在CDF中，CDE=90ADE=30，（2分）CFD=180CCDE=1806030=90ACDE（3分）（注：其它方法酌情给分）21解：AEBC理由如下：ABC与CDE为正三角形，BC=AC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+ACD=DCE+ACD，即BCD=A
14、CE，BCDACE，B=EAC，B=ACB，EAC=ACB，AEBC22请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：是；是；否并对，的判断，选择一个给出证明（1）证明：在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60（2）是；是；否的证明：如图，在ACM和BAN中，ACMBAN，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=18060=120，BQM=60的证明：如图，在RtABM和RtBCN中，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90，QBM+QMB=90，BQM=90，即BQM6023解：（1）BF=CG；证明：在
15、ABF和ACG中F=G=90，FAB=GAC，AB=ACABFACG（AAS）BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DHCG于点H（如图2）DEBA于点E，G=90，DHCG四边形EDHG为矩形DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=ACFCD=GBC=HDC又F=DHC=90，CD=DCFDCHCD（AAS）DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立证明：过点D作DHCG于点H（如图3）DEBA于点E，G=90，DHCG四边形EDHG为矩形，DE=HG，DHBG，GBC=HDC，AB=AC，FCD=GBC=HDC，又F=DHC=90，CD=DC，F
16、DCHCD（AAS）DF=CH，GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG24（1）证明：过点D作DFAB，交BC于FABC为正三角形，CDF=A=60CDF为正三角形DF=CD又BE=CD，BE=DF又DFAB，PEB=PDF在DFP和EBP中，DFPEBP（AAS）DP=PE（2）解：由（1）得DFPEBP，可得FP=BPD为AC中点，DFAB，BF=BC=aBP=BF=a25解：（1）当点P在ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN四边形MNPF是矩形，PF=MN，即h3=MNh1+h
17、2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h（2）当点P在ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立此时，它们的关系是h1+h2h3=h理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN四边形MNPF是矩形，PF=MN，即h3=MNh1+h2h3=ANMN=AM=h，即h1+h2h3=h26解：（1）当CD2=ACDB时，ACPPDB，PCD是等边三角形，PCD=PDC=60，ACP=PDB=120，若CD2=ACDB，由PC=PD=CD可得：PCPD=ACDB，即=，则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB（2）当ACPPDB时，AP
18、C=PBDPDB=120DPB+DBP=60APC+BPD=60APB=CPD+APC+BPD=120即可得APB的度数为12027证明：（1）ACD和BCE是等边三角形，AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60，DCA=ECB=60，DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB，在ACE与DCB中，ACEDCB，AE=BD；（2）由（1）得，ACEDCB，CAM=CDN，ACD=ECB=60，而A、C、B三点共线，DCN=60，在ACM与DCN中，ACMDCN，MC=NC，MCN=60，MCN为等边三角形，NMC=DCN=60，NMC=DCA，MNAB28证明：OAB和OCD为等
19、边三角形，CD=OD，OB=AB，ADC=ABO=60四边形ODEB是平行四边形，OD=BE，OB=DE，CBE=EDOCD=BE，AB=DE，ABE=CDEABEEDCAE=CE，AEB=ECDBEAD，AEB=EADEAD=ECD在AFE和CFD中又AFE=CFD，AEC=ADC=60ACE为等边三角形29解：（1）ABC、CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE（2）解：ACDBCE，ADC=BEC，等边三角形DCE，CED=CDE=60，ADE+BED=ADC+CDE
20、+BED，=ADC+60+BED，=CED+60，=60+60，=120，DOE=180（ADE+BED）=60，答：DOE的度数是60（3）证明：ACDBCE，CAD=CBE，AD=BE，AC=BC又点M、N分别是线段AD、BE的中点，AM=AD，BN=BE，AM=BN，在ACM和BCN中，ACMBCN，CM=CN，ACM=BCN，又ACB=60，ACM+MCB=60，BCN+MCB=60，MCN=60，MNC是等边三角形30解：过P点作PFBC交AC于F点，等边ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，AB=BC，B=ACB=A=60，AP=CQ，PFAB，APF=B=6
21、0，AFP=ACB=60，A=APF=AFP=60，APF是等边三角形，PEAC，EF=AF，APF是等边三角形，AP=CQ，PF=CQPFAB，Q=FPD，在PDF和QDC中，PDFQDC，DF=CD， DF=CF，DE=EF+DF=AF+CF=AC，ED=5双基训练1. 如图14-45，在等边ABC中，O是三个内角平分线的交点，ODAB，OEAC，则图中等腰三角形的个数是 。 2.如图14-46，ABC是等边三角形，D为BA的中点，DEAC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，EFC的周长= 。3.如图14-47，在等边ABC中，AE=CD，BGAD，求证：BP=2PG。纵向应用1
22、. 如图14-48，已知等边ABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。 2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GHAB。3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ACD和CBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：CM
23、N为等边三角形。 5. 如图14-52，在四边形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边CDE，连结AE，求证：ABE为等边三角形。6. 如图14-53，已知ABC是等边三角形，D为AC上一点，1=2，BD=CE，求证：ADE是等边三角形。7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证：MNP是等边三角形。8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：EFM是等边三角形。 9
24、. 如图14-56，在ABCD中，ABE和BCF都是等边三角形，求证：DEF是等边三角形。10. 如图14-57，已知D为等边ABC内一点，DA=DC，P点在ABC外，且CP=CA，CD平分PCB，求P。横向拓展1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。 2. 如图14-59，点O为等边ABC内一点，AOB=1100，BOC=1350，试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果AOB大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA、OB
25、、OC为边的三角形是一个直角三角形？3. 如图14-60，已知ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。求证：AMN的周长等于2。4.如图14-61，在ABC中，A=600，BEAC，垂足为E，CFAB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。（1）如果AB=AC，求证：DEF是等边三角形；（2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形？如果DEF是等边三角形，请加以证明；如果DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。5
26、.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），AON=600。（1）OP为多少时，AOP为等边三角形？（2）OP为多少时，AOP为直角三角形？（3）OP为多少时，AOP为锐角三角形？（4）OP满足什么条件时，AOP为钝角三角形？6.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系； （2） 现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周
27、长；（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数。参考答案；等边三角形；双基训练1.7个 2.2 9 3.提示：证ABDBCE，证BPG=600纵向应用；1.EF= 2.提示：证GCH为等边三角形 3.提示：ECBDCA，ECNDCM 4.略 5.提示：证ADEBCE 6.提示：证ABDACE 7.略 8.略 9.提示：证ADEEBF 10.300。提示：连结BD，易证ABDCBD，再证CDPADB横向拓展1.2:3:4. 提示：将APC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P的位置，连结PP 2.(1)能，500，550，750 （2）1500或1000 3.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。证MDBEDC，MDNEDN 4.(1)略 (2)提示：证EDF=600 （3）12cm 5.(1)10 (2)5或20 (3)5OP20 (4)0OP20 6.(1)s=n2 (2)19. 提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证PAB、QEF、RCD、PQR为等边三角形 (3)能，s=102-22-32-62=51(个)