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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全国通用 高中数学高考学问点总结 1. 对于集合, 肯定要抓住集合的代表元素,lgx及元素的 “ 确定性、互异性、无序性”；,A、B、C中元如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y y素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合Ax x22x30,Bx ax12n；如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,1）3留意以下性质：（ ）集合a1,a2, ,an的全部子集的个数是（ ）如ABAB
2、A,ABB；（3）德摩根定律：CUABCUACUB,CUABCUACUBa 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50的解集为M,如3M且5M,求实数x2a的取值范畴；名师归纳总结 Q 3Ma350a15U925第 1 页,共 47 页32aQ5Ma550352a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或” ,“ 且” 和“ 非”.如 p q 为真,当且仅当 p、 均为真如 p q 为真,当且仅当 p、 至少有一个为真如 p 为真,当且仅当 p 为假 6. 命题的四种形式
3、及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假； 7. 对映射的概念明白吗？映射 f ：AB,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象； ） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？Fxf x fx的定义域例：函数yx4x的定义域是 10. lgx32（答：0,22,33,4）如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数是_；名师归纳总结 （答：a,a
4、）第 2 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如：f x 1 e x x,求 f x .令 t x 1,就 t 0x t 21f t e t 2 1 t 21f x e x 2 1 x 2 1 x 0 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域） 13. 如：求函数f x 1xxx0的反函数yx 对称；2x0（答：f1 x1xx10）x反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线储存了原先函数的单调性、奇
5、函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 a 14. f1f a f1 a,f f1 f a b如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yf f 为减函数；）（外层）（内层） 为增函数,否就当内、外层函数单调性相同时f如：求ylog 1x22x的单调区间2（设uux2u2x,由u20 就0x2且log 1,x11,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,
6、u,又log1u,y2 ） 15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大名师归纳总结 值是（）B. 1 C. 2 D. 3 第 4 页,共 47 页 A. 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （令 fx3 x2a3xaxa033 16. 就xa或xa33由已知f x 在1,上为增函数,就a1,即a33a 的最大值为3）函数 f x 具有奇偶性的
7、必要 （非充分） 条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x1（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）201又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,1 时,f x x名师归纳总结 求f x 在1,1上的解析式；第 5 页,共 47
8、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x12x）,就f x 为周期x14x2xx1,0 又f 0,f x 44x11x0x0,12xx 17. 你熟识周期函数的定义吗？f xTf x （如存在实数T（T0）,在定义域内总有函数, T 是一个周期；）如：如 f x a f x ,就（答：f x 是周期函数,T 2 a 为 f x 的一个周期）又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是周期函数,2 a b 为一个
9、周期如： 18. 你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结 f x 与fx的图象关于y轴 对称第 6 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 与f x 的图象关于x 轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称a a f x 与f1 的图象关于直线yx对称f x 与f2ax 的图象关于 直线xa对称f x 与f2 ax的图象关于 点a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移a a0 个单位yf x上移b b0个单位yf xab下移b b0个单位yf xab留意如下“ 翻折” 变换：f x f x x1ylog2x1的图
10、象f x f| |如： f x log 2作出ylog2x1及y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - k0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：ykxkb k0ybxkak0是中心O a,b 的双曲（ ）反比例函数：yk0推广为x线；（ ）二次函数yax2bxc a0a xb24acab2图象为抛物线2 ab4b,4 aca2 b,对称轴x顶点坐标为2a42 a开口方向：a0,向上,函数ymin4 acab2b24a0,向下,yma
11、x4ac4 a应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根x1、x2为二次函数y2 axbxc 的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式ax 2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0如：二次方程ax2bxc0 的两根都大于kbk2 a0f k y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1（ ）对数
12、函数ylogax a0,a1由图象记性质！y 0a1 1 O 1 x 0a1 （ ）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - y k 20. O kx 你在基本运算上常显现错误吗？ 21. 指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0apamnam a0 ,amn1a0 nnam对数运算：logaMNlogaMlogaN MlogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNnn mloga对数恒等式： alogaxx对数换底公式：l
13、ogablogcblogambnlogca如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）名师归纳总结 如：（ ）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 为奇函数；第 10 页,共 47 页（先令xy0f 0 再令yx, ）（2）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 是偶函数；（先令xytfttf ttftftf t f t ftf t ）（ ）证明单调性：f x2fx2x1x2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单
14、调性法,导数法等；）如求以下函数的最值： 23. （ ）y2x3134x ,半径为R（ ）y2x4x3（ ）x3,y2x2x3（ ）yx49x2设x3cos,0,（ ）y4x9,x0,1 x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为的弧长公式和扇形面积公式吗？（lR,S扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义名师归纳总结 sinMP,cosOM,tanAT第 11 页,共 47 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y B S T P 如：如80,就sin,O M A x cos,tan的大小次序是又如：求函数
15、y12cos22x的定义域和值域；2（12cos2x）1ksinx0sin x2,如图：2Z,0y12k5x2k44 25. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinx1,cos x1y ytgxx 2O 20,kZ对称点为k2,ysin 的增区间为2k2,2k2kZZZZ减区间为2k2,2k3k2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kycos 的增区间为2k,2kkZ减区间为2k,2k2k图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkZ或
16、yAcosxytan 的增区间为k2,k2kZ26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；（ ）振幅|A|,周期T2|,求出 与 ,依点（x,y）|如f x0A,就xx0为对称轴；如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,3,22作图象；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）依据图象求解析式；（求A、 、 值）x10 27. 如图列出x22解条件组求、值正切型函数yAtanx,T|在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；
17、 28. 如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13）263412在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 如：函数ysinxsin| |的值域是0,y2,2）（x0 时,y2sinx2,2,x0 时,y娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：名师归纳总结 （ ）点P（ , ）ah,kP （x,y）,就xxh第 14 页,共 47 页平移至yyk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）曲线f x,y0沿向量ah,k平移后的方程为f xh,yk0如：函数y2sin2x41
18、的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？（y2sin2x41横坐标伸长到原先的2倍y2sin2 1 2x4x12sinx41左平移4个单位y2sinx1上平移1 个单位y2sin纵坐标缩短到原先的1倍ysinx）tan42 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1sin22 cossec2tan2tancotcossecsin2cos0 称为1 的代换；“ 奇” 、“k2” 化为的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,“ 偶” 指 k 取奇、偶数； A. 如： cos9tan7sin21C. 非负值D. 正值46又如：函数ysintan,就y的值为coscot正值或负值
19、B. 负值（ysinsinsin2cos10,0）cos cos 31. cos2 cossin1sin降幂公式 及其逆向应用了娴熟把握两角和、差、倍、吗？懂得公式之间的联系：名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinsincoscossin令sin22sincoscoscoscossinsin令tancos212 cossin2tantantan,22 cos112sin21tantancos22 costan22tan211tan2sin2cos22asinbcosa2b2sinbasincos2sin4sin
20、3cos2sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能 求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；名师归纳总结 如：已知sin 1cos1,tan2,求tan12的值；第 16 页,共 47 页cos23（由已知得：sincoscos1,tan2sin22sin2又 tan23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - tan2tan1tantan12111）3 22tantan832 32.
21、 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？名师归纳总结 余弦定理： a2b2c22bccosAcosAb2c2a2）第 17 页,共 47 页2bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；正弦定理：aAbBc2Ra2RsinAb2RsinBsinsinsinCc2RsinCS1absinC2ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC2如ABC中,2sin2A2Bcos2C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（ ）由已知式得：1cosAB2cos2C11又ABC,22 cosCcos C10cosC1或cosC1（
22、舍）2又0C,C3（2）由正弦定理及a2b21c2得：22sin2A2sin2Bsin2Csin23341cos2A1cos2B34- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos2Acos2B3）4 33. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；a 34. 反正弦：arcsinx2,2,x1,1反余弦：arccosx0,x1,1反正切：arctanx2,2,xR不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbc（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,
23、| |axa 或x如：如110,就以下结论不正确选项（）abA a2b2B abb2C a .| | | | |ab|D a bb2a答案： C 35. a2利用均值不等式：ab2b22 ab a,bR；ab2ab；ab求最值时,你是否注2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab 或和 ab 其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - a22b2a2bab2 aba,bRab 36. 当且仅当ab时等号成立；43）a2b 2c2abbcca a,bR当且仅当a
24、bc 时取等号；ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23x4的最大值为x（设 y23x422 12243x当且仅当3x4,又x0,x233时,y max2x又如：x2y1,就2x4y的最小值为（2x22y2 2x2y2 21,最小值为2 2）不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；名师归纳总结 37 .如：证明11112 n1n1,穿第 19 页,共 47 页2232n2（111 11112213222 3n2111111 n111223nx 的系数变为212）n解分式不等式f x a a0的一般步骤是什么？g x
25、 （移项通分,分子分母因式分解,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轴法解得结果； ） 38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切”,从最大根的右上方开头如： x1x12x230 39. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分 a 1 或 0 a 1 争论 40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）41.例如：解不等式 |x3 |x11（解集为x x1）2会用不等式| | | | |ab| | | | | 证明较简洁的不等问题如：设f x x2x13,实数 满意|xa
26、|1求证： f x f a 2 | |1 证明： | f a | |x2x13 2 aa13 |xa xa1 | |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |1又| | | | |xa |1,| | | |1 f x f a 2 | |22| |1（按不等号方向放缩）名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题） 43. 如：af x 恒成立af x 的最小值0 的af x 恒成立af x 的最大值af x 能成立af x 的最
27、小值例如：对于一切实数x,如x3x2a 恒成立,就a 的取值范畴是（设ux3x2,它表示数轴上到两定点2和 距离之和umin325,5a,即a5或者：x3x2x3x25,a5）等差数列的定义与性质定义：an1and d 为常数 ,ana1n1d等差中项：x,A, 成等差数列2 Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性质：an是等差数列（ ）如mnpq,就amana pa q；（ ）数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列；S n,S 2nS n,S 3nS 2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,就amS2m1；bmT2m1（ ）an为等差数列Snan2bn（ , 为常数,是关于n的常数项为二次函数）名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：名师归纳总结 当a10,d0,解不等式组an100可得Sn达到最大值时的n 值；第 22 页,共 47 页an当a10,d0,由an10可得 0Sn达到最