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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载20XX 年高考数学难点突破专题辅导三十六难点 36 函数方程思想综合学问多、 题型多、高考中所占比重较大,函数与方程思想是最重要的一种数学思想,应用技巧多 .函数思想简洁,即将所争论的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及争论参数的取值范畴等问题；加以解决 . 难点磁场方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型1.（）关于 x 的不等式 23 2x 3 x+a 2 a 30,当 0x1 时恒成立,就实数 a 的取值范畴为 .
2、2.（） 对于函数 fx,如存在 x0R,使 fx0= x0成立, 就称 x0为 fx的不动点 .已知函数 fx=ax 2+ b+1 x+b 1 a 0 （1）如 a=1,b= 2 时,求 fx的不动点；（2）如对任意实数 b,函数 fx恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范畴；（3）在（2）的条件下, 如 y=fx图象上 A、B 两点的横坐标是函数 fx的不动点, 且 A、B 关于直线 y=kx+ 12 对称,求 b 的最小值 . 2 a 1 案例探究例 1已知函数fx=log mx3x31如 fx的定义域为 , ,（ 0）,判定 fx在定义域上的增减性,并加以说明；2当 0m1 时,使 f
3、x的值域为 log mm 1, logmm 1的定义域区间为 , 0是否存在？请说明理由 . 命题意图：此题重在考查函数的性质,方程思想的应用 .属级题目 . 学问依靠：函数单调性的定义判定法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组 . 错解分析： 第1问中考生易忽视 “ 3” 这一关键隐性条件；第2问中转化出的方程,不能认清其根的实质特点,为两大于 3 的根 . 技巧与方法：此题巧就巧在采纳了等价转化的方法,借助函数方程思想,奇妙解题 . 解：（ 1）x 30 x 3 或 x3. x 3fx定义域为 , , 3 设 x1x2 ,有x 13x236 x 1x230x 13x23x 13x 2当
4、 0m1 时, fx为减函数,当m1 时, fx为增函数 . （2）如 fx在 , 上的值域为log mm 1,log mm 10m1, fx为减函数 . 名师归纳总结 flogm3logmm 1 第 1 页,共 7 页3flogm3logmm 1 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即m22 m1 3m优秀学习资料欢迎下载1 0 ,0又3m22 m1 3 m1 即 , 为方程 mx 2+2m 1x 3m 1=0 的大于 3 的两个根0m1ABC 的两个内角 .求证：16m216m100m2432 m132mmf3 0故当 0m243时,满意题意条件的
5、m 存在 . 例 2已知函数fx=x2 m+1 x+mmR 1如 tanA,tanB 是方程 fx+4=0 的两个实根, A、B 是锐角三角形m5; 2对任意实数 ,恒有 f2+cos 0,证明 m3; 3在2的条件下,如函数 fsin 的最大值是 8,求 m. 命题意图：此题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范畴 .属级题目 . 学问依靠：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件,三角函数公式 . 错解分析：第 1问中易漏掉 0 和 tanA+B 0,第 2 问中如何保证 fx在 1,3恒小于等于零为关键 . 技巧与方法：深挖题意,做到题意条件都明确,隐性条件留意
6、列 .列式要周到,不遗漏 . （1）证明： fx+4=0 即 x 2 m+1x+m+4=0.依题意： m1 24 m4 0又 A、B 锐角为三角形内两内角tanAtanBm10tanAtanBm10tanAtanBm402A+B tanA+B0,即tanAB1tanAtanBm3m22m150m10m40m5 m10m32证明： fx= x 1x m 又 1 cos 1, 12+cos 3,恒有 f2+cos 0 即 1x3 时,恒有 fx0 即x 1x m0 mx 但 xmax=3, mxmax=3 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - -
7、- - - - - 3解： fsin =sin优秀学习资料欢迎下载12mm41 22 m+1sin +m=sinm 2且m12,当 sin = 1 时, fsin 有最大值 8. 2即 1+m+1+ m=8, m=3 锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想,系和转化 .考生应做到：要留意函数, 方程与不等式之间的相互联（1）深刻懂得一般函数 y=fx、y=f 1x的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换）,娴熟把握基本初等函数的性质,这是应用函数思想解题的基础 . （2）亲密留意三个“ 二次” 的相关问题,三个“ 二次” 即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重
8、要内容,具有丰富的内涵和亲密的联系 .把握二次函数基本性质,二次方程实根分布条件,二次不等式的转化策略 . 消灭难点训练一、挑选题1.（）已知函数 fx=log ax 2a 2对任意 x1,+都有意义,就2实数 a 的取值范畴是 A.0, 1 B.0, 1 C.1,1 D. 1, 1 ）4 4 4 4 22.（）函数 fx的定义域为 R,且 x 1,已知 fx+1为奇函数,当 x1 时,fx=2x 2 x+1,那么当 x1 时, fx的递减区间是 A. 5 ,+ B.1, 5 C.7 ,+ D.1, 7 4 4 4 4二、填空题3.（） 关于 x 的方程 lg ax 1 lg x 3=1 有解
9、,就 a 的取值范畴是 . 4.（）假如 y=1 sin 2x mcosx 的最小值为4,就 m 的值为 . 三、解答题5.（）设集合A= x 4 x 2x+2+a=0,xR. （1）如 A 中仅有一个元素,求实数 a 的取值集合 B；（2）如对于任意 aB,不等式 x 2 6xax 2恒成立,求 x 的取值范畴 . 6.（）已知二次函数 fx= ax 2+bxa,b 为常数,且 a 0满意条件 :fx 1=f3 x且方程 fx=2 x 有等根 . （1）求 fx的解析式；（2）是否存在实数 m,nmn,使 fx定义域和值域分别为m,n和 4m,4n,假如存在,求出 m、n 的值；假如不存在,
10、说明理由 . 7.（） 已知函数 fx=6x 6x gnx=fgn 1x,2,设函数 g1x=fx, g2x=f g1x, g3x=f g2x, （1）求证： 假如存在一个实数x0,满意 g1x0=x0,那么对一切nN,gnx0=x0 都成立；（2）如实数 x0 满意 gnx0=x0,就称 x0 为稳固不动点,试求出全部这些稳固不动点；（3）设区间 A=（ ,0）,对于任意 xA,有 g1x=fx= a0, g2x= fg1x=f0 0,且 n2 时, gnx0.试问是否存在区间B（A B）,对于区间内任意实数x,只要 n2,都有 gnx0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
11、,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8.（）已知函数优秀学习资料欢迎下载fx=11a0,x0. ax（1）求证 :fx在0,+上是增函数；（2）如 fx 2x 在0,+上恒成立,求 a 的取值范畴；（3）如 fx在 m,n上的值域是 难点磁场m,nm n,求 a 的取值范畴 . 参 考 答 案1.解析：设 t=3x,就 t 1,3,原不等式可化为a2 a 3 2t 2+t,t 1,3. 等价于 a2 a 3 大于 ft= 2t2+t 在 1,3上的最大值 . 答案： , 12,+ 2.解：（ 1）当 a=1,b= 2 时, fx=x 2 x 3,由题意可知故当 a=1
12、,b= 2 时, fx的两个不动点为1,3. x=x 2 x 3,得 x1= 1,x2=3. （2） fx=ax 2+b+1x+b 1a 0恒有两个不动点,x=ax 2+b+1x+b 1,即 ax 2+bx+b 1=0 恒有两相异实根 =b 2 4ab+4a0bR恒成立 . 于是 =4a 2 16a0 解得 0a1 故当 bR,fx恒有两个相异的不动点时,0a1. （3）由题意 A、B 两点应在直线y=x 上,设 Ax1,x1,Bx2,x2 又 A、B 关于 y=kx+2a11对称 . x2 a11上有2k= 1.设 AB 的中点为 Mx,y x1,x2 是方程 ax2+bx+b 1=0 的两
13、个根 . x=y=x 12x2b,又点 M 在直线y2a2bb2 a11,即b2 aa12a1 1a2 0,1时取等号,22a2 a22a0, 2a+1 2 a2 当且仅当 2a=1 即 a= a故 b212,得 b 的最小值2. 4 消灭难点训练一、1.解析： 考查函数 y1=x 和 y2=2a x 的图象, 明显有 0 2a1.由题意1 2a 122得 a=1 ,再结合指数函数图象性质可得答案 4. 答案： A 2.解析： 由题意可得 f x+1= fx+1. 令 t= x+1,就 x=1 t,故 ft= f2 t,即 fx= f2 x. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
14、,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7 ,其递减区间为87 , +. 4当 x1,2 x1,于是有 fx= f2 x= 2x7 24答案： C 3.解析：明显有x3,原方程可化为ax110x3故有 10 a x=29,必有 10 a0 得 a10 又 x= 293 可得 a1. 10 a 3答案：1 a10 32m 2 m4.解析：原式化为 y cos x . 2 4当 m 1,ymin=1+m= 4 m= 5. 22当 1m 1,ymin= m= 4 m= 4 不符 . 2 4当 m 1,ymin=1 m= 4 m=5. 2答案：5 二、 5.解
15、： 1令 2 x=tt 0,设 ft=t 2 4t+a. 由 ft=0 在0,+有且仅有一根或两相等实根,就有ft=0 有两等根时, =016 4a=0a=4 2x=4,x=2,即 A 中只有验证： t 2 4t+4=0t=2 0,+ ,这时 x=1 ft=0 有一正根和一负根时,f00a0 如 f0=0,就 a=0,此时 4x 42x=02 x=0（舍去）,或一个元素综上所述, a0 或 a=4,即 B= aa0 或 a=4 （2）要使原不等式对任意 成立 .只须a ,0 4恒成立 .即 ga= x 2a x2 6x 0 恒名师归纳总结 x20x2280517x2 第 5 页,共 7 页x1
16、0 xg 4 06.解：（ 1）方程 ax2+bx=2x 有等根, =b 22=0,得 b=2. 由 fx 1=f3 x知此函数图象的对称轴方程为x=b=1 得 a= 1,故 fx= x 2+2x. 2a（2）fx= x 12+1 1, 4n1,即 n14而抛物线 y= x 2+2x 的对称轴为x=1 n1 时, fx在 m,n上为增函数 . 4如满意题设条件的m,n 存在,就fm 4 mfn4 n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即m22m4mm优秀学习资料欢迎下载0 或m2n22n4nn0 或n2又 mn1,m= 2,n=0,这时定义域为2,0,值
17、域为8,0. 4由以上知满意条件的m、n 存在, m= 2,n=0. 7.1证明：当 n=1 时, g1x0=x0明显成立；设 n=k 时,有 gkx 0=x0kN成立,就 gk+1x0=fgkx0=fx0=g1x0=x0即 n=k+1 时,命题成立 . 对一切 nN,如 g1x0=x0,就 gnx0=x0. （2）解：由（ 1）知,稳固不动点 x0 只需满意 fx0=x0由 fx0=x0,得 6x0 6x0 2=x0, x0=0 或 x0= 56稳固不动点为 0 和 5. 63解： fx0,得 6x 6x 20 x0 或 x1. gnx0 fgn1x 0 gn1x0 或 gn1x1 要使一切
18、 nN,n2,都有 gnx0,必需有 g1x 0 或 g1x1. 由 g1x0 6x 6x 20 x0 或 x1 由 g1x0 6x 6x 21 3 3 x 3 36 6故对于区间 3 3 , 3 3和1,+内的任意实数 x,只要 n2,nN,都有 gnx 0. 6 68.1证明：任取 x1x20,fx1 fx2= 1 1 1 1 1 1 x 1 x 2a x 1 a x 2 x 2 x 1 x 1 x 2x1x20,x1x20,x1 x2 0, fx1 fx20,即 fx1fx2,故 fx在 0,+ 上是增函数 . 2x=（2）解：112x 在0,+上恒成立,且a0, 12（当且仅当axa2
19、11在（0,+）上恒成立,令gx 21121x2 x4xxxx2.故 a 的取值1 即 x= x2 时取等号）,要使 2a2x11在0,+上恒成立,就a4x范名师归纳总结 围是2,+. 第 6 页,共 7 页4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3解：由（ 1）fx在定义域上是增函数 . 名师归纳总结 m=fm,n=fn,即 m21m+1=0 ,n21 an+1=0 12第 7 页,共 7 页a故方程 x21x+1=0 有两个不相等的正根m,n,留意到 mn=1,故只需要 =aa40,由于 a0,就 0a1 . 2- - - - - - -