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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -绝密启用前2022 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学 留意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2作答时,将答案写在答题卡上；写在本试卷及草稿纸上无效；3考试终止后,将本试卷和答题卡一并交回；一、挑选题：此题共12 小题,每道题5 分,共 60 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；112i3 i 5B43 i 5Z,yZC34 i 5D34 i 512iA4 55552已知集合Ax,yx2y2 ,x,就 A 中元素的个数为A9 B8 1,就aC5 D4 exx
2、ex的图像大致为3函数fx22ab4已知向量a , b 满意 |a|1,a bA4 y21aB3 C2 D0 3x5双曲线2 x0,b0的离心率为3 ,就其渐近线方程为a2b2Ay2xcosC 2By3xCy2xDy225,BC1,AC6在ABC中,5,就 ABD 2 55A 42C29B301 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7为运算S111111,设计了右侧的程序框图,开头23499100就
3、在空白框中应填入TNTNNii0,T0TAii1是1否Bii2100Cii31SNDii4i1输出Si1终止8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的讨论中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ,如 30 7 23 在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是1 1 1 1ABCD12 14 15 189在长方体 ABCD A B C D 中,AB BC 1,AA 1 3,就异面直线 AD 与 DB 所成角的余弦值为A1B5 C5 D25 6 5 210如 f x cos x sin x 在 a a 是减函数,就 a 的最大值是
4、 3ABCD4 2 411已知 f x 是定义域为 , 的奇函数,满意 f 1 x f 1 x 如 f 1 2,就f 1 f 2 f 3f 50A50 B0 C2 D50 2 212已知 F ,F 是椭圆 C：x2 y2 1 a b 0 的左,右焦点,A 是C的左顶点,点 P 在过 A 且斜率a b为 3 的直线上,PF F 2 为等腰三角形,F F P 120,就 C 的离心率为62 1 1 1ABCD3 2 3 4二、填空题：此题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分；13曲线 y 2ln x 1 在点0, 0处的切线方程为 _x 2 y 5 0,14如 x y 满意约束条件 x 2
5、y 3 0,就z x y 的最大值为 _x 5 0,2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -15已知sincos1, cossin0,就 sin_16已知圆锥的顶点为S ,母线 SA, SB 所成角的余弦值为7, SA与圆锥底面所成角为45,如SAB的8面积为 5 15 ,就该圆锥的侧面积为_三、解答题：共70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；第1721 题为必考题,每个试题考生都必需作
6、答；第22、23 为选考题,考生依据要求作答；（一）必考题：共60 分；17（ 12 分）记S 为等差数列 a n的前n 项和,已知a 17,S 315（1）求a n的通项公式；（2）求S ,并求S 的最小值18（ 12 分）下图是某地区 2000 年至 2022 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图为了猜测该地区 2022 年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量 t 的两个线性回来模型 依据 2000年至 2022 年的数据（时间变量t 的值依次为 1 2, , , ）建立模型：y .30.413.5 t ；依据 2022 年至 2022 年的数据（时间变量t 的值依次为 1
7、 2, , ）建立模型：y .9917.5t （1）分别利用这两个模型,求该地区2022 年的环境基础设施投资额的猜测值；（2）你认为用哪个模型得到的猜测值更牢靠？并说明理由19（ 12 分）设抛物线C：y24x的焦点为 F ,过 F 且斜率为k k0的直线l与C交于 A , B 两点, |AB|8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -
8、 - - - -20（ 12 分）如图,在三棱锥PABC 中,ABBC2 2,PAPBPCAC4, O 为 AC 的中点（1）证明： PO平面 ABC ；MPAC 为 30 ,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值（2）如点 M 在棱 BC 上,且二面角PAOCB M21（ 12 分）x 2已知函数 f x e ax （1）如 a 1,证明：当 x 0 时,f x 1；（2）如 f x 在 0, 只有一个零点,求 a （二）选考题：共 10 分；请考生在第 22、23 题中任选一题作答；假如多做,就按所做的第一题计分；22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）x 2cos ,在直角坐标
9、系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为（ 为参数）,直线 l 的参数方程为y 4sin x 1 t cos ,（ t 为参数）y 2 t sin （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）如曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 1,2 ,求 l 的斜率23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数f x 5|xa|x2|的解集；（1）当a1时,求不等式f 0（2）如f x 1,求a的取值范畴参考答案 : 一、挑选题1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
10、 - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、填空题13.y2x14.9 15.116. 40 22三、解答题17. 12 分 解：（ 1）设 an的公差为 d,由题意得3 a 13d15. 由a 17得 d=2. . 所以 a n的通项公式为a n2n9. （2）由（ 1）得S n2 n8 nn4216所以当 n=4 时 ,S 取得最小值 ,最小值为 - 16. 18.12 分 解：（ 1）利用模型 ,该地区 2022 年的环境基础设施投资额的猜测值为y .30.41
11、3.519226.1亿元 . 利用模型 ,该地区 2022 年的环境基础设施投资额的猜测值为y .9917.59256.5亿元 . （2）利用模型得到的猜测值更牢靠. 理由如下：（）从折线图可以看出 ,2000 年至 2022 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y 30.4 13.5 t 上下.这说明利用 2000 年至 2022 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 .2022 年相对 2022 年的环境基础设施投资额有明显增加,2022 年至 2022 年的数据对应的点位于一条直线的邻近,这说明从 2022 年开头环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 ,
12、利用 2022 年至2022 年的数据建立的线性模型 y . 99 17.5 t 可以较好地描述 2022 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 ,因此利用模型得到的猜测值更牢靠 . （）从运算结果看 ,相对于 2022 年的环境基础设施投资额 220 亿元 ,由模型得到的猜测值 226.1 亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型得到的猜测值的增幅比较合理 .说明利用模型得到的猜测值更牢靠 . 以上给出了 2 种理由 ,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 . 19.12 分 5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 -
13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（ 1）由题意得F1,0,l 的方程为yk x1k0. 设Ax 1,y1,Bx2,y2,y2x3,即yx5. 由yk x1, 得2 2k x2k24xk20. 2 y4x16k2160,故x 1x 22k224. k所以|AB| |AF|BF| x 11x214k224. k由题设知4k2248,解得k1（舍去）,k1. k因此 l 的方程为yx1. （2）由（1）得 AB 的中点坐标为3, 2 ,所以 AB 的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为x 0,y 0,就y 0
14、x 05,x 02 116.解得x 03,或x 011,y 0x 02 1y 02y 06.144. 2因此所求圆的方程为x32y2216或x112y6220.12 分 解：（ 1）由于APCPAC4, O 为 AC 的中点,所以 OPAC ,且OPO2 3. xyz. 连结 OB .由于ABBC2AC ,所以ABC为等腰直角三角形,2且 OBAC ,OB1AC2. 2由OP2OB22 PB 知 POOB . 由OPOB OPAC 知 PO平面 ABC . uuur（2）如图,以 O 为坐标原点, OB的方向为 x 轴正方向,建立空间直角坐标系6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
15、 - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由已知得O0,0,0,B2,0,0,A 0, 2,0,C0,2,0,P 0,0,23,uuur AP0,2,23,取平面 PAC 的法向量uuur OB2,0,0. 4,3 ,a,设M a ,2a ,00a2,就uuur AM ,4a ,0. 设平面 PAM 的法向量为n , , . 由uuur APn0,uuur AMn0得2y2 3z00,可取n 3aax4a y3 2. 所以cosuuur OB,n2
16、32 3a4a2.由已知得| cosuuur OB,n|a423 a2所以2 32 3 |a4|a2=3.解得a4（舍去）,a4. a423a22,n3. 3所以n8 3 4 3 ,3 3,4.又uuur PC0,2, 2 3,所以cosuuur PC34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为3. 421（12 分）【解析】（1）当a1时,f x 1等价于2 x1ex1x0x2 1 ex设函数g x x21ex1,就g x x22x1e当x1时,g x 0,所以g x 在 0, 单调递减x0时,g x 0,即f x 1而g00,故当7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -
17、- - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）设函数h x 1ax2exf x 在 0, 只有一个零点当且仅当h x 在 0, 只有一个零点16a31t 11t20（i）当a0时,h x 0,h x 没有零点；（ii ）当a0时,h x ax x2ex当x0,2时,h x 0；当x2,时,h x 0所以h x 在 0, 2 单调递减,在2, 单调递增故h214a是h x 在 0, 的最小值2 e如h20,即a2 e,h x 在 0,没有零点；4如h20,
18、即ae2,h x 在 0,只有一个零点；4如h20,即ae2,由于h01,所以h x 在 0, 2 有一个零点,4由（ 1）知,当x0时,x e2 x ,所以h4 116a3116a31e4ae2a22 4a故h x 在 2,4a有一个零点,因此h x 在 0, 有两个零点综上,f x 在 0, 只有一个零点时,a2e422 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为x2y214161t ,2t ,就0当 cos0 时, l 的直角坐标方程为ytanx2tan,当 cos0 时, l 的直角坐标方程为x1（2）将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程,整
19、理得关于t 的方程13cos2t242cossint80由于曲线 C 截直线 l 所得线段的中点1,2 在 C 内,所以有两个解,设为8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又由得t1t242cossin,故 2cossin0,于是直线l的斜率ktan213cos223 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分）2x4,x1,f 1等价于 |a2 | 4【解析】（1）当a1时,f x 2, 1x2,2x6,x2.可得f x 0的解集为 x| 2x3（2）f x 1等价于|xa|x2 | 4而 |xa|x2 | |a2 |,且当x2时等号成立故, 6U2,由 |a2 | 4可得a6或a2,所以 a 的取值范畴是9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -