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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 选修 4-5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列 4-5 专题不等式选讲,内容包括：不等式的基本性质、含有确定值的不等式、不等式的证明、几个闻名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式；通过本专题的教学,使同学懂得在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学争论和数学应用中起着重要的作用；使同学了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的懂得,提高同学的规律思维才能和分析问题解决问题的才能；二、教材内容分析作为一个选修专题,虽然同学已经学习了高中必修课程的 5
2、个模块和三个选修模块,教材内容仍以中学学问为起点,在内容的出现上保持了相对的完整性整个专题内容分为四讲,结构如下图所示：第一讲是“ 不等式和确定值不等式” ,为了保持专题内容的完整性,教材回忆了已学过的不等式 6 个基本性质, 从“ 数与运算” 的思想动身,强调了比较大小的基本方法；回忆了二元基本不等式, 突出几何背景和实际应用,同时推广到 n 个正数的情形, 但教学中只要求懂得把握并会应用二个和三个正数的均值不等式；对于确定值不等式,借助几何意义,从“ 运算” 角度,探究归纳了确定值三角不等式,并用代数方法给出证明；通过争论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有确定值不等式的一般思想和方法,而
3、不是系统争论；其次讲是“ 证明不等式的基本方法” ,教材通过一些简洁问题,回忆介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法；其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容；这些方法大多在选修 2- 2“ 推理与证明” 已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使同学明确不等式放缩的几个简洁途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母, 应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）；容；本讲内容也是本专题的一个基础内第三讲是“ 柯西不等式和排序不等式” ；这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介
4、绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用；其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点；事实上, 柯西不等1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式和均值不等式在求最值方面的简洁应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工； 比如 课本 P41 页,习题 3.2 第四题；排序不等式只作明白,建议在老师指导下由同学阅读自学,明白教材中呈现的“ 探究猜想证明应用” 的争论过程,初步熟悉排序不等式的有关学问；2-2 中也学过, 建议放在其次 第四讲是“ 数学归纳法证明不等式” 数
5、学归纳法在选修 讲,结合放缩法的教学,进一步懂得“ 归纳递推” 的证明；同时明白贝努利不等式及其在数 学估算方面的初步运用；三、教学目标要求 1不等式的基本性质 把握不等式的基本性质,会应用基本性质进行简洁的不等式变形；2含有确定值的不等式 懂得确定值的几何意义,懂得确定值三角不等式,会解确定值不等式；3不等式的证明 通过一些简洁问题明白证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法 4几个闻名的不等式1 熟悉柯西不等式的几种不同形式,懂得它们的几何意义,会用二维三维柯西不等式进行简洁的证明与求最值；2 懂得把握两个或三个正数的算术几何平均不等式并应用；3 明白 n
6、个正数的均值不等式,5利用不等式求最大（小）值n 维柯西不等式,排序不等式,贝努利不等式会用两个或三个正数的算术几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值；6数学归纳法与不等式明白数学归纳法的原理及其使用范畴；会用数学归纳法证明简洁的不等式；会用数学归纳法证明贝努利不等式；四、教学重点难点 1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、确定值不等式的解法 及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；2、本专题的教学难点： 三个正数的算术- 几何平均不等式及其应用、确定值不等式解法；用反证法,放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式
7、以及求最值等；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、教学总体建议1、回忆并重视同学已学学问学习本专题,同学已把握的学问有：第一、中学课标要求的不等式与不等式组 1 依据详细问题中的大小关系明白不等式的意义,并探究不等式的基本性质； 2 解简洁的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集；解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集； 3依据详细问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简洁的问题其次、高中必修 5 不等式内容： 1 不等关系；通过详细情境,感受在现实世界和日常生活中存在
8、着大量的不等关系,了解不等式（组）的实际背景； 2 一元二次不等式； 3 二元一次不等式组与简洁线性规划问题； 4 基本不等式及其应用（求最值）；第三、高中选修 2-2 推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容；回忆并重视同学在学习本课程时已把握的相关学问,可适当指导同学阅读自学,设置梯度恰当的习题, 采纳题组教学的形式,达到复习巩固系统化的成效,类似于高考其次轮的专题复习,构建学问体系；2、掌握难度不拓展在解确定值不等式的教学中,要掌握难度：含未知数的确定值不超过两个；确定值内的关于未知数的函数主要限于一次函数；解含有确定值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以争论
9、,把含有确定值的不等式转化为不含确定值的不等式；不等式证明的教学,主要使同学把握比较法、综合法、 分析法, 其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法,应用柯西不等式和排序不等式的证明,只要求明白；代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧；这些技巧是极为重要的,但对大多数同学来说,往往很难把握这些技巧,教学中要尽力使同学懂得这些不等式以及证明的数学思想,对一些技巧不做更多的要求,不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中；3、重视不等式的应用3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式应用的教学,主要是引导同学解决
10、涉及大小比较、解不等式和最值问题,其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解；对于超过3 个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求；4、重视呈现闻名不等式的背景 几个重要不等式大都有明确的几何背景；老师应当引导同学明白重要不等式的数学意义和几何背景, 使同学在学习中把握这些几何背景,力求直观懂得这些不等式的实质；特殊是对于 n 元柯西不等式、 排序不等式、 贝努利不等式等内容,识；4 可指导同学阅读明白相关背景知名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 不等
11、式和确定值不等式课题：第 01 课时不等式的基本性质教学目标：1 懂得用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式争论的基础；2 把握不等式的基本性质,并能加以证明；会用不等式的基本性质判定不等关系和用 比较法,反证法证明简洁的不等式；教学重点： 应用不等式的基本性质推理判定命题的真假；代数证明,特殊是反证法；教学难点： 敏捷 应用不等式的基本性质；教学过程：一、引入 ：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系；列子 .汤问中脍炙人口的“ 两小儿辩日” ：“ 远者小而近者大”、“ 近者热而远者凉”,就从侧面说明白现实世界中不等关系的广泛存在； 日常生活中息息相关的问题,如“ 自来水管的
12、直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢.” 、“ 电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“ 用一块正方形白铁皮,在它的四个角各 剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子；要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小 正方形？” 等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关学问才能得到解决；而且,不等式在数学争论中也起着相当重要的作用；本专题将介绍一些重要的不等式（含有确定值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明,数学归纳法和它的简洁应用等；人与人的年龄大小、高矮胖瘦, 物与物的外形结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这说明现实世界中的量,不等是普遍的、确定的,
13、而相等就是局部的、相 对的；仍可从引言中实际问题动身,说明本章学问的位置和作用；生活中为什么糖水加糖甜更甜呢.转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖 ab0,如再加 mm0 克糖,就糖水更甜了,为什么. ,只要证bmb分析：起初的糖水浓度为b ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 abmamama即可；怎么证呢. 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小次序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可知：abab0abab0abab0
14、得出结论：要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可；2、不等式的基本性质：、假如 ab,那么 ba,假如 bb； 对称性 、假如 ab,且 bc,那么 ac,即 ab,bc ac；、假如 ab,那么 a+cb+c,即 ab a+cb+c；推论：假如 ab,且 cd,那么 a+cb+d即 ab, cd a+cb+d、假如 ab,且 c0,那么 acbc；假如 ab,且 c0,那么 acb 0,那么anbnbnN,且 n1、假如 ab 0,那么anN,且 n1；nn三、典型例题 ：例 1、比较x3 x7和x4x6 的大小；分析：通过考察它们的差与0 的大小关系,得出这两个多项式的大小关系；
15、例 2、已知ab,cd,求证：acbbd例 3、已知 ab0,cd0,求证：a；dc四、课堂练习 ：1：已知x3,比较x311 x与6x26的大小；2：已知 ab0,cd0, 求证：aad；bcb五、课后作业 ：课本 P 第 1、2、 3、4 题六、教学后记 ：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题：第 02 课时基本不等式教学目标：1. 学会推导并把握均值不等式定理；2. 能够简洁应用定理证明不等式并解决一些简洁的实际问题；教学重点： 均值不等式定理的证明及应用；教学难点： 等号成立的条件及解题中的转化技巧；
16、教学过程：一、学问学习：定理 1：假如 a、bR,那么 a 2 b 2 2ab（当且仅当 ab 时取“ ” 号）证明： a 2 b 2 2ab（ ab）2当 a b 时,（ ab）20,当 ab 时,（ab）20 所以,（ ab）20 即 a 2 b 2 2ab由上面的结论,我们又可得到定理 2（基本不等式） ：假如 a,b 是正数,那么a bab（当且仅当ab 时取“ ”2号）证明：（a ）2（b ）22 aba ba b2 ab,即2ab明显,当且仅当 a b 时,a b 2ab说明： 1）我们称a b2 为 a, b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均数,因而,此定理又可表达
17、为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 2）a 2b 22ab 和a b 2ab 成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数 . 3）“ 当且仅当” 的含义是充要条件 . 4）几何意义 . 二、例题讲解：例 1 已知 x, y 都是正数,求证：（1）假如积 xy 是定值 P,那么当x y 时,和 xy 有最小值 2P ；7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）假如和 xy 是定值 S,那么当 xy 时,积 xy 有最大值1 4S 2证明：由于x,y 都是正数,所以
18、x yxyxy2P2（1）积 xy 为定值 P 时,有xy 2P上式当 xy 时,取“ ” 号,因此,当xy 时,和 xy 有最小值 2 P . （2）和 x y 为定值 S 时,有 xy S 2xy14S 2 上式当 x=y 时取“ ” 号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 14S 2 . 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应留意三个条件：）函数式中各项必需都是正数 ; 函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；）等号成立条件必需存在；例 2 ：已知 a、b、c、d 都是正数,求证：（ab cd）（acbd） 4abcd分析：此题要求同学留意与均值不等式定理的“ 形” 上
19、发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的熟悉 . 证明：由 a、b、c、 d 都是正数,得abcdabcd 0,acbdacbd 0,22（abcd）（ acbd）4abcd即（ abcd）（acbd） 4abcd例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m 3,深为 3m,假如池底每1m 2 的造价为 150 元,池壁每 1m 2的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？分析： 此题第一需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理. l 元,依据题意,得解：设水池底面一边的长度为xm
20、,水池的总造价为l 240000720（x1600） 240000720 2x1600 xx240000720 2 40 297600 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x1600 x,即 x40 时, l 有最小值 297600 因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时, 水池的总造价最低, 最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用,应留意数学语言的应用即函数解析式的建 立,又是不等式性质在求最值中的应用,应留意不等式性质的适用条件 . 三、课堂练习：课本 P91练习 1,
21、2,3,4. 四、课堂小结：通过本节学习,要求大家把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,五、课后作业 课本 P10习题 1.1 第 5,6,7 题 六、教学后记：,但是在应用时,应留意定理的适用条件；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题：第 03 课时三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：1能利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简洁的不等式,解决最值问题；2明白基本不等式的推广形式；教学重点： 三个正数的算术- 几何平均不等式教学难点： 利用三
22、个正数的算术 教学过程：一、学问学习：- 几何平均不等式证明一些简洁的不等式,解决最值问题定理 3：假如2a,b,cR,那么abc3abc；当且仅当abnc时,等号成立；3推广：a 1ananna 1a2a n；当且仅当a 1a2a时,等号成立；语言表述： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；摸索：类比基本不等式,是否存在：假如a,b,cR,那么a3b3c33abc（当且仅当abc时,等号成立）呢？试证明；二、例题分析：例 1：求函数y232x23x0 的最小值；2123 34ymin3 34x解一：y2x32x2123 32xxxxxx解二：y2x2322x2326x当2x23即x
23、312 2时xxxymin261223 312263242上述两种做法哪种是错的？错误的缘由是什么？变式训练 1如a,bR且ab,求aa1b b的最小值；由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_ 例 2 ：如下图,把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大？10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 2 已知：长方体的全面积为定值,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体积最大,求出
24、这个最大值由例题,我们应当更牢记 一 _ 二 _ 三 _ ,三者缺一不行；另外,由不等号的方向也可以知道：积定 三、巩固练习_ ,和定 _. 1.函数y3 x12x0 的最小值是 D.12 的最小值；x2A.6 B.66C.9 2.函数y4x2x161 2的最小值是 _ D. 32 272x2的最大值是（）3函数yx42x20C.16 27A.0 B.1 4.2022 浙江自选 已知正数x ,y ,z满意xyz1,求4x4y4z25（2022,江苏, 21）设a ,1 3 cabc23b ,c为正实数,求证：11a3b3四、课堂小结：通过本节学习,要求大家把握三个正数的算术平均数不小于它们的几
25、何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,五、课后作业 P10习题 1.1 第 11,12, 13 题 六、教学后记：,但是在应用时,应留意定理的适用条件；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题：第 04 课时确定值三角不等式教学目标：1：明白确定值三角不等式的含义,懂得确定值三角不等式公式及推导方法,会进行简单的应用；2：充分运用观看、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学思想,并能运用确定值三角不等式公式进行推理和证明；教学重点： 确定值三角不等式的含义,确定值三角不
26、等式的懂得和运用；教学难点： 确定值三角不等式的发觉和推导、取等条件；教学过程 ：一、复习引入：关于含有确定值的不等式的问题,主要包括两类： 一类是解不等式,另一类是证明不等式；本节课探讨不等式证明这类问题；1请同学们回忆一下确定值的意义；xx,假如xx00；0,假如x0x,假如几何意义：在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的确定值；2证明一个含有确定值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,常常仍要用到关于确定值的和、差、积、商的性质：（1）aa,当且仅当a0时等号成立,aa .当且仅当a0时等号成立；（2）（4）aaaa2,（3）abab,b0 bb那么abab.ab
27、ab.二、讲解新课：探究 : ba,b,abb , ab之间的什么关系. 结论： aaab0时,等号成立 . ）（当且仅当已知 a b 是实数,试证明：a ba b（当且仅当 ab0 时,等号成立 . ）方法一：证明 :1 0 . 当 ab 0 时 , 2 0. 当 aba ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范畴；17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、课堂练习 ：解以下不等式：1、2 x11 .2 .2、4 13xx14016 .3、32 xx4. 4、6、x12x. 5、2 x2x21x2. x3xx248、x1xx127、9、10、xx4五、课后作业 ：课本 20 第 6、 7、8、9 题；六、教学后记：18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲 证明不等式的基本方法课题：第 01 课时不等式的证明方法之一：比较法教学目标： 能娴熟地运用作