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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 函数一函数1、函数的概念：1定义： 设 A、B 是非空 的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个 数 x ,在集合 B 中都有 唯独确定 的数 f x 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y = f x ,x A其中, x 叫做自变量,x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 f x | x A 叫做函数的值域 2函数的三要素：定义域、值域、对应法就 3相同函数的判定方法：表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关；
2、定义域一样 两点必需同时具备 2、定义域：1定义域定义：函数 f x 的自变量 x 的取值范畴；2确定函数定义域的原就：使这个函数 有意义的实数的全体构成的集合；3确定函数定义域的常见方法：假设 f x 是整式,就定义域为全体实数假设 f x 是分式,就定义域为使分母不为零的全体实数例 : 求函数 y 1 的定义域；11x假设 f x 是偶次根式,就定义域为使被开方数不小于零的全体实数4 2 3x 3 x 4例1 求函数 y 的定义域；x 1 22 0例2 求函数 y 2 x 1 x 1 的定义域；对数函数的真数必需大于零指数、对数式的底必需大于零且不等于 1 假设 f x 为复合函数,就定义
3、域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确0定指数为零底不行以等于零,如 x 1 x 0 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 4求抽象函数复合函数的定义域2已知函数 f x 的定义域为 0,1 求 f x 的定义域已知函数 f x 1 的定义域为 0,1 求 f 1 3 x 的定义域3、值域 : 1值域的定义：与 x 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域；2确定值域的原就：先求定义域3常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数正余弦、正切名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 -
4、- - - - - - - - 4确定函数值域的常见方法：直接法 ：从自变量 x 的范畴动身,推出yf x 的取值范畴；af2 bf c 的函例：求函数yx1的值域；解：x0,x11,函数yx1 的值域为 1, ；配方法： 配方法是求“ 二次函数类” 值域的基本方法；形如F x 数的值域问题,均可使用配方法；例：求函数yx24x2x 1,1的值域；此类问题一般也可以解：yx24x2x226,x 1,1,x2 3, 1,1x2293x2265,3y5函数yx24x2x 1,1的值域为 3,5 ；别离常数法 ：分子、分母是一次函数得有理函数,可用别离常数法,利用反函数法；名师归纳总结 例：求函数y
5、1x的值域；第 2 页,共 11 页2x5解：y1x12x571275,2222x52x52x72250,y1,x2函数y1x的值域为y y1；2x52换元法 ：运用代数代换, 奖所给函数化成值域简单确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如 yaxbcxd a 、b 、c 、d 均为常数, 且a0的函数常用此法求解；例：求函数y2x12x 的值域；解：令t12x t0,就x1t2,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yt2t1t12524当t1,即x3时,ymax5,无最小值；0 ,284y12x 的值域为,5；函数y2x4判别式法： 把函数转化成关
6、于x 的二次方程F x y , 0；通过方程有实数根, 判别式a x 12b x 1c 1从而求得原函数的值域,形如a x2b xc a 、a 不同时为零 的函数的值域,常用此方法求解；例：求函数yx2x3的值域；y1xy30,x2x1解：由yx2x3变形得y1x2x2x1当y1时,此方程无解；4y1y30,当y1时, xR,y1211解得1y11,又y1,1y33函数yx2x3的值域为y|1y11 3x2x1值域为 y| 1y1练习：求函数y2x2x2的值域x2x14、函数的表示方法1解析法、列表法、图象法2求函数解析式的常见方法：换元法名师归纳总结 例：已知f 3x1x4x3, 求fx的解
7、析式 . 第 3 页,共 11 页例：假设1ffx. x, 求1xf x . f3,求x12x例：已知- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解方程组法例：设函数一变：假设f xf x 满意f x 1 +2 f x= xx 0,求fx函数解析式 . f x 是定义在R 上的函数,f01,并且对于任意实数,x y ,总有2f x y2xy1,求f x ；令 x=0 ,y=2x y待定系数法例：已知fx是一次函数,并且ffx4 x3求fx 解：设fxkxb,就bk2xkbb4x3ffxkfx bkkxb就k2b43,解得k2或k2b1b3x 2 x3kb故所求一
8、次函数解析式fx2 x1或f配变量法例：已知fxx1x21, 求fx 的解析式 . xx2例：假设f1 x2x, 求fx . 特别值代入法取特别值法名师归纳总结 例：假设fxyfx fy , 且f 12,x,y有第 4 页,共 11 页求值f2f 3f4f2005. f 1 f2f3 f2004例：设fx 是 R 上的函数,且满意f0 1并且对任意实数fxyfxy 2xy1求f x 的表达式解：设xy就f0 fxx 2xx1 1即fxx2x1或设x0就fyf 0 y y1 1yy1fx1xx1 x2x1利用给定的特性奇偶性周期性求解析式. - - - - - - -精选学习资料 - - - -
9、 - - - - - 例 ： 对 x R, fx 满 足fx fx1, 且 当 x 1,0时 , fx x22x求当 x 9,10时fx的表达式 . fx 就x1解析：fx fx1 ,就ffx1 fx1 ,fx fx2 ,T=2 5、分段函数 1 定义：在函数的定义域内,对于自变量的函数叫分段函数；x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样2 留意：分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数,而不是几个函数；写分段函数定义域时,区间端点不重不漏；6、复合函数假如yf u , uM,ugx ,xA 就yfgx Fx ,xA ,称为 f 、 g的复合函数；7、函
10、数图象问题1熟识各种基本初等函数的图象如：y0,yc 为常数,yx,y1,yff1,yx2xx2图象变换yxa 平移：yfx 向右平移a a0 个单位长度yx byfx 向上平移b b0 个单位长度对称：yfx 关于 x轴对称y-fx yfx 关于 y轴对称yf x yfx关于原点对称y-fx 翻折：yfx ,yfx留意：带肯定值的函数去肯定值方法有分情形争论法,平方法,图象法* 1. 求以下函数的定义域：课堂习题 * y x 22 x 15 y 1 x 1 2x 3 3 x 12. 设函数 f 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 _ _ 3. 假设函数 f x 1 的定义域
11、为 2,3 ,就函数 f 2 x 1 的定义域是x 2 x 14. 函数 f x x 2 1 x 2,假设 f x 3,就 x = 2 x x 25. 求以下函数的值域：名师归纳总结 yyx22x132xR yyx22x3x1,2第 5 页,共 11 页3xx24x5x 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 1增减函数和单调区间设函数 y f x 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x 1, x 2,当 x 1 x 2 时,都有 f x 1 f x 2 ,那么就说 f x 在
12、区间 D上是增函数. 区间 D称为 y f x 的单调增区间 . 如 果 对 于 区 间 D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x 1,x 2 当 x 1 x 2 时 , 都 有f x 1 f x 2 ,那么就说 f x 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y f x 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；2图象的特点假如函数yfx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数yf x 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3函数单调区间与单调性的判定方法重点A 定义法：1 任取 x 1, x 2D
13、,且 x 1 x 2；2 作差 f x 1 f x 2 ；3 变形通常是因式分解和配方；4 定号即判定差 f x 1 f x 2 的正负；5 下结论指出函数 f x 在给定的区间 D上的单调性B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性复合函数fg x 的单调性与构成它的函数ugx ,yfu的单调性亲密相关,其规律：“ 同增异减”留意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 写成其并集 . , 不能把单调性相同的区间和在一起名师归纳总结 例：是否存在实数a 使函数yfxlogaax2x 在闭区间2 , 4上是增函数？如第 6 页,共 11 页果存在,说明a 可取哪些值；假如不存在,说明理由
14、；解：当 a 1 时,为使函数yfxlogaax2x在闭区间,2 4 上是增函数只需gxax2x在闭区间,2 4 上是增函数,故gx1220得a1,又由a1 ,得a1 2 a4 a22当 0 a 0=00二次函数名师归纳总结 yax2bxc有两相等实根c没有第 10 页,共 11 页a0 的图象一元二次方程0x 1,x2有两不等实根4acbb2ax2bxcxx 1x2b 实根2a（a0）的根2ax 1x2一元ax2bxc0xxx 1x 1或xxx 2xxR ,且xb 实数二次（a20）c0xx2 2a集 R 不等axbx空集式的空集解 集（a0）5、一元二次方程ax2bxc0 a0,b24ac
15、0 的实根分布二次函数一元二次方程比较标准ax2bxc0充要条件yax2bx（a0）的实根a0 的图象x 1,x2 的分布方程两根与x 1x2Kfb0K2 a K0实数 K 比较Kx 1x2fb0K2 a K0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1Kx2fK0方程两根与K1x 11x2K2fKb0K201fK2 a1 0区间x1K1K2x2fK200K1,K2fK1比较fK20x 1K,K22K1fK2或x 2K1,K6、函数的零点与二分法1函数零点的定义假如 y f x 在实数 a 处的值等于零,即 f a 0,就 a 叫做这个函数的零点；一般地,
16、函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 的实数根, 也就是函数 y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标；所以,方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点；留意：并不是每个函数都有零点2函数零点的判定零点存在性定理假如函数yf x 在区间a ,b 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异a,b号,即fa fb 0,就这个函数在区间a ,b 上至少有一个零点,即存在一点x0使得fx00,这样的零点叫做变号零点,有时曲线通过零点时不变号,这样的零点叫做不变号零点；3二分法的概念对 于 区 间 a , b 上 连 续 且 满 足 f a f b 0 的 函 数 y f x 通 过 不 断 地 把 函 数y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,从而得到零点近似值的方法叫做二分法；4用二分法求函数零点近似值的一般步骤略名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页