《2022年高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的定义域与值域的常用方法一求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是 yf x,不能把它写成 f x,y 0；2、求函数解析式一般要写出定义域,但假设定义域与由解析式所确定的自变量的范畴一样时,可以不标出定义域；一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：1直接法：依据题给条件,合理设置变量,查找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出 y；2待定系数法：假设明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值；3换元法：假设
2、给出了复合函数f gx的表达式,求fx的表达式时可以令tg x,以换元法解之；4构造方程组法：假设给出 fx和 f x,或 fx和 f1/x的一个方程,就可以 x 代换 x或1/x,构造出另一个方程,解此方程组,消去 f x或 f 1/x即可求出 fx的表达式；5依据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后,查找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出 y 的表达式；要留意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,仍受其实际意义限定；二求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,
3、位置打算了自变量的范畴,最终将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,仍受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等；4、对复合函数yfg x的定义域的求解,应先由yfu求出 u 的范畴,即g x的范畴,再从中解出 x 的范畴 I1；再由 gx求出 ygx的定义域 5、分段函数的定义域是各个区间的并集；I 2,I 1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类争论,假设参数在不同的范畴内定义域不一样,就 在表达结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类争论,但在表达结论时需要对分类后求
4、得的各个集合求并集,作为该函数的定义域；三求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法就确定,常用集合或区间来表示；2、在函数 f：AB 中,集合 B 未必就是该函数的值域,假设记该函数的值域为 C,就 C 是 B 的子集；假 设 CB,那么该函数作为映射我们称为“ 满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类争论；表达结论时要就参数的不同范畴分别进行表达；5、假设对自变量进行分类争论求值域,应对分类后所求的值域求并集；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - -
5、 - - 6、求函数值域的方法非常丰富,应留意总结；四求函数的最值1、设函数 yf x定义域为 A ,就当 xA 时总有 f x fxo M ,就称当 x xo 时 f x取最大值 M ；当 xA 时总有 fxfx 1 N,就称当 xx 1 时 fx取最小值 N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值；【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接查找或构造变量之间的联系；例 1. 已知函数 yf x满意 xy0,4x29y2 36,求该函数解析式；解： 由 4x29y236 可解得：y2x2922 x9 ,x3；y2x29的形式；3329
6、 ,x32 x3说明： 这是一个分段函数,必需分区间写解析式,不行以写成32、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个 参变量的值；例 2. 已知在肯定条件下,某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比,又测得该段河流某段平均 水深为 2m 时,水流量为 340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式；y k y 780 , x 0 解： 设 x ,代入 x,y 的值可求得反比例系数 k780m3/s,故所求函数关系式为 x；3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换；例 3. 已知fx
7、x1x2xx11,试求f x ；f t t2t1,t 1；故得：f x2x1,x1；2xx1,就xt1,代入条件式可得：解：设t说明： 要留意转换后变量范畴的变化,必需确保等价变形；4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立求解；ff例 4. 1已知f x 2 13x24x5,试求f x ；x2已知f x 2fx3x24x5,试求f x ；解：1由条件式,以1f1 x2f x 31415,与条件式联立,消去f1,就得：x2xx 代
8、 x,就得xx28x24x5；x23x332由条件式,以x 代 x 就得：fx2f x 3x24x5,与条件式联立,消去fx ,就得：xx24x5；3说明：此题虽然没有给出定义域,但由于变形过程始终保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出；5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及学问点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系；例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 动身,顺次经过 路程, y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数；解： 由题意知：当 x 0,1时： yx；当 x 1,2时：yx21；1；当 x
9、2,3时：y3x2故综上所述,有yx,1,21,x0,1x2x1,23xx2,3考点二：求函数定义域C、D 再到 A 停止；设 x 表示 P 行驶的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置打算了变量不同的范畴,所以解题时要仔细分析变量所在的位置；最终往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合；yx2xx3x4的定义域；例 6. 求20解： 由题意知：x4,从而解得： x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x 2 且 x 4 ；2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集；例 7
10、. 已知函数由下表给出,求其定义域X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 6 17 解： 1 , 2,3,4,5, 6 ；3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 fu的定义域可以确定内函数 gx的范畴,从而解得 xI1,又由 gx定义域可以解得 xI2.就 I 1I2 即为该复合函数的定义域；也可先求出复合函数的表达式后再行求解；例8 已知f x x3,g x x2xx3,求yxf g x 的定义域 .4由 f x x3x3g x 3x332 x4解：* 又由于 x24x30 联立 *、* 两式可解得：93 3x1 或3xx93 31 或3x93 344故所求定义域为|93 3
11、4x4例 9. 假设函数 f2x的定义域是1,1,求 flog 2x的定义域；解： 由 f2x的定义域是1,1可知： 2 12x2,所以 f x的定义域为2 1,2,故 log2x 21,2,解得2x4,故定义域为2,4；4、求解含参数的函数的定义域：一般地,须对参数进行分类争论,所求定义域随参数取值的不同而不同；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10. 求函数f x ax1的定义域；解： 假设a0,就 xR；假设a0,就x1；a假设a0,就x1；a故所求函数的定义域：当a0时为 R,当a0时为x x1,当a0时
12、为x x1；aa说明：此处求定义域是对参变量a 进行分类争论, 最终表达结论时不行将分类争论的结果写成并集的形式,必需依据 a的不同取值范畴分别论述；考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法非常丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深化,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法；1、别离变量法例 11. 求函数y32x32x11,由于x110,故 y 2,所以值域为 y|y 2；x1的值域；解：y2x2x11x1x1说明： 这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量 求解；2、配方法 例 12. 求函数 y2x24x 的值域；x,可通过等价变形,让变量只显现在分母中,再
13、行解： y2x24x2x22x1 22x1222,故值域为 y|y 2 ；说明： 这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域；类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采纳此方法求解,如 yaf2x bfx c；3、判别式法名师归纳总结 例 13. 求函数yx222x3的值域；0可解得：第 5 页,共 7 页4x5x6解：yx22x34x25 x6可变形为：4y1x2 5y2x 6y3 0,由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y266 3 26 ,716 3；71说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采纳此法；要留意两
14、点：第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出；假如题中条件另外给出了定义域,那么一般情形下就不能用此法求解值域；其次, 用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故0；4、单调性法例 14. 求函数yy223,x 4,5的值域；13,所以函数的值域为x3为增函数,故当5解： 由于函数xx4 时, ymin 2；当 x5 时, y max 55 13 , 2 5；5、换元法例 15. 求函数y2x04 1x 的值域；y|y 4；解： 令t1x,就 y 2t2 4t2 t124,t 0,
15、故所求值域为6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集；例 16. 求函数yx x1,2的值域；2 x,x2,32x1,x3,4解： 当 x 1,2时, y 1,2；当 x2,3时, y4,9；当 x3,4时, y5,7；综上所述, y 1,23,9；7、图像法：例 17 设 fxx2,x2,假设 fgx的值域是 0, ,就函数 ygx的值域是 x x1,A. , 1 1, B. , 10 , 名师归纳总结 C.0 , D.1 , 第 6 页,共 7 页解析： 如图为 fx的图象,由图象知fx的值域为 1, ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设
16、fgx的值域是 0, ,只需 gx, 10, .应选 B. 8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域；例 18 求函数y12x的值域；,112x解：由y12x解得2x1yx1y12 2 x0,1 1y0,1yy函数y1x 2的值域为y 1,1；12x9、有界性求法 ： 利用某些函数有界性求得原函数的值域；名师归纳总结 例 19：求函数y2 x1的值域；1R,对函数进行变形可得y1x2y1,第 7 页,共 7 页2 x1解：由函数的解析式可以知道,函数的定义域为y1,x2y1 xR,y,y1y10,1y1,y11函数yx21的值域为 y| 1yx21- - - - - - -