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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 难点 26 关于垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一,考查内容敏捷多样.本节主要帮忙考生深刻懂得线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质,并能利用它们解决一些问题 . 难点磁场 已知斜三棱柱ABCA1B1C1 中,A1C1=B1C1=2,D、D1 分别是 AB、A1B1 的中点,平面 A1ABB1平面 A1B1C1,异面直线 AB1 和 C1B 相互垂直 . 1求证： AB1C1D1；2求证： AB1面 A1CD；3假设 AB1=3,求直线 AC 与平面 A1CD 所成的角 . 案例探究例 1两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平
2、面相交于AB,MAC,NFB,且AM=FN,求证： MN 平面 BCE. 命题意图： 此题主要考查线面平行的判定,面面平行的判定与性质,以及一些平面几何的学问,属级题目 . 学问依靠： 解决此题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行,即线内 线 外 线 外 面 .或转化为证两个平面平行 . 错解分析： 证法二中要证线面平行,通过转化证两个平面平行,正确的找出 MN 所在平面是一个关键 . 技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明 行来证线面平行 . .证法二采纳转化思想,通过证面面平证法一：作MPBC,NQBE,P、Q 为垂足,就MP AB,NQ AB. MP NQ,又 AM=
3、NF ,AC=BF,MC=NB, MCP=NBQ=45Rt MCPRt NBQMP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形MN PQPQ 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外,MN 平面 BCE. 证法二：如图过 M 作 MH AB 于 H,就 MH BC,名师归纳总结 AMAH第 1 页,共 7 页ACAB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 连结 NH ,由 BF=AC,FN=AM ,得FNAHBFABMN 平面 BCE. 例 2在斜三棱柱A1B1C1ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C底面 ABC. 1假设 D 是 BC 的
4、中点,求证：AD CC1；2过侧面 BB 1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M ,假设AM=MA1,求证：截面 MBC 1侧面 BB 1C1C；3AM =MA 1 是截面 MBC 1平面 BB1C1C 的充要条件吗？请你表 达判定理由 . 命题意图：此题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,属级题目 . 学问依靠：线面垂直、面面垂直的判定与性质 . 错解分析： 3的结论在证必要性时,帮助线要重新作出 . 技巧与方法： 此题属于学问组合题类,关键在于对题目中条件的摸索与分析,把握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何奇妙作帮助线 . 1证明： AB=AC,D 是 BC 的中点, ADB
5、C底面 ABC平面 BB 1C1C, AD 侧面 BB1C1CADCC1. 2证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1NAM=MA1, NA1=A1B1A1B1=A1C1, A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面 NB1C1侧面 BB1C1C, C1N侧面 BB1C1C截面 C1NB侧面 BB1C1C截面 MBC 1侧面 BB1C1C. 3解：结论是确定的,充分性已由2证明,下面证必要性. 过 M 作 ME BC1 于 E,截面 MBC 1侧面 BB1C1CME侧面 BB1C1C,又 AD侧面 BB1C1C. ME AD, M、E、D、A 共面AM 侧面 BB1C1C, AM
6、 DECC1AM, DE CC1D 是 BC 的中点, E 是 BC1 的中点AM=DE=1CC11AA1, AM=MA 1. 22 锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须娴熟把握两类相互转化关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开头转向另一垂直或平行最终到达目的 . 例如： 有两个平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直 . 消灭难点训练一、挑选题1. 在长方体 ABCD A1B1C1D 1 中,底面是边长为 2
7、的正方形,高为 4,就点A1 到截面 AB 1D1 的距离是 8 3 4 3A. B. C. D.3 8 3 42. 在直二面角 l 中,直线 a ,直线 b ,a、b 与 l 斜交,就 A. a 不和 b 垂直,但可能 a b B.a 可能和 b 垂直,也可能 a bC.a 不和 b 垂直, a 也不和 b 平行 D.a 不和 b 平行,但可能 ab二、填空题Z3. 设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“XZ 且 YX Y” 为真命题的是_填序号 . X、Y、X、 Y、Z 是直线X、Y 是直线, Z 是平面Z 是直线, X、Y 是平面Z 是平面4. 设 a,b 是异面直
8、线,以下命题正确的选项是 _. 过不在 a、b 上的一点 P 肯定可以作一条直线和 a、b 都相交过不在 a、b 上的一点 P 肯定可以作一个平面和 a、b 都垂直过 a 肯定可以作一个平面与 b 垂直过 a 肯定可以作一个平面与 b 平行三、解答题5. 如图,在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点 . 1求证： CD PD; 2求证： EF 平面 PAD; 3当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时,直线 EF平面 PCD？6. 如图,在正三棱锥ABCD 中, BAC=30 , AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFG
9、H 分别交 AB、BD、DC 、CA 于点 E、F、G、H. 名师归纳总结 1判定四边形EFGH 的外形,并说明理由. PBC平面 EFGH ,请给出证明 . 第 3 页,共 7 页2设 P 是棱 AD 上的点,当AP 为何值时,平面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 如图,正三棱柱ABC A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 CC1 和 AB1的中点,点 F 在 BC 上且满意 BFFC=13. 1假设 M 为 AB 中点,求证： BB1 平面 EFM ；2求证： EFBC；3求二面角 A1B1DC1的大小 . 8. 如图,已知平行六面体
10、ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形且C1CB= C1CD=BCD=60 , 1证明： C1CBD；2假定 CD=2, CC1= 的余弦值；3 ,记面 C1BD 为 ,面 CBD 为 ,求二面角 BD 的平面角 23当CD 的值为多少时,可使 CC 1A1C面 C1BD？参考答案难点磁场1.1证明： A1C1=B1C1,D1 是 A1B1 的中点, C1D 1A1B1 于 D1,又平面 A1ABB1平面 A1B1C1, C1D1平面 A1B1BA,而 AB1 平面 A1ABB1, AB1C1D1. 2证明： 连结 D 1D,D 是 AB 中点, DD 1CC1, C1D1 CD ,由1得
11、CDAB1,又 C1D1平面 A1ABB 1,C1BAB1,由三垂线定理得 BD1AB1,又 A1D D1B, AB 1A1D 而 CDA1D=D, AB 1平面 A1CD. 3解：由 2AB1平面 A1CD 于 O,连结 CO1 得 ACO 为直线 AC 与平面 A1CD 所成的名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角, AB1=3,AC=A1C1=2, AO=1, sinOCA=AO1,AC2 OCA=6. 消灭难点训练一、1.解析：如图,设 A1C1B1D1=O1,B1D 1A1O1,B1D1AA 1,B1D1平面
12、 AA1O1,故平面 AA1O1AB1D 1,交线为 AO1,在面 AA1O1 内过 A1 作 A1HAO1于 H,就易知 A1H 长即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离,在 Rt A1O1A 中,A1O1=2 ,AO1=32 ,由 A1O1 A1A=h AO1,可得 A1H=4. 3答案： C2.解析：如图, 在 l 上任取一点P,过 P 分别在 、 内作 a a,b b,在 a 上任取一点 A,过 A 作 ACl,垂足为 C,就 AC ,过 C 作 CBb 交 b 于 B,连 AB,由三垂 线定理知 ABb , APB 为直角三角形 ,故 APB 为锐角 . 答案： C 二、 3.解析
13、：是假命题,直线X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例,是真命题,是假命题,平面X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例. 答案：4. 三、 5.证明： 1PA底面 ABCD , AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影,CD 平面 ABCD 且 CD AD, CD PD. 2取 CD 中点 G,连 EG、FG,E、 F 分别是 AB、PC 的中点, EG AD,FG PD平面 EFG 平面 PAD,故 EF 平面 PAD3解：当平面PCD 与平面 ABCD 成 45 角时,直线EF面 PCD证明：G 为 CD 中点,就 EGCD ,由1知 FGCD,故 EGF 为平面 PCD 与平
14、面 ABCDEGF =45 ,从而得 ADP =45 , AD=AP 由 Rt PAERt CBE,得 PE=CE名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 F 是 PC 的中点, EFPC,由 CDEG ,CD FG,得 CD平面 EFG, CDEF 即 EFCD ,故 EF平面 PCD . 6.1证明：同理 EF FG, EFGH 是平行四边形A BCD 是正三棱锥,A 在底面上的射影O 是 BCD 的中心,DOBC, ADBC,HGEH,四边形 EFGH 是矩形 . 2作 CPAD 于 P 点,连结 BP, ADBC
15、, AD面 BCPHG AD, HG 面 BCP,HG面 EFGH .面 BCP面 EFGH ,在 Rt APC 中, CAP=30 , AC=a, AP=3 a. 2AB 和 AB1 的中点,7.1证明：连结EM、 MF, M、E 分别是正三棱柱的棱BB1 ME,又 BB1平面 EFM , BB1 平面 EFM . 2证明：取 BC 的中点 N,连结 AN 由正三棱柱得：ANBC,又 BF FC=13, F 是 BN 的中点,故 MF AN,MF BC,而 BCBB1,BB1 ME . MEBC,由于 MF ME=M, BC平面 EFM ,又 EF 平面 EFM , BCEF. 3解：取 B
16、1C1 的中点 O,连结 A1O 知, A1O面 BCC 1B1,由点 O 作 B1D 的垂线 OQ,垂足为 Q,连结 A1Q,由三垂线定理,角,易得 A1QO=arctan 15 . A1QB1D,故 A1QD 为二面角 A1B1DC 的平面8.1证明：连结 A1C1、AC,AC 和 BD 交于点 O,连结 C1O,四边形 ABCD 是菱形, ACBD,BC=CD又 BCC1=DCC 1,C1C 是公共边,C1BC C1DC, C1B=C1DDO=OB, C1OBD,但 ACBD,ACC1O=OBD平面 AC1,又 C1C 平面 AC 1, C1CBD. 2解：由 1知 ACBD,C1OBD
17、, C1OC 是二面角 BD 的平面角 . =在 C1BC 中, BC=2,C1C=3 , BCC1=60 , C1B2=2 2+ 23 22 223 cos60213 . 4 OCB=30 , OB=1,BC=1,C1O=3,即 C1O=C1C. 22作 C1HOC,垂足为 H,就 H 是 OC 中点且 OH =3 , cosC1OC= 2333解：由 1 知 BD平面 AC1,A1O平面 AC1,BDA1C,当CD=1 时,平行六CC1面体的六个面是全等的菱形,同理可证BC 1A1C,又 BDBC1=B, A1C平面 C1BD. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页