2022年辅助角公式的推导.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 帮助角公式asinbcosa2b2sin的推导在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化 a sin b cos 为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等 . 为了帮忙学生记忆和把握这种题型的解答方法 , 老师们总结出公式a sin b cos = a 2b 2 sin 或 a sin b cos = a 2b 2cos , 让同学在大量的训练和考试中加以记忆和活用 . 但事与愿违 , 半个学期不到 , 大部分同学都忘了 , 老师不得不重推一遍. 到了高三一轮复习 , 再次忘记, 老师仍得重推 . 本文旨在通过帮助角公

2、式的另一种自然的推导 , 表达一种解决问题的过程与方法 , 减轻同学的记忆负担 ; 同时说明“ 帮助角” 的范畴和常见的取角方法 , 帮忙同学澄清一些熟悉 ; 另外通过例子说明帮助角公式的敏捷应用 , 优化解题过程与方法 ; 最终通过例子说明帮助公式在实际中的应用 , 让同学把握帮助角与原生角的范畴关系 , 以更好地把握和使用公式 . 一. 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1 求证：3 sin +cos =2sin （+）=2cos（-）. 6 3其证法是从右往左绽开证明 , 也可以从左往右“ 凑”, 使等式得到证明 , 并得出结论 : 可见, 3 sin+c

3、os可以化为一个角的三角函数形式. . 一般地 ,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2. 帮助角公式的推导例 2 化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式b. 2cos, 解: asin+bcos=a2b2a2ab2sin+a2b 令a=cos,a2bb2=sin, a2b2就 asin=a2b2sincos+cossin+bcos=a2b2sin+, 其中 tan=b a 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令a2ab2=sin,a2bb2=cos, 就asin +bcos = a 2

4、b 2sin sin +cos cos = a 2 b 2cos-, 其中 tan =a b其中 的大小可以由 sin、cos 的符号确定 的象限 , 再由 tan 的值求出. 或由 tan =b 和a,b 所在的象限来确定 . a推导之后 , 是配套的例题和大量的练习 . 但是这种推导方法有两个问题 : 一是为什么要令a b=cos , =sin .让同学费解 . 二是这种“ 规定” 式的推2 2 2 2a b a b导, 同学难记易忘、易错 . 二. 让帮助角公式 a sin b cos = a 2b 2 sin 来得更自然能否让让帮助角公式来得更自然些 .这是我多少年来始终摸索的问题 .

5、2022年春 . 我又一次代 2022 级同学时 , 最终想出一种与三角函数的定义连接又通俗易懂的教学推导方法 . 第一要说明,如 a=0 或 b=0 时,asinbcos已经是一个角的一个三角函数的形式,无需化简 . 故有 ab 0. 1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐y.的终边标,b 为纵坐标描一点Pa,b 如图 1 所示,Pa,b 就总有一个角, 它的终边经过点P.设OP=r,r=a2b2, 由三角函数的定义知O r x sin=b r=abb2, 2b2图 1 cos=aa2ab2. r所以 asin+bcos=a2b2cos sin+a 2sincos=a2b2 sin.

6、其中 tan=b a 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 如在平面直角坐标系中 , 以 b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点Pb,a,的终边OP 如图 2 所示, 就总有一个角的终边经过y 点 Pb,a, 设 OP=r,就 r=a 2b . 由三 2.Pb,a 角函数的定义知r sin=b r=a r=a2ab2, O 图 2 x cosbb2. a2 asin+bcos=a22 b sinsina2b2coscos =a22 b cos. 其中 tan=a b 例 3 化3sincos为一个角的一个三

7、角函数的形式. 解 : 在 坐 标 系 中 描 点P3 ,1,设 角的 终 边 过 点P, 就=r=321 =2.sin 2=1 2,cos=3. 23sincos=2cossin+2sincos=2sin.tan=3. 362 k, 3sincos=2sin6. 经过多次的运用 , 同学们可以在老师的指导下, 总结出帮助角公式aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 sin2b, 其中 tan=b a. 或者aasin+bcos=a2b2a2sin+abb2cos=a2b22 cos2b, 其中 tan=a b 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

8、页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我 想 这 样 的 推 导 , 学 生 理 解 起 来 会 容 易 得 多 , 而 且 也 更 容 易 理 解asin+bcos凑成a2b2a2ab2sin+2 abb2cos 的道理 , 以及为什么只有两种形式的结果. 例 4 化sin3 cos为一个角的一个三角函数的形式. 解 法 一 : 点 1,-3 在 第 四 象 限 .OP=2. 设 角过P 点 . 就sin3,cos1.满足条件的最小正角为225,52k,kZ.33sin3 cos21sin3cos 2sincoscossin222sin2sin52 k2sin5.3

9、3解 法 二 : 点P-3 ,1在 第 二 象 限 ,OP=2, 设 角过P点 . 就sin1,cos3.满足条件的最小正角为225,52k,kZ.66sin3 cos21sin3cos 2sinsincoscos 222cos2cos52 k2cos5.66三. 关于帮助角的范畴问题由asinbcosa2b2sin中, 点 Pa,b 的位置可知 , 终边过点 Pa,b 的角可能有四种情形 第一象限、其次象限、第三象限、第四象限 . 设满意条件的最小正角为21, 就sin12k. 由诱导公式 一 知1 其asinbcosaa2b2sinb24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

10、,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中10,2 ,tan1b,1的详细位置由sin1与cos1打算,1的大a小由tan1b打算a2b2cos,的终边过点（,a类似地,asinbcos）,设满意条件的最小正角为2,就22k.由诱导公式有asinbcosa2b2cosa2b2cos2,其中20,2 ,tan2a,2的位置由sin2和cos2确定,2的大小b由tan2a确定2；以后没有特殊说明时,角1（或2）是所b留意：一般地,1求的帮助角四关于帮助角公式的敏捷应用引入帮助角公式的主要目的是化简三角函数式在实际中结果是化为正弦仍是化为余弦要详细问题详细分析,仍有一个重要问题

11、是,并不是每次都要化为asinbcosa2b2sin1的形式或22的形式可以利用两角和与差的正、asinbcosabcos2余弦公式敏捷处理例化以下三角函数式为一个角的一个三角函数的形式6（）3 sincos；（）2sin36cos366（）3 sincos23sin1cos解：222sincos6cossin62sin5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2sin36cos366（）2 1 3 2sin33cos33 ,22 sin 33 cos3cos3sin32sin21,我们并没有取点（333,b在本例第（）

12、小题中,a）,而取的是点 （3 ,）也就是说, 当 a 、b 中至少有一个是负值时 我们可以取（ a , b ）,或者（ b , a ）这样确定的角1（或2）是锐角,就更加便利例 6 已知向量r acosx3,1,r bcosx3,1, x2r csinx3,0, 求函数h x =r r a br r b c2的最大值及相应的的值 . 解:h x 2 cos x31sinx3cosx23222 =1cos2x21sin2x2332232 =1cos2x21sin2x22323x2x =22cos222sin222323 =2cos2x112212h x max22.26 名师归纳总结 - -

13、- - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这时2x112k,xk11. kZ . 1224此处 , 如转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁 五. 与帮助角有关的应用题, 而且易错 , 请读者一试 . 与帮助角有关的应用题在实际中也比较常见 , 而且涉及辅角的范畴 , 在相应范畴内求三角函数的最值往往是个难点 . 例 7 如图 3, 记扇 OAB的中心角为B 45 , 半径为 1, 矩形 PQMN内接于这个扇形, 求矩形的对角线 l 的最小值 . N M 解 : 连 结 OM,设 AOM= . 就MQ=sin ,OQ=cos ,OP=PN=sin . PQ=OQ-OP= cos sin . O P Q A l 2 MQ 2 PQ 2 图 3 = sin 2 cos sin 2 =3 sin 2 1 cos2 2 2 = 3 5 sin2 1 , 其中 tan 1 1, 1 0, , 1 arctan 1. 2 2 2 2 21 1Q 0 , arctan 2 1 arctan .4 2 2 2l 2min 3 5, l min 5 1. 2 2 2所以当 1 arctan 1 时, 矩形的对角线 l 的最小值为 5 1 . 4 2 2 27 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页