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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 3 学问点总结1.1.1算法的概念第一章算法初步1、算法概念：在数学上,现代意义上的“ 算法” 通常是指可以用电脑来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必需是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 .2. 算法的特点 :1有限性：一个算法的步骤序列是有限的,必需在有限操作之后停止,不能是无限的 .2确定性：算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可 .3次序性与正确性：算法从初始步骤开头,分为假设干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能
2、进行下一步,并且每一步都精确无误,才能完成问题 .4不唯独性：求解某一个问题的解法不肯定是唯独的,对于一个问题可以有不同的算法 .5普遍性：许多详细的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、运算器运算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念：一程序构图的概念：程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来精确、直观地表示算法的图形；一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明；二构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能表示一个算法的起始和终止,是任何流程图不行少的；起止框表示一个算法输入和输出的信
3、息,可用在算法中任何需输入、输出框要输入、输出的位置；赋值、运算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别处理框写在不同的用以处理数据的处理框内；判定某一条件是否成立,成立时在出口处标明“ 是” 或判定框“ Y”；不成立时标明“ 否” 或“N” ；名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习这部分学问的时候,要把握各个图形的外形、作用及使用规章,画程序框图的规章如下：1、使用标准的图形符号；2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画；3 、除判定框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点；判定框具有超过一个退
4、出点的唯独符号；4、判定框分两大类,一类判定框“ 是” 与“ 否” 两分支的判定,而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判定,有几种不同的结果；5、在图形符号内描述的语言要特别简练清晰；三、算法的三种基本规律结构：次序结构、条件结构、循环结构；1 、次序结构：次序结构是最简洁的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的次序进行的,它是由假设干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构；次序结构在程序框图中的表达就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按次序执行算法步骤；如在示意图中,A 框和 B A框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执行
5、 B 框所指定的操作；B2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判定依据条件是否成立而挑选不同流向的算法结构；条件 P是否成立而挑选执行A 框或 B 框；无论 P 条件是否成立,只能执行A 框或 B 框之一,不行能同时执行A 框和B 框,也不行能A 框、 B 框都不执行；一个判定结构可以有多个判定框；3 、循环结构： 在一些算法中,常常会显现从某处开头,依据肯定条件,反复执行某一处理步骤的情形,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,明显,循环结构中肯定包含条件结构；循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类：1 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时
6、,执行 A 框, A 框执行完毕后,再判定条件P 是否成立,假如仍旧成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构；2 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示, 它的功能是先执行, 然后判定给定的条件 P 是否成立, 假如 P 仍旧不成立,就连续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构；当型 循环结构A 直到型循环结构留意：1 循环结 A构 要 在 某 个 条 件下终止循 P 成立 环,这就需要条件结构来判定；因此,P循环结构中肯定包含条件结构,但不答应“ 死循环” ；不成立 2 在循环
7、结构中都有一个计数变量和累加变量；计数变量 成立用于记录循环次数,不成立累加变量用于输出结名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 果；计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次；1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1 、输入语句1输入语句的一般格式INPUT“ 提示内容” ；变量图形运算器INPUT “ 提示内容” ,变量2输入格式语句的作用是实现算法的输入信息功能； 3“ 提示内容” 提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量； 4输入语句要求输入的值只能是详细的常数,不能
8、是函数、变量或表达式；5提示内容与变量之间用分号“ ；” 隔开,假设输入多个变量,变量与变量之间用逗号“ ,” 隔开；2、输出语句1输出语句的一般格式图形运算器输出 句的4输出语 2PRINT“ 提示内容” ；表达式格式Disp “ 提示内容” ,变量语作用是实现算法的输出结果功能； 3“ 提示内容” 提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据；句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符；3、赋值语句1赋值语句的一般格式 图形运算器变量表达式 格式 表达式 变量2赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；3赋值语句中的“ ” 称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的；赋值号的左右两边
9、不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；4赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式；5对于一个变量可以多次赋值；留意： 赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式；如：2=X 是错误的；赋值号左右不能对换；如“A=B ” “ B=A ”的含义运行结果是不同的；不能利用赋值语句进行代数式的演算；如化简、因式分解、解方程等赋值号“= ” 与数学中的等号意义不同；1 22 条件语句1、 条件语句的一般格式有两种：1IFTHENELSE语句；2IF THEN语句； 2、IF THEN ELSE语句IF THENELSE语句的一般格式为图 1,对应的
10、程序框图为图 2；IF 条件 THEN 否语句 1 满意条件？ELSE 是语句 2 语句 1 语句 2END IF名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 图 2分析：在 IF THEN ELSE语句中,“ 条件” 表示判定的条件, “ 语句 1” 表示满意条件时执行的操作内容；“ 语句 2” 表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的终止；电脑在执行时,第一对 IF 后的条件进行判定,假如条件符合,就执行 THEN后面的语句 1；假设条件不符合,就执行 ELSE后面的语句 2；3、
11、IFTHEN语句IF THEN语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4；IF 条件 THEN 是语句 满意条件？END IF图 3语句否图 4留意：“ 条件” 表示判定的条件； “ 语句” 表示满意条件时执行的操作 内容,条件不满意时,终止程序； END IF 表示条件语句的终止；电脑在执行时第一对 IF 后的条件进行判定,假如条件符合就执行 THEN 后边的语句,假设条件不符合就直接终止该条件语句,转而执行其它语句；123 循环语句循环结构是由循环语句来实现的；对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型WHILE 型和直到型 UNTIL 型两种语句结构；即 WHILE语
12、句和 UNTIL 语句；1、 WHILE语句1WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是满意条件？循环体WHILE 条件循环体是WEND否2当电脑遇到WHILE语句时,先判定条件的真假,假如条件符合,就执行WHILE与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件,假如条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止；这时,电脑将不执行循环体,直接跳到WEND 语句后,接着执行WEND 之后的语句；因此,当型循环有时也称为“ 前测试型” 循环；2、 UNTIL 语句1UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是循环体否DO循环体LOOP UNTIL 条件满意条件？2直到型循
13、环又称为“ 后测试型” 循环,从UNTIL型循环结构分析,电脑执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条 是名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 件的判定,假如条件不满意,连续返回执行循环体,然后再进行条件的判定,这个过程反复进行,直到某一次条件满意时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判定的循环语句；分析： 当型循环与直到型循环的区分：先由同学争论再归纳（1）当型循环先判定后执行,直到型循环先执行后判定；在 WHILE语句中,是当条件满意时执行循环体,在
14、 1.3.1 辗转相除法与更相减损术UNTIL 语句中,是当条件不满意时执行循环1、辗转相除法；也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：1：用较大的数 m除以较小的数 n 得到一个商 S 和一个余数 R ； 2：假设 R 0,就 n 为 m,n 的最大公约数； 假设 R 0 0,就用除数 n 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数 R ；3：假设 R 0,就 R 为 m,n 的最大公约数；假设 R 0,就用除数 R 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数 R ； 依次运算直至 R 0,此时所得到的 R n 1 即为所求的最大公约数；2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的
15、算法,就是更相减损术；在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之,不行半者,副置分母 .子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之；翻译为：1：任意给出两个正数；判定它们是否都是偶数；假设是,用2 约简；假设不是,执行其次步；2：以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数；连续这个操作,直到所得的数相等为止,就这个数等数就是所求的最大公约数；例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数 . 分析：略3、辗转相除法与更相减损术的区分：1都是求最大公约数的方法,运算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,运算次数上辗转相除法运算次数相对较少
16、,特殊当两个数字大小区分较大时运算次数的区分较明显；2从结果表达形式来看,辗转相除法表达结果是以相除余数为 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：fx=anxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0求值问题0 就得到,而更相减损术就以减数与差相等而得到fx=anxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0= anxn-1+an-1xn-2+ .+a1x+a0 = anxn-2+an-1xn-3+ .+a2x+a1x+a0 =.=. anx+an-1x+an-2x+.+a1x+a0 求多项式的值时,第一运算最内层括号内依次多项式的值,即 v 1=anx+an-1 然后由内向外逐层运算一
17、次多项式的值,即名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 .vn=vn-1x+a0这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题；2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个,排一个；将第个数放入数组的第个元素中,以后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中由于算法简洁,可以举例说明2、冒泡排序基本思想
18、：依次比较相邻的两个数 , 把大的放前面 , 小的放后面 . 即第一比较第 1 个数和第 2 个数 , 大数放前 , 小数放后 . 然后比较第 2个数和第 3 个数 . 直到比较最终两个数 . 第一趟终止 , 最小的肯定沉到最终 . 重复上过程 , 仍从第 1个数开头 , 到最终第 2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前 , 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序 .1.3.3 进位制1、概念：进位制 是一种记数方式, 用有限的数字在不同的位置表示不同的数值；可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制；现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数；对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示；比方：十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的；一般地,假设 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：a a n 1 . a a 0 k 0 a n k ,0 a n 1 ,., a a 0 k ,而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示, 如 1110012 表示二进制数 ,34 5 表示 5 进制数名可道训练科技名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页