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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 指数函数概念：一般地,函数y=ax （a0,且 a 1）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R；留意：指数函数对形状要求严格,前系数要为 指数函数的定义仅是形式定义；指数函数的图像与性质：1,否就不能为指数函数；规律： 1. 当两个指数函数中的a 互为倒数时,两个函数关于y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性；2.当 a1 时,底数越大,图像上升的越快,在y 轴的右侧,图像越靠近y 轴；当 0a1 时,底数越小,图像下降的越快,在y 轴的左侧,图像越靠近y 轴；在 y 轴右边 “ 底大图高 ”；在 y 轴左边 “底大图低 ” ；名师归
2、纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.四字口诀：“ 大增小减 ” ；即：当 a1 时,图像在R 上是增函数；当0a1 时,图像在 R 上是减函数；4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数；比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时,就利用指数函数的 单调性 进行比较；2. 当底数中 含有字母 时要留意 分类争论 ；3. 当底数不同,指数也不同时,就需要 引入中间量 进行比较；4. 对多个数进行比较,可用 0 或 1 作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移；在 fX 后加上一
3、个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移；对数函数1.对数函数的概念由于指数函数 y=a x 在定义域 -, + 上是单调函数,所以它存在反函数,我们把指数函数 y=a xa0, a 1的反函数称为对数函数,并记为 y=log axa0,a 1. 由于指数函数 y=a x 的定义域为 -, +,值域为 0,+,所以对数函数 y=log ax 的定义域为 0,+,值域为 -, + . 2.对数函数的图像与性质名师归纳总结 对数函数与指数函数互为反函数 ,因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画第 2 页,共 10 页出对数函数的图像,并推知它的性质.- - - - - - -精选学
4、习资料 - - - - - - - - - 为了争论对数函数 y=log axa0,a 1的性质,我们在同始终角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 1x,y=log 1x 的草图2 10由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数 y=log axa0,a 1的图像的特点和性质.见下表 . a 1 a 1 图象1x 0 性2当 x=1 时, y=0 3 当 x1 时, y0 质3当 x1 时, y0 0 x1 时, y0 0x1 时, y0 4在0,+上是增函数4 在0,+上是减函数补设 y 1=log ax y 2=log b
5、x 其中 a1, b1或 0a1 0b1 充当 x1 时“ 底大图低 ” 即如 a b 就 y1y 2 性当 0x1 时“底大图高 ” 即如 ab,就 y1 y2质比较对数大小的常用方法有：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1如底数为同一常数,就可由对数函数的单调性 直接进行判定 . 2如底数为同一字母,就按对数函数的单调性对底数进行 分类争论 . 3如底数不同、真数相同,就可用 换底公式 化为同底再进行比较 . 4如底数、真数都不相同,就常借助 3.指数函数与对数函数对比1、0、-1 等中间量 进行比较 . 名称
6、指数函数log对数函数一般形式y=axa0,a 1 y=log axa0,a 1 定义域-, + 0,+ 值域0,+ -, + 函当 a1 时,当 a 1 时1x00 x1数ax1x0logax0 x1值1 x0 0 x1 变当 0a1 时,当 0 a1 时,化1x0 0x1 ax1 x0 ax0x1 情1 x0 0x1 况单调性当 a1 时, a x 是增函数；当 a1 时, logax 是增函数；当 0a1 时, a x 是减函数 . 当 0a 1 时, logax 是减函数 . 图像y=ax 的图像与 y=log ax 的图像 关于直线 y=x 对称 .幂函数幂函数的图像与性质幂函数 y
7、 x 随着 n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以实行按性质和图像分 n类记忆的方法娴熟把握 y x ,当 nn 2 , 1, 1, 1, 3 的图像和性质,列表如下2 3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 1,1 ,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - a1,1 2,1, 2 , 3时,幂函数图像过原点且在0 ,上是增函数3a1 , 21,2时,幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点偶函数非奇非偶函数yx n奇
8、函数y y y n1O x O x O x y y y 0n1y O x O x O x y y 名师归纳总结 n0O x O x O x 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yxyx2yx 3yx1yx12定义域R R R x x0x x0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减在第象限在第象限在第象限在第象限在第象限性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减幂函数yx （ xR,是常数） 的图像 在第一象限的分布规律 是：全部幂函数yx （ xR,是常数）的图像都过点 1,1 ；1,1 ,2 ,3当 2 时函数y x 的图像都过原
9、点 0 0, ；当 1时,y x 的的图像在第一象限是第一象限的 平分线 （如 c ）；当 2 3, 时,y x 的的图像在第一象限是“凹型” 曲线（如 c ）1当 2 时,y x 的的图像在第一象限是“凸型” 曲线（如 c ）当 1时,y x 的的图像不过原点 0 , 0 ,且在第一象限是“下滑 ” 曲线（如 c ）当 0 时,幂函数y x 有以下性质：（1）图象都通过点 0 , 0 , 1,1 ；（2）在第一象限内都是增函数；名师归纳总结 （3）在第一象限内,1时,图象是向下凸的；01时,图象是向上凸的；第 6 页,共 10 页（4）在第一象限内,过点1 1, 后,图象向右上方无限舒展；当
10、0 时,幂函数yx 有以下性质：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）图象都通过点 1,1 ；（2）在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的；（3）在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近；向右无限地与 x 轴无限地接近；（4）在第一象限内,过点 1 1, 后,越大,图象下落的速度越快；无论 取任何实数,幂函数 y x 的图象必定经过第一象限,并且肯定不经 过第四象限；对号函数名师归纳总结 函数yaxb（a0,b0）叫做对号函数,因其在（0,+）的图象似符号“ ”b第 7 页,共 10 页x而得名, 利用对号函数的图象及均值不等式,当 x0 时,ax
11、b2b（当且仅当axxax即xb时取等号）,由此可得函数yaxb（a0,b0,x R+）的性质 : ax- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当xb时,函数yaxb（a0,b0,x R+）有最小值2b,特殊地, 当 a=b=1axa时函数有最小值2；函数yaxb（a0,b0）在区间（0,b ）上是减函数, 在区间（ab ,ax+）上是增函数；由于函数yaxb（a0,b0）是奇函数, 所以可得函数yaxb（a0,b0,x R-）xx的性质：当xb时,函数yaxaxbb（a0,b0,x R-）有最大值 -x2b,特殊地,当 a=b=1aa（a0,b0）在区间（
12、 -, -b ）上是增函数,在区 a时函数有最大值-2；函数yx间（ -b ,0）上是减函 a奇函数和偶函数（1）假如对于函数fx 的定义域内的任意一个x 值,都有 fx=x 那么就称 fx 为奇函数假如对于函数fx 的定义域内的任意一个x 值,都有 fx=fx ,那么就称 fx 为偶函数 说明：1由奇函数、 偶函数的定义可知, 只有当 fx 的定义域是关于原点成对称的如干区间时,才有可能是奇2 判定是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判定fx 是不易的为了便于判定有时可实行如下方法：运算 fx+f x,视其结果而说明是否是奇函数用这个方法判定此函数较为便利：fx 3 判定函数的奇偶性时,
13、仍应留意是否对定义域内的任何 x 值,当 x 0 时,明显有 fx= fx ,但当 x=0 时, f x=fx=1 , fx 为非奇非偶函数4 奇函数的图象特点是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特点是关于y轴为对称轴的对称图形5函数的单调性与奇偶性综合应用时,特殊要留意由它们的定义动身来进行论证例假如函数 fx 是奇函数,并且在 0,+上是增函数,试判定在 , 0上的增减性解 设 x1,x2, 0,且 x1x20 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就有 x1 x20,fx 在 0,+ 上是增函数,f
14、x1fx2 又 fx 是奇函数, fx= fx 对任意 x 成立,= fx1 fx2 fx1 fx2 fx 在 , 0上也为增函数由此可得出结论： 一个奇函数如在0,+上是增函数, 就在 , 0上也必是增函数,即奇函数在 0,+上与 , 0上的奇偶性相同类似地可以证明,偶函数在 时, fx 的解析式 解 x0, x00,+和, 0上的奇偶性恰好相反又 fx 是奇函数, fx= fx 偶函数图象对称性的拓广与应用 我们知道,假如对于函数 yfx 定义域内任意一个 x,都有 f x fx ,那么函数 yfx 就叫做偶函数偶函数的图象关 于 y 轴对称,反之亦真由此可拓广如下：假如存在常数 a,b,对于函数 yfx 定义域内任意一个 a+x,b-x 仍在x, a+b-x ,fx,而 fa bx fa b x fb b x fx ,对称点 Pa+b-x ,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 称；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页