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1、上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网高三数学暑期复习综合能力题第 2 讲 函数的基本性质题型预测函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。范例选讲例1 对于满足40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，试求x的取值范围。讲解不等式342pxpxx很容易让我们联想到二次函数：pxpxxf342基于这种认识，本题实质上就是： 对于二次曲线系pxpxxf342（40p） ，考虑使得0 xf恒成立的
2、x的取值范围。对于 每一 个给 定 的p， 由于0 xf的 二根 分别 为p3,1， 记ppu3, 1max)(，)3,1min()(ppv，则0 xf的解集为：pM=,pupv所以，当p在区间4,0上变化时，使得0 xf恒成立的x的取值范围就是所有pM的交集。因为40p，所以，)( pu的最大值为 3，pv的最小值为1。所以，本题的答案应该为：,31,。上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把x当作变量， 而把其余的字母作为参数。而事实上，在上面的不等式中，x与p的地位是平等的。如果我们换一个角度看问题，即把p作为自变量，而把x作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于
3、p的函数：3412xxpxpg，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网可以看到：pg是关于p的一次函数或常数函数， 要使得对于满足40p的一切实数，0pg恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：0400gg解之得：3x或1x。点评（1）不等式与函数有着千丝万缕的联系，通过适当的转化，可以使得问题的表述更接近于我们熟悉的知识，从而得解。（2）注意利用函数的性质解题。 （3
4、）注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时，也要敢于打破思维定势，换一个角度看问题。例2 设xf是定义在 -1，1上的偶函数，xg与xf的图象关于直线01x对称。且当3,2x时，为实数axxaxg32422（1）求函数xf的表达式；（2） 在6,2a或,6的情况下，分别讨论函数xf的最大值，并指出a为何值时，xf的图像的最高点恰好落在直线12y上。讲解（1）注意到xg是定义在区间3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出xf在区间0,1上的解析式，xf在区间1 ,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。当01x时，322x，由于xg与xf的图象关于直线01x对称，所以，axxxxaxgxf2
5、4224222233当10 x时，01x，由xf为偶函数，可知：axxxaxxfxf242433所以，1024012433xaxxxaxxxf（2）因为xf为偶函数， 所以，xf（11x）的最大值， 必等于xf在区间1 ,0上的最大值。故只需考虑10 x的情形，此时，axxxf243。对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性。因此，我名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无
6、忧版权所有 中国教育考试资源网们不妨在区间1 ,0上任取21, xx，设21xx，则21xfxf2321312424axxaxxaxxxxxx212122122222如果,6a,则0222212122axxxx，故21xfxf0，即xf在区间1 ,0上单调递增。所以，xf的最大值在1x取得，为421af。令421af=12可解得：8a如果6,2a，则axxxx212122222的符号不能确定，为确定xf的单调区间，可令axxxx2121222220 由于21xx，要使上式成立，只需：0222222222axxxx，即62ax，由此我们不难得知：xf在区间6,0a上单调递增，在区间1 ,6a上单
7、调递减。（证明略）所以，xf在区间1 ,1上的最大值为9626aaaf。令9626aaaf=12，解之得：61833a，与6,2a矛盾。综上可知：当6,2a时，xf的最大值为9626aaaf，当,6a时，xf的最大值为421af。并且，当8a时，函数xf的图像的最高点恰好落在直线12y上。点评（1）本题中，6,2a时，运用单调性去求xf的最值显然较为复杂。其实，如果我们注意到232224xaxaxxxf，且22 xax，均非负，则可利用基本不等式得到下面较为简洁的解法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
8、 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网等号当且仅当6ax时成立。然而，这种解法并不适用于,6a的情形。也就是说：单调性与基本不等式在处理函数的最值问题时各有所长，对于本题来说，并没有一种普适的方法，只能分而治之。（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上。高考真题1.（2002年北京春季高考）已知xf是偶函数，而且在,0上是减函数，判断xf在0,上是增函数还是减函数，并加以证明。2.（1989年全国高考） 设xf是定义在 R上以 2 为周期的函数， 对 kZ， 用kI表示区间 (2 k1，2 k1) ，已知当0Ix时，2xxf. 求xf在kI上的解析表达式；对自然数 k，求集合kM a| 使方程xfax 在kI上有两个不相等的实根 答案与提示： 1.增函数，证明略。2. 当kIx时，22kxxf；对自然数 k，集合kM1210kaa 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -