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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载13. 反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤把握了吗?(反解 x;互换 x、 y;注明定义域)如:求函数f x x1xx0x0的反函数2x0(答:f1 x1xx1)14. 反函数的性质有哪些?反函数性质:1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y)2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x)3、反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称(难怪点( x,y)和点( y,x)关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称;储存了原先函
2、数的单调性、奇函数性;设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如15 ( 04. 上 海 春 季 高 考 ) 已 知 函 数fxlog4 3 x2, 就 方 程f1 x 4的 解x_.1 呵呵; 已知反函数的y,不就是原函数的x 吗?那对于这一类题目,其实方法特殊简洁,代进去阿, 答案是不是已经出来了呢?(也可能是告知你反函数的x 值,那方法也一样,呵呵;自己想想,不懂再问我. 如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)判定函数单调性的方法有三种:1 定义法:依据定义,
3、设任意得x1,x2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x 1f x 2的正负号或者f x 1与 1 的关系x 1x 2f x 22 参照图象:如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性;(特例:奇函数)如函数 fx 的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性; (特例:偶函数)3 利用单调函数的性质:名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载函数 fx 与 fxcc 是常数
4、是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的;当c0 时,它们是反向变化的;假如函数f1x ,f2x 同向变化,就函数f1xf2x 和它们同向变化; (函数相加)假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化;如果负值函数 f12 与 f2x 同向变化, 就函数 f1xf2x 和它们反向变化;(函数相乘)函数 fx 与 f 1 x在 fx 的同号区间里反向变化; 如 函 数 u x , x , 与 函 数 y Fu , u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的;如函数 u x,x , 与函数 yFu
5、,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 如函数 yfx 是严格单调的, 就其反函数们的增减性相同;yF x 是递减的;(同增异减)xf1y 也是严格单调的, 而且,它fg ylog 1gx 2xfgx fx+gx fx*gx 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减如:求x2的单调区间2(设uux2u2 x,由u20 就0x2且log 1,x11,如图:2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 )16. 如何利用导数判定函数的单调性?名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资
6、料 - - - - - - - - - 在区间a,b内,如总有f优秀学习资料欢迎下载 0 就f x 为增函数;(在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性),反之也对,如fx0 呢?a 的最大如:已知a0,函数f x x3ax 在1,0上是单调增函数,就值是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (令 fx3x2a3xaxa331,即a3就xa或xa33由已知f x 在 1,上为增函数,就a3a 的最大值为3)17. 函数 fx 具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(fx 定义域关于原点对称)如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图
7、象关于y轴对称留意如下结论:(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数;名师归纳总结 求( )如fx是奇函数且定义域中有原点,就f000;f x 42x1,第 3 页,共 13 页如:如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x10(f x 为奇函数,xR,又0R,f 即a20a20,a1)201x,1 时,又如:f x 为定义在1,1 上的奇函数,当xf x 在1,1上的解析式;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (令x1,0,就x优秀学习资料欢迎下载x10,1,fx42x又f x 为奇函数
8、,f x 2x42x12x)x14xx1,0 又f 0,f x 4x11x0x2x0,14x判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇 (偶)函数, 其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数. . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 . 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 fx-f-x=0 奇函数 偶函数偶函数奇函数fx f-x1 fx f-x1 三、复合函数奇偶性fg gx fgx fx+gx fx*gx 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非
9、偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗?(如存在实数T(T0),在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期; )名师归纳总结 如:如f xaf x ,就第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (答:f x 是周期函数,优秀学习资料欢迎下载T2 a 为f x 的一个周期)我们在做题的时候, 常常会遇到这样的情形:告知你 fx+fx+t=0, 我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导:fxtfxt00fxfx2 ,fxfx2 同时可能也会遇到这种样子:fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+
10、x. 其实这都是说同样一个意思:函数 fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到;比如,fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称;又如:如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x f x f 2 a x f 2 a x f 2 b x f x f 2 b x 令 t 2 a x , 就 2 b x t 2 b 2 , a f t f t 2 b 2 即 f x f x 2 b 2 所以 函数 f x 以 2 | b a | 为周期 因不知道 a b 的大小关系为保守起见
11、 我加了一个肯定值如:19. 你把握常用的图象变换了吗?名师归纳总结 f x 与 fx的图象关于y 轴 对称联想点( x,y) ,-x,y 第 5 页,共 13 页f x 与f x 的图象关于x轴 对称联想点( x,y ),x,-y f x 与fx 的图象关于 原点 对称联想点( x,y),-x,-y f x 与f1 的图象关于直线yx对称联想点( x,y),y,x f x 与f 2ax的图象关于直线xa对称联想点( x,y),2a-x,y f x 与f2 ax的图象关于 点a,0 对称联想点( x,y),2a-x,0 将yf x 图象左移a a0 个单位yf xa 右移个单位yf xa a
12、a0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上移b b0 个单位y优秀学习资料b欢迎下载f xa 下移b b0 个单位yf xa b(这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧;对于这种题目,其实根本不用这么麻烦;你要判定函数 y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标;了;)留意如下“ 翻折” 变换:看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹fx |fx 把 轴下方的图像翻到上面 | xfx f |x 把 轴右方的图像翻到上面 | y如:f x log 2x1作出ylog2
13、x1及ylog2x1的图象y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗?k0 y=b O Oa,bx x=a 名师归纳总结 ( )一次函数:yykxkb k00k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 b 第 6 页,共 13 页(2)反比例函数:k推广为ybxkak0是中心Oa,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载的双曲线;( )二次函数yax2bxc a0a x2b24 acb 2图象为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4acab2,对称轴xb2a42a开口方向:a0,向上,函数ymin4 aca
14、b4a0,向下,ymax4acab24根的关系:xb2ax 1x 2b,x 1x 2c,|x 1x 2|a|aa二次函数的几种表达形式:f x 2 axbxc 一般式轴f x a xm 2n 顶点式,(m, )为顶点f x a xx 1xx 2x x 2 是方程的2 个根)f x a xx 1xx 2h 函数经过点(x h x 1 2, 应用:“ 三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根x1、x2为二次函数y2 axbxc 的图象与x的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值;求闭区间 m, n上的最值;区间在对称轴左边(nb)fm
15、a xfm ,fm i nfn 2a区间在对称轴右边(mb)fm axfn ,fm i nfm2a区间在对称轴2边 (nbm)2afm i n4acb2f ,m a xm a x f n , 4 a也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论a0 的情形)求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题;一元二次方程根的分布问题;名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载0如:二次方程ax2bxc0 的两根都大于kbk2af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf
16、 k 00在区间(m, )内有 n2根mbn02af m 0f n 0在区间(m, )内有 1根f m f n ( )指数函数:yx aa0,a1( )对数函数ylogax a0,a1由图象记性质!(留意底数的限定! )y 0a1 y=log axa1 1 O 1 x 0a0 且 a 1)- f(x y) f(x)f(y);f(x ) f(x) f( y)y5. 三角函数型的抽象函数f x f y f(x) tgx-f(x y)1 f x f y f x f y 1f(x) cotx-f(xy)f x f y 例 1 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy) f(x)f(y),且当
17、 x0 时,fx0,f1 2 求 fx在区间 2,1上的值域 . 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(留意到 f(x2) f(x2x1) x1f(x2x1) f(x1);再依据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f(x)对任意实数x、y 均有 f(xy) 2f(x) f(y),且当 x0 时,fx2,f3 5,求不等式 f(a 22a2)0,xN; f(a b) f(a)f(b),a、bN; f(2) 4.同时成立?如存在,求出 理由 . f(x)的解析式,如不存在,说明分析:先猜出f(x) 2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在( 0,)上的单调增函数,满意f(3
18、) 1,求:(1)f(1);(2)如 f(x) f(x8) 2,求 x 的取值范畴 . 分析:(1)利用 31 3;(2)利用函数的单调性和已知关系式 . f( x y) f(x) f(y),例 7 设函数 y f(x)的反函数是 y g(x).假如 f(ab) f(a) f(b),那么 g(ab) g(a)g(b)是否正确,试说明理由 . 分析:设 f(a) m,f(b) n,就 g(m) a,g(n) b,进而 mn f(a) f(b)f(ab) f g(m)g(n) . 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满意以下三个条件:x1、x2 是定义域中的数时,有f(x1x2)fx
19、 1fx21;fx2fx 1f(a) 1(a0,a 是定义域中的一个数) ;当 0x2a 时, f(x) 0. 试问:(1)f( x)的奇偶性如何?说明理由;. (2)在( 0,4a)上, f(x)的单调性如何?说明理由分析:( 1)利用 f ( x1x2) f ( x1x2),判定 f(x)是奇函数;(3)先证明 f(x)在( 0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题,虽然不行用特殊模型代替求解,但可用特殊模型懂得题意 .有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟识的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽
20、象函数问题 . 例 9 已知函数 f(x)(x 0)满意 f(xy) f( x) f(y),名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - (1)优秀学习资料欢迎下载求证: f(1) f( 1) 0;(2)求证: f(x)为偶函数;(3)如 f(x)在( 0,)上是增函数,解不等式 f(x) f(x1 ) 0. 2分析:函数模型为:f(x) loga|x|(a0)(1)先令 xy1,再令 xy 1;(2)令 y 1;(3)由 f(x)为偶函数,就 f(x) f(|x|). 例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满意
21、f(0) 0,f(xy) f( x)f(y),且当x0 时, f( x) 1,求证:(1)当 x0 时, 0f(x) 1;(2)f(x)在 xR 上是减函数 . 分析:(1)先令 xy0 得 f(0) 1,再令 y x;(3)受指数函数单调性的启示:fx,由 f(xy) f(x)f(y)可得 f(x y)fy进而由 x1x2,有fx 1f(x1x2) 1. fx 2练习题:1.已知: f(xy) f(x) f(y)对任意实数x、y 都成立,就()(A) f(0) 0 (B)f( 0) 1 (C)f(0) 0 或 1 (D)以上都不对2. 如对任意实数x、y 总有 f(xy) f(x) f(y)
22、,就以下各式中错误选项(A) f(1) 0 (B) f(1 )xf(x)(C)f(x ) f(x) f(y)y(D)f(xn) nf(x)(n N)3.已知函数 f(x)对一切实数x、y 满意: f(0) 0,f(xy) f(x)f(y),且当 x名师归纳总结 0 时, f(x) 1,就当 x0 时, f(x)的取值范畴是()第 12 页,共 13 页(A)(1,)(B)(, 1)(C)(0,1)(D)( 1,)4.函数 f( x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有f(x1x2)fx 1fx 2,就 f(x)为()1fx 1fx 2(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C
23、)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f( x)对任意实数x、y 满意 f(xy) f(xy) 2f( x) f(y),就函数 f(x)是()- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数参考答案:1A 2B 3C 4A 5B 23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为 ,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗?(lR,S扇1lR1R2)和三角形的面积公式很相像,22可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法 R 1 弧度名师归纳总结 O R 第 13 页,共 13 页- - - - - - -