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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教材优化全析优秀学习资料欢迎下载全析提示A B1.向量的加法向量运算是运用向量方法解决（1）引入问题的基本工具,而向量的加法运算某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到C,就两次的位移和： AB + BC = AC . 是最基本的向量运算之一,向量加法的平行四边形法就与三角形法就和C物理中力的合成、速度的合成完全一致. 如上题改为从A 到 B,再从B 按反方向到C,就两次的位移和：AB + BC = AC . CAB某车从 A 到 B,再从 B 转变方向到C,就两次的位移和： AC + BC = AC . C上述三个小题,A B说明向量共线、
2、不共线时都可依据向量的运算法就思维拓展这求“ 和”. （2）向量的加法的定义已知向量a、b,在平面内任取一点A ,作 AB =a, BC =b,就向量 AC 叫两个向量的和仍是一个向量,犹如两个力的合力仍是力（向量）一做向量 a、b 的和 .记作 a+b,即 a+b= AB + BC = AC . 样. 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任意向量a,有 a+0=0+a=a. （3）两个向量的和向量的作法如图（ 1）、（ 2）、（3）中, AB =a, BC =b,就 AB + BC = AC . 全析提示 向量有几何表示法和字母表示 法两种情形 .用几何法表示时, 箭头所 指的
3、方向是正方向；用字母表示时,起点字母在前,终点字母在后,方向ABC由起点指向终点. 1 2 思维拓展三角形法就：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量,把其中一个向 3 量的起点平移,使之与其次个向量的终点重合,就第一个向量的起点指向其次个向量终点的向量,就是两个向量的和向量.常说两个向量“ 首尾相接”. . 向量是既有大小又有方向的量,1 三角形法就对于两个向量共线时也适用. 向量的模与方向可通过解三角形的2 可将向量加法的三角形法就推广到多个向量相加的多边形法就学问求得；对于首尾相连的几个向量3 任何一个向量均可以写成两个任意向量之和,只要留意到这个向量的的和 ,等于以第一个向量的起点
4、为起 点,第 n 个向量的终点为终点的向量 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载起点、终点即可,如：AB = AO + OB ,如下所示, O 点具有任意性 . O 全析提示B 不管平面内的点 O 选在何处, 对A 于首尾相连的两个和向量,它的方向课本 99 页例 1.求 a+b,在平面内任取一点 O,平移 a、b 使之首尾相接, 求 总是由第一向量的起点指向其次向和向量 .实际上我们常在其中 a 或 b 上取一点,只平移一个向量即可 .如可把 a 量的终点 . 的起点移至 b 的终点可求和向
5、量 . 要点提炼平行四边形法就在几何中向量的加法是用几何 作图来定义的 .它有两种法就, 其中三 角形法就比平行四边形法就更具有 一般性 .像两个向量共线时就只能用 三角形法就了 . 由同一点 A 为起点的两个已知向量a、b 为邻边作平行四边形ABCD ,就以 A 为起点的对角线AC 就是 a 与 b 的和 .这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法就 . 当两个向量共线时,能用平行四边形法就求和吗？不能 .由于不行能以两平行向量为邻边作平行四边形 .所以,平行四边形法 全析提示就对于两个向量共线时不适用 . 当向量 a、b 不共线时, |a|、|b|（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向
6、与模）. 及|a+b|构成一个三角形的三条边,由当向量 a、b 不共线时, a+b 的方向与 a、b 不同向,且 |a+b|a|+|b|. 三角形的性质可知：|a| |b|当向量 a、b 同向时, a+b 的方向与 a、 b同向,且 |a+b|=|a|+|b|. |a+b|a|+|b|；当向量 a、b 共线时,当向量 a、b 反向时,如 |a|b|,就 a+b 的方向与 a 同向,且 |a+b|=|a|b|.如 |a| |a|、|b|及|a+b|可懂得成同始终线上的|b|,就 a+b 的方向与 a 反向,且 |a+b|=|b|a|. 线段相加减 . 要点提炼（4）向量的运算律ABCD , 使向
7、量的加法同实数的加法一样,交换律： a+b=b+a. 满意交换律与结合律. 证 明 ： 当 向 量 a 、 b 不 共 线 时 如 下 图 , 作 平 行 四 边 形AB =a, AD =b, 就 BC =b, DC =a. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载思维拓展由于 AC = AB + BC =a+b, AC = AD + DC =b+a,所以 a+b=b+a. a 与 b 同向,由向量加法的定义知：当向量 a 与 b 共线时,求a 与 b当向量 a、b 共线时,如的和,不管是b 以 a 的
8、终点为起点,a+b 与 a 同向,且 |a+b|=|a|+|b|,b+a 与 a 同向,且 |b+a|=|b|+|a|,仍是 a 以 b 的终点为起点,它们的和 都是从第一个向量的起点指向其次所以 a+b=b+a；个向量的终点,从图象上看都是相等 如 a 与 b 反向,不妨设 |a|b|,同样由向量加法的定义知：的. a+b 与 a 同向,且 |a+b|=|a|b|, b+a 与 a 同向,且 |b+a|=|a|b|, 所以 a+b=b+a. 综上所述, a+b=b+a. 结合律,自己验证一下 .由于向量的加法满意交换律和结合律,对于多个向量的加法运算就可以依据任意的次序与任意的组合来进行了
9、. 例如化简：（ AB + CD ）+ BC =（ AB + BC ）+CD = AC + CD = AD . 又如化简： CM +（ BC + MB ）=（ CM + MB ）+ BC = CB + BC =0,也可写成 CM +（ MB + BC ）= CM + MC =0. 要点提炼 由于向量可用表示它的有向线2.向量的减法段的起点和终点的字母来表示,依据 向量加法的三角形法就,可把首尾相（1）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量叫做相反向量,记作： a. 连的向量先结合在一起相加. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 全析提示 向量的减法与加法互为逆运算,有关向量的减法可同加法相类
10、比,也a 与 a 互为相反向量,即（a）=a. 任意向量与它的相反向量的和是零向量,即a+（ a）=（ a）+a=0. 又如： AB 与 BA 互为相反向量,AB + BA =0. 可同实数的减法相类比. 全析提示 两个向量的差同两个向量的和假如 a、b 互为相反向量,那么a=b,b=a,a+b=0. （2）向量减法的定义一样,其运算结果仍是一个向量,它向量 a 加上 b 的相反向量,叫做a 与 b 的差,的模与方向可通过解三角形学问求即 ab=a+（ b）. 得. 求两个向量的差的运算叫做向量的减法,向量的减法是向量加法的逆运算.如 b+x=a, 就 x 叫做 a 与 b 的差,记作 ab.
11、 （3）ab 的作法由（ ab）+b=a+（ b）+b=a+0=a. 所以 a b就是这样一个向量,它与 b 的和等于 a. 已知 a、b,怎样求作 ab. 全析提示解法一： 已知向量 a、b,在平面内任取一点 O,作 OA =a,OB =b,就 BA =a 由于向量 BA 是以 OB 的终点为b,即 ab 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量 . 起点的向量,所以依据向量加法的三角形法就有 OA =OB + BA ,即 a+（a名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - O优秀学习资料欢迎下载b）=b.明显减
12、法是加法的逆运算. A-B解法二：在平面内任取一点 O,作 AO =a, BO =b,就 AB =ab,即 ab 也可以表示为从向量 a 的起点指向向量 b 的起点的向量 . B -思维拓展 向量 ab=a+（ b）,即向量的 减法可用向量加法的三角形法就或 平行四边形法就来表示,是化生为 熟,化未知为已知的化归思想的详细 应用 . A O 解法三： 在平面内任取一点O,作 OA =a, OB =b,就由向量加法的平行四边形法就可得OC =a+（ b）=ab. B C-O A 如下图 ,如 a 与 b 共线时,怎样作ab. 要点提炼在平面内任取一点12ab. 如向量a、b 是共线向量,就a b
13、 与 a、b 仍是共线向量 . O,作 OA =a, OB =b. 就 BA 为所求的向量AB全析提示 从同一点动身的两个不共线向 量的和、差同两个向量一起恰好构成OABO一般地, 不论两向量共线仍是不共线,1常选取一个适当的点,2通过平移把两向量的起点重合,就由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量,即为所求的差向量 . 平行四边形ABCD 中,如设 AB =a, AD =b,一个平行四边形的边与对角线. 就两条对角线都可以用a 与 b 表示,借助这一模型可进一步讨论有关ABCD 的一些性质 .如课本 103 页例 4. AC =a+b, DB =ab. 变式训练一：当DCA a、b 满意
14、什么条件时,B a+b 与 a b 垂直？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练二：当a、b 满意什么条件时,优秀学习资料欢迎下载|a+b|=|ab|. 变式训练三： a+b 与 ab 可能是相等向量吗？全析提示借助平面变式训练四：当a 与 b 满意什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角？以平行四边形为起点,答案：一、 |a|=|b|,即ABCD 为菱形,对角线相互垂直. 几何图形的性质解答上述问题. 二、 |a+b|=|ab|,即ABCD 的对角线长相等,ABCD 应为矩形,所以应满意 a 与 b 垂直 . 名师归纳总结 三、 a+b 与 ab 不行能相等,由于ABCD 的方向不同 . 第 5 页,共 5 页四、当 |a|=|b|时,对角线平分a 与 b 所夹的角 . - - - - - - -